Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu?

Ze wzoru D = √(a² + b² + H²). Powstaje on z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa: najpierw liczymy przekątną podstawy d² = a² + b², a potem przekątną bryły w trójkącie o przyprostokątnych d i H, czyli D² = d² + H² = a² + b² + H². Dla sześcianu, gdzie wszystkie krawędzie są równe, daje to D = a√3.

Czym są proste skośne?

To proste, które w przestrzeni nie mają punktu wspólnego i jednocześnie nie są równoległe — nie da się przez nie poprowadzić jednej płaszczyzny. Na płaszczyźnie taki przypadek nie istnieje, dlatego jest to pierwsza rzecz, którą trzeba przyjąć do wiadomości w stereometrii. Przykładem jest krawędź podstawy prostopadłościanu i nieprzylegająca do niej krawędź górnej ściany.

Jak mierzy się kąt między prostą a płaszczyzną?

Jest to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. W praktyce znajdujemy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest badany odcinek, jedną przyprostokątną — jego rzut, a drugą — wysokość. Kąt wyznaczamy z tangensa: iloraz wysokości przez długość rzutu.

Czym różni się apotema ostrosłupa od krawędzi bocznej?

Apotema to wysokość ściany bocznej i stoi nad połową boku podstawy, więc m² = H² + (a/2)². Krawędź boczna prowadzi do wierzchołka podstawy i stoi nad połową przekątnej, więc b² = H² + (a√2 / 2)². To dwa różne trójkąty prostokątne o wspólnej wysokości i różnych podstawach — mylenie ich to najczęstszy błąd w zadaniach o ostrosłupach.

Jakie pole ma przekrój przekątny sześcianu?

Przekrój przechodzący przez dwie przeciwległe krawędzie pionowe jest prostokątem o bokach a i a√2, więc jego pole wynosi a²√2. Dla krawędzi 5 cm daje to 25√2 ≈ 35,36 cm². Drugi typowy przekrój — przez trzy wierzchołki sąsiadujące z jednym narożnikiem — jest trójkątem równobocznym o boku a√2 i polu a²√3 / 2.

Poziom zaawansowany

Stereometria: kąty, odcinki i przekroje

Objętość i pole powierzchni bryły już umiemy policzyć. Ta lekcja mierzy to, co jest w środku: przekątną prostopadłościanu, kąt między przekątną a podstawą, apotemę i krawędź boczną ostrosłupa oraz przekroje sześcianu. Każde z tych zadań to jeden trójkąt prostokątny znaleziony w przestrzeni.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Karton i najdłuższy przedmiot, który się zmieści
Paczka o wymiarach wewnętrznych 60 × 40 × 30 cm mieści przedmiot dłuższy niż każdy jej bok: po przekątnej wchodzi √(60² + 40² + 30²) = √6100 ≈ 78 cm. To jedyna liczba, którą trzeba porównać z długością wędki, sztalugi albo listwy przed pakowaniem.
Dekarstwo i połać dachu namiotowego
Dach namiotowy nad kwadratem 8 × 8 m ma wysokość 3 m. Apotema, czyli wysokość jednej trójkątnej połaci, wynosi √(3² + 4²) = 5 m, więc pole jednej połaci to 8 · 5 / 2 = 20 m², a całego dachu 80 m² — i po tej liczbie zamawia się pokrycie.
Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
Maszt z odciągiem
Odciąg zaczepiony na szczycie masztu wysokiego na 12 m i zakotwiony 5 m od jego podstawy ma długość √(12² + 5²) = 13 m. Kąt, jaki tworzy z podłożem, wyznacza tangens 12 / 5 = 2,4 — i to on decyduje, czy kotwa wytrzyma, bo im bliżej masztu, tym większa siła pionowa.
Winda i wnoszenie płyty
Kabina windy ma 100 × 130 × 220 cm. Płyta o długości 250 cm nie wejdzie ani na leżąco, ani na stojąco, ale przekątna kabiny to √(100² + 130² + 220²) ≈ 275 cm, więc na skos przechodzi. Ta sama rachuba działa dla klatki schodowej i skrzyni ładunkowej.
Cięcie sześciennego bloku
Blok materiału o krawędzi 40 cm przecięty wzdłuż przekątnej podstawy daje prostokąt o bokach 40 i 40√2 ≈ 56,6 cm, czyli powierzchnię cięcia 40² · √2 ≈ 2263 cm². Przy stawce za centymetr kwadratowy cięcia to właśnie ta liczba, a nie pole ściany, trafia na fakturę.

Wszystkie wzory

Przekątna prostopadłościanu
$D^2 = a^2 + b^2 + H^2$
a i b to boki podstawy, H wysokość
Przekątna sześcianu
$D = a\sqrt{3}$
przypadek a = b = c
Kąt między przekątną a podstawą
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{d}$
d to przekątna podstawy
Apotema ostrosłupa
$m^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
stoi nad połową boku podstawy
Krawędź boczna ostrosłupa
$b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$
stoi nad połową przekątnej podstawy
Przekrój przekątny sześcianu
$P = a^2\sqrt{2}$
prostokąt o bokach a i a√2

Objętość i pole powierzchni mówią, ile bryła mieści i ile materiału na nią pójdzie. Ta lekcja jest o czymś innym: o odcinkach i kątach wewnątrz bryły — przekątnych, apotemach, krawędziach i płaszczyznach przecięcia.

Metoda jest za każdym razem ta sama i warto ją nazwać od razu: znajdujemy w przestrzeni trójkąt prostokątny i wracamy do twierdzenia Pitagorasa. Cała trudność stereometrii polega na zobaczeniu, gdzie ten trójkąt leży.

