Jak obliczyć objętość prostopadłościanu?

Mnożymy trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka: V = a · b · c. Dla krawędzi 4 cm, 3 cm i 5 cm objętość wynosi 4 · 3 · 5 = 60 cm³. Kolejność mnożenia nie ma znaczenia.

Jak obliczyć objętość walca?

Liczymy pole podstawy, czyli koła, i mnożymy je przez wysokość: V = πr²h. Dla promienia 3 cm i wysokości 10 cm objętość wynosi π · 9 · 10 = 90π ≈ 282,6 cm³.

Jak obliczyć objętość kuli?

Ze wzoru V = ⁴⁄₃πr³ — promień podnosimy do trzeciej potęgi, mnożymy przez π i przez ⁴⁄₃. Dla promienia 3 cm objętość wynosi ⁴⁄₃ · π · 27 = 36π ≈ 113,04 cm³.

Skąd w ostrosłupie i stożku bierze się jedna trzecia?

Trzy jednakowe ostrosłupy o wspólnej podstawie i wysokości można złożyć w graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — stąd V = ⅓ · P_p · H. Ten sam rachunek działa dla stożka i walca: stożek to dokładnie jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości.

Czym różni się objętość od pola powierzchni?

Objętość mówi, ile się w bryle mieści, i mierzymy ją w jednostkach sześciennych (cm³, m³). Pole powierzchni mówi, ile materiału potrzeba na jej oklejenie, i mierzymy je w jednostkach kwadratowych (cm², m²). To dwie różne wielkości tej samej bryły — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym dziale.

Dlaczego objętość mierzymy w jednostkach sześciennych?

Bo liczymy, ile sześcianów o krawędzi 1 cm mieści się w bryle. Objętość powstaje z pomnożenia trzech długości, więc jednostka też jest mnożona trzy razy: cm · cm · cm = cm³.

Jaka jest różnica między wysokością bryły a jej krawędzią boczną?

Wysokość H to odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony z wierzchołka. Krawędź boczna albo tworząca biegnie ukośnie i jest zawsze dłuższa. Do wzoru na objętość wstawiamy wysokość — wstawienie krawędzi daje wynik za duży.

Ile razy rośnie objętość, gdy wszystkie wymiary bryły podwoimy?

Osiem razy, bo 2³ = 8. Każdy z trzech wymiarów rośnie dwa razy, a objętość jest ich iloczynem. To dlatego dwa razy większy karton mieści osiem razy więcej, a nie dwa.

Poziom średni

Objętość brył

Objętość mówi, ile mieści się w bryle. Zobacz wzory na objętość prostopadłościanu, walca, ostrosłupa, stożka i kuli, dlaczego w ostrosłupie i stożku pojawia się jedna trzecia i skąd bierze się jednostka sześcienna.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Pole prostokątaPole prostokąta to iloczyn jego boków: P = a · b. Zobacz, skąd bierze się ten wzór, czym różni się pole od obwodu, jak liczyć pole kwadratu, jak wyznaczyć bok z pola i dlaczego wynik zapisujemy w centymetrach kwadratowych.
Pole i obwód kołaPole koła to P = πr², a obwód to Obw = 2πr. Zobacz, czym jest liczba π, jak promień wiąże się ze średnicą, dlaczego wynik prawie zawsze trzeba zaokrąglić i czym różni się koło od okręgu.

Wszystkie wzory

Prostopadłościan
$V = a \cdot b \cdot c$
a, b, c to trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka
Sześcian
$V = a^3$
prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych
Graniastosłup i walec
$V = P_p \cdot H$
pole podstawy razy wysokość — jeden wzór na obie bryły
Walec
$V = \pi r^2 h$
podstawą jest koło, więc P_p = πr²
Ostrosłup i stożek
$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
ta sama podstawa i wysokość co w graniastosłupie, ale trzy razy mniej
Stożek
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości
Kula
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
jedyny wzór w tym temacie z promieniem w trzeciej potędze

Pole mówi, ile miejsca figura zajmuje na płaszczyźnie. Objętość mówi, ile się w bryle mieści — i liczymy ją w sześcianach zamiast w kwadratach.

Objętość to policzone sześciany

Pole prostokąta to liczba kwadratów jednostkowych, które go pokrywają. Objętość prostopadłościanu to liczba sześcianów jednostkowych, które go wypełniają.

Prostopadłościan o krawędziach a, b i c. W warstwie leży a · b sześcianów, a warstw jest c.

Ułóż na dnie warstwę sześcianów o krawędzi $1\,\text{cm}$ : zmieści się ich $a \cdot b$ , czyli tyle, ile wynosi pole podstawy. Takich warstw jest $c$ . Stąd:

V = a \cdot b \cdot c

Sześcian to prostopadłościan o równych krawędziach, więc jego wzór jest tym samym wzorem:

V = a \cdot a \cdot a = a^3

Oblicz objętość prostopadłościanu o krawędziach 4 cm, 3 cm i 5 cm.

