Dział matematyki

Trygonometria

Sinus, cosinus i tangens — od trójkąta prostokątnego przez koło jednostkowe po wykresy funkcji okresowych.

Tematy w tym dziale

Średni
Sinus, cosinus i tangens
Sinus, cosinus i tangens to trzy stosunki boków trójkąta prostokątnego. Zobacz, dlaczego zależą wyłącznie od kąta, skąd biorą się dokładne wartości dla 30°, 45° i 60° oraz jak wyznaczyć bok, którego nie da się zmierzyć.
Średni
Koło jednostkowe
Koło jednostkowe przenosi sinus i cosinus z trójkąta na cały okrąg. Zobacz, jak współrzędne punktu stają się wartościami funkcji, jakie znaki mają w czterech ćwiartkach i dlaczego radian jest naturalną miarą kąta.
Zaawansowany
Jedynka trygonometryczna
sin²α + cos²α = 1 to twierdzenie Pitagorasa zapisane na kole jednostkowym. Zobacz, skąd się bierze, jak wyznaczyć cosinus, znając sinus, i dlaczego bez znajomości ćwiartki odpowiedź jest niepełna.
Zaawansowany
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów przenoszą trygonometrię na dowolny trójkąt — także taki bez kąta prostego. Zobacz, które z nich wybrać do danych z zadania, dlaczego twierdzenie cosinusów uogólnia Pitagorasa i kiedy rozwiązania są dwa.
Zaawansowany
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Sinusoida to koło jednostkowe rozwinięte wzdłuż osi. Zobacz, skąd bierze się okres 2π, dlaczego cosinus jest przesuniętym sinusem i co dzieje się z wykresem tangensa tam, gdzie funkcja nie istnieje.

Wzory działu

Dział: Trygonometria

Sinus, cosinus i tangens

  • Sinus

    sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}

    przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną

  • Cosinus

    cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

    przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną

  • Tangens

    tg⁡α=ab=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

    przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie

  • Bok naprzeciw kąta

    a=c⋅sin⁡αa = c \cdot \sin \alpha

    definicja sinusa przekształcona względem a

  • Bok przy kącie

    b=c⋅cos⁡αb = c \cdot \cos \alpha

    definicja cosinusa przekształcona względem b

  • Przeciwprostokątna

    c=asin⁡αc = \frac{a}{\sin \alpha}

    gdy znamy przyprostokątną naprzeciw kąta

  • Kąty szczególne

    sin⁡30∘=12,sin⁡45∘=22,sin⁡60∘=32\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

    wartości dokładne, nie przybliżenia z tablicy

Koło jednostkowe

  • Równanie koła jednostkowego

    x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

    okrąg o środku (0, 0) i promieniu 1

  • Punkt na okręgu

    P=(cos⁡α,  sin⁡α)P = (\cos \alpha, \; \sin \alpha)

    cosinus to odcięta, sinus to rzędna

  • Stopnie → radiany

    αrad=αdeg⁡⋅π180∘\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}

    180° to π radianów

  • Radiany → stopnie

    αdeg⁡=αrad⋅180∘π\alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}

    ta sama zależność w drugą stronę

  • Kąty koterminalne

    sin⁡(α+360∘)=sin⁡α\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin \alpha

    pełny obrót niczego nie zmienia

Jedynka trygonometryczna

  • Jedynka trygonometryczna

    sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

    zachodzi dla każdego kąta, bez wyjątków

  • Sinus z cosinusa

    sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

    znak wybiera ćwiartka, w której leży kąt

  • Cosinus z sinusa

    cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}

    ta sama tożsamość przekształcona względem cosinusa

  • Tangens jako iloraz

    tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

    wymaga cos α ≠ 0

  • Tożsamość pochodna

    1+tg⁡2α=1cos⁡2α1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

    jedynka podzielona stronami przez cos²α

Twierdzenie sinusów i cosinusów

  • Twierdzenie sinusów

    asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

    bok i kąt leżący naprzeciw niego — zawsze w parze

  • Bok z twierdzenia sinusów

    b=a⋅sin⁡βsin⁡αb = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}

    proporcja przekształcona względem szukanego boku

  • Twierdzenie cosinusów

    a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

    α to kąt między bokami b i c

  • Kąt z trzech boków

    cos⁡α=b2+c2−a22bc\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

    twierdzenie cosinusów przekształcone względem kąta

  • Suma kątów

    α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

    trzeci kąt zawsze z dwóch pozostałych

Wykresy funkcji trygonometrycznych

  • Sinusoida

    y=sin⁡xy = \sin x

    rzędna punktu na kole jednostkowym w funkcji kąta

  • Cosinusoida

    y=cos⁡xy = \cos x

    odcięta tego samego punktu

  • Okresowość

    sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x

    okres sinusa i cosinusa wynosi 2π

  • Cosinus jako przesunięty sinus

    cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

    ten sam kształt, przesunięty o ćwierć okresu

  • Okres tangensa

    tg⁡(x+π)=tg⁡x\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x

    π, czyli o połowę krótszy niż sinusa

  • Asymptoty tangensa

    x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi

    tam cosinus się zeruje i funkcja nie istnieje

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min