Proste w przestrzeni

Na płaszczyźnie dwie proste albo się przecinają, albo są równoległe. W przestrzeni dochodzi trzecia możliwość:

Położenie	Punkt wspólny	Wspólna płaszczyzna
przecinające się	jeden	tak
równoległe	brak	tak
skośne	brak	nie

Proste skośne są tym, czego nie da się narysować na kartce: krawędź podstawy pudełka i nieprzylegająca do niej krawędź wieczka nigdy się nie spotkają, a mimo to nie są równoległe.

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych tej płaszczyzny — wtedy jest prostopadła do każdej prostej w niej zawartej. Wysokość ostrosłupa prawidłowego i krawędź boczna graniastosłupa prostego są właśnie takie.

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. To definicja, z której w zadaniu robi się trójkąt: przeciwprostokątną jest badany odcinek, jedną przyprostokątną jego rzut, drugą wysokość.

Przekątna prostopadłościanu

Przekątna podstawy d i przekątna bryły D. Trójkąt o przyprostokątnych d i H leży w płaszczyźnie przekroju przekątnego.

Liczymy w dwóch krokach. Najpierw przekątna podstawy:

d^2 = a^2 + b^2

Potem przekątna bryły w trójkącie o przyprostokątnych $d$ oraz $H$ :

D^2 = d^2 + H^2 = a^2 + b^2 + H^2

W tablicach ten sam wzór bywa zapisany jako $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$ , gdzie $c$ jest trzecią krawędzią — to ta sama liczba pod inną literą.

Dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc $D^2 = 3a^2$ , czyli

D = a\sqrt{3}

Kąt $\alpha$ między przekątną bryły a podstawą leży w tym samym trójkącie, a jego rzutem jest przekątna podstawy:

\operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{d}

Prostopadłościan ma wymiary 6 × 6 × 6√2 cm. Oblicz kąt między przekątną bryły a płaszczyzną podstawy.

Odcinki w ostrosłupie

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym mieszkają dwa różne odcinki, które łatwo pomylić:

apotema $m$ — wysokość ściany bocznej, stoi nad połową boku podstawy;
krawędź boczna $b$ — prowadzi do wierzchołka podstawy, więc stoi nad połową przekątnej.

Wysokość H, apotema m i przekątna podstawy d. Kąt β to kąt między krawędzią boczną a podstawą.

Oba odcinki są przeciwprostokątnymi trójkątów o wspólnej przyprostokątnej $H$ i różnych drugich przyprostokątnych:

m^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2, \qquad b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2

Różnica jest dokładnie taka: apotema opiera się o bok, a krawędź o przekątną, więc tylko w drugim wzorze pojawia się $\sqrt{2}$ .

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę 12 cm i wysokość 8 cm. Oblicz apotemę i krawędź boczną.

Przekroje

Przekrój to figura, którą otrzymujemy, przecinając bryłę płaszczyzną. Dla walca i stożka najważniejszy jest przekrój osiowy, przechodzący przez oś bryły: dla walca jest to prostokąt $2r \times H$ , dla stożka trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach równych tworzącej.

Sześcian ma dwa przekroje, które warto znać:

Przekrój przekątny sześcianu przechodzi przez dwie przeciwległe krawędzie pionowe. Jest prostokątem o bokach a i a√2.

Przekrój przekątny jest prostokątem o bokach $a$ i $a\sqrt{2}$ , więc jego pole wynosi

P = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}

Przekrój przez trzy wierzchołki sąsiadujące z jednym narożnikiem jest trójkątem równobocznym: każdy jego bok to przekątna ściany, czyli $a\sqrt{2}$ . Jego pole liczymy wzorem na pole trójkąta równobocznego:

P = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}

Przekrój przez trzy wierzchołki sąsiadujące z jednym narożnikiem. Każdy bok tego trójkąta jest przekątną ściany, więc trójkąt jest równoboczny.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Przekątna prostopadłościanu: a = 2 cm, b = 3 cm, c = 6 cm

Częste błędy

Mylenie apotemy z krawędzią boczną — apotema stoi nad połową boku, krawędź nad połową przekątnej.
Dodawanie tylko dwóch kwadratów przy przekątnej bryły — potrzebne są wszystkie trzy wymiary: $D^2 = a^2 + b^2 + H^2$ .
Mierzenie kąta między przekątną a krawędzią zamiast a rzutem — kąt z płaszczyzną liczy się względem rzutu prostokątnego.
Uznawanie prostych skośnych za równoległe — brak punktu wspólnego nie wystarcza, potrzebna jest jeszcze wspólna płaszczyzna.
Przyjmowanie, że przekrój przekątny sześcianu jest kwadratem — jego boki to $a$ i $a\sqrt{2}$ , więc to prostokąt.
Liczenie apotemy z całego boku podstawy — w trójkącie występuje połowa boku.

Karta wzorów

Temat: Stereometria: kąty, odcinki i przekroje

Przekątna prostopadłościanu
$D^2 = a^2 + b^2 + H^2$
a i b to boki podstawy, H wysokość
Przekątna sześcianu
$D = a\sqrt{3}$
przypadek a = b = c
Kąt między przekątną a podstawą
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{d}$
d to przekątna podstawy
Apotema ostrosłupa
$m^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
stoi nad połową boku podstawy
Krawędź boczna ostrosłupa
$b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$
stoi nad połową przekątnej podstawy
Przekrój przekątny sześcianu
$P = a^2\sqrt{2}$
prostokąt o bokach a i a√2

Prostopadłościan z przekątną podstawy d, przekątną bryły D i kątem α między nimi.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny: apotema m stoi nad połową boku podstawy, a krawędź boczna nad połową przekątnej.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min