Wspólny wzór: pole podstawy razy wysokość

Rozumowanie z warstwami działa dla każdej bryły o stałym przekroju: pole podstawy mówi, ile mieści jedna warstwa, wysokość — ile jest warstw.

V = P_p \cdot H

Dla prostopadłościanu $P_p = a \cdot b$ . Dla walca podstawą jest koło, więc $P_p = \pi r^2$ :

Walec: podstawą jest koło o promieniu r, wysokość h mierzymy prostopadle do podstawy.

V = \pi r^2 h

Oblicz objętość walca o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 10 cm. Przyjmij π ≈ 3,14.

Ostrosłup i stożek: jedna trzecia

Bryła zakończona wierzchołkiem nie ma stałego przekroju — ku górze się zwęża. Okazuje się, że mieści dokładnie trzy razy mniej niż bryła o tej samej podstawie i wysokości, ale prosta:

V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

Trzy jednakowe ostrosłupy o wspólnej podstawie i wysokości można złożyć w jeden graniastosłup — to samo doświadczenie, które w kuchni robi się przelewając wodę ze stożkowego lejka do walcowatej szklanki: trzeba go napełnić trzy razy.

Ostrosłup o podstawie kwadratowej: krawędź podstawy a, wysokość H poprowadzona prostopadle do podstawy.

Oblicz objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej o boku 6 cm i wysokości 9 cm.

Ze stożkiem jest dokładnie tak samo — podstawą jest koło, więc

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Stożek: promień podstawy r i wysokość h. Znak kąta prostego przypomina, że wysokość jest prostopadła do podstawy.

Oblicz objętość stożka o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 9 cm. Przyjmij π ≈ 3,14.

Kula

Kula nie ma ani podstawy, ani wysokości — ma tylko promień. Jej wzór jest jedynym w tym temacie, w którym promień występuje w trzeciej potędze:

V = \frac{4}{3} \pi r^3

Kula o środku O i promieniu r. Równik — kreskowany tam, gdzie biegnie za kulą — pokazuje, że patrzymy na bryłę, a nie na koło.

Oblicz objętość kuli o promieniu 3 cm. Przyjmij π ≈ 3,14.

Jednostki

Objętość powstaje z pomnożenia trzech długości, więc jej jednostka jest jednostką długości pomnożoną trzy razy: $\text{cm} \cdot \text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^3$ . Dlatego wynik zapisujemy w centymetrach sześciennych albo w metrach sześciennych — nigdy w $\text{cm}^2$ , bo to jednostka pola.

Litr to inna nazwa tej samej wielkości: $1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3$ . Jeśli masz przeliczyć konkretne wartości — litry na mililitry, metry sześcienne na litry albo galony na litry — zrobi to nasz konwerter objętości.

Zadania

Jeśli w treści pytania nie ma jednostki, wpisz ją razem z wynikiem, np. 60 cm³. Jeśli jednostka jest podana w nawiasie (bo w wyniku pojawia się $\pi$ ), wpisz samą liczbę zaokrągloną do dwóch miejsc po przecinku. Odpowiedź policzona z $\pi \approx 3{,}14$ też zostanie uznana.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Objętość prostopadłościanu: a = 6 cm, b = 6 cm, c = 3 cm

Częste błędy

Objętość w jednostkach kwadratowych — $60\,\text{cm}^3$ , a nie $60\,\text{cm}^2$ ; kwadrat należy do pola.
Zgubiona jedna trzecia — ostrosłup i stożek mają $\frac{1}{3}$ ; bez niej wynik jest trzykrotnie za duży.
Krawędź boczna zamiast wysokości — do wzoru wchodzi odcinek prostopadły do podstawy, nie ten ukośny.
Średnica zamiast promienia — w walcu, stożku i kuli podstawiamy $r$ ; średnica daje wynik cztero- lub ośmiokrotnie za duży.
$(\pi r)^2$ zamiast $\pi r^2$ — do kwadratu podnosimy sam promień.
$r^3$ policzone jako $3r$ — trzecia potęga to $r \cdot r \cdot r$ , a nie mnożenie przez trzy.
Wymiary w różnych jednostkach — przed mnożeniem sprowadź wszystkie do jednej.

Karta wzorów

Temat: Objętość brył

Prostopadłościan
$V = a \cdot b \cdot c$
a, b, c to trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka
Sześcian
$V = a^3$
prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych
Graniastosłup i walec
$V = P_p \cdot H$
pole podstawy razy wysokość — jeden wzór na obie bryły
Walec
$V = \pi r^2 h$
podstawą jest koło, więc P_p = πr²
Ostrosłup i stożek
$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
ta sama podstawa i wysokość co w graniastosłupie, ale trzy razy mniej
Stożek
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości
Kula
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
jedyny wzór w tym temacie z promieniem w trzeciej potędze

Prostopadłościan o krawędziach a, b, c. Objętość to iloczyn wszystkich trzech: V = a · b · c.

Stożek o promieniu podstawy r i wysokości h. Mieści dokładnie jedną trzecią walca o tej samej podstawie i wysokości: V = ⅓πr²h.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min