Pochylnie
Próg wejścia na taras ma 45 cm, a wózek wjedzie po pochylni o nachyleniu najwyżej 6%. Nachylenie to tangens kąta, więc tg α = 0,06, czyli α ≈ 3,4°, a długość podjazdu w poziomie to 45 cm / 0,06 = 750 cm. Pochylnia musi mieć 7,5 m — zwykle więcej, niż zostaje miejsca przed tarasem, i dlatego kończy się na dwóch krótszych biegach z podestem.
Sinus, cosinus i tangens
Warsztat
Sześć otworów rozłożonych równo na okręgu o promieniu 12 cm dzieli go co 60°. Zamiast wyginać taśmę po łuku, liczysz współrzędne: trzeci otwór wypada pod kątem 120°, czyli w punkcie (12 · cos 120°, 12 · sin 120°) = (−6 cm; 10,4 cm). Minus mówi, że jest 6 cm w lewo od środka, a odmierzanie w dwóch prostopadłych kierunkach trafia co do milimetra.
Koło jednostkowe
Dekarstwo
Projekt podaje spadek połaci w procentach: 40% to tg α = 0,40. Z tożsamości 1 + tg²α = 1/cos²α wychodzi cos α = 1/√1,16 = 0,93, więc połać nad rzutem szerokim na 6 m ma 6 / 0,93 = 6,46 m. Zamawiając blachę z wymiarów rzutu, na każdym pasie zabrakłoby 46 cm — a kątomierz nie był do tego potrzebny ani razu.
Jedynka trygonometryczna
Ogrodzenie działki
Dwa boki działki mają 12 m i 9 m i schodzą się pod kątem 115°. Z twierdzenia cosinusów bok domykający narożnik ma √(12² + 9² − 2 · 12 · 9 · cos 115°) = √(225 + 91,3) = 17,8 m. Cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc odejmowanie zamienia się w dodawanie i płotu trzeba o 2,8 m więcej niż 15 m, które wyszłyby przy narożniku prostym.
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Prąd zmienny
Napięcie w gniazdku nie stoi na 230 V — biegnie sinusoidą u(t) = 325 · sin(2π · 50 · t). Wartość skuteczna 230 V to szczyt podzielony przez √2, więc na przewodach naprawdę pojawia się 325 V. Przy 50 Hz jeden okres trwa 0,02 s, a napięcie przechodzi przez zero 100 razy na sekundę — stąd migotanie tanich lampek LED o częstotliwości 100 Hz, wyłapywane kątem oka.
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Gniazdko w ścianie
Napięcie sieciowe biegnie sinusoidą u(t) = 325 · sin(ωt), gdzie ω = 2π · 50 Hz ≈ 314 rad/s. Po 0,004 s od przejścia przez zero kąt wynosi 314 · 0,004 = 1,256 rad, a napięcie 325 · sin(1,256) ≈ 309 V. Kalkulator musi wtedy stać w trybie RAD — w DEG policzyłby sin 1,256° ≈ 0,022 i wyszłoby 7 V zamiast 309 V.
Miara łukowa i radiany
Słuchawki wygłuszające
Mikrofon łapie hałas silnika o amplitudzie 40 mPa, a głośnik gra ten sam ton przesunięty o 180°: sin(x + 180°) = −sin x, więc fala odtworzona jest dokładnie przeciwna. Suma 40 · sin x + 40 · sin(x + 180°) = 0 — cisza. Cały układ aktywnej redukcji hałasu to jeden wzór redukcyjny wykonany 48 000 razy na sekundę.
Wzory redukcyjne
Rzut ukośny
Zasięg rzutu z prędkością v pod kątem α to R = v² · sin 2α / g — wzór, który powstaje właśnie ze wzoru na kąt podwojony. Dla v = 20 m/s i α = 30° wychodzi 400 · sin 60° / 9,81 = 35,3 m, a dla α = 45° aż 40,8 m. Ponieważ sin 2α jest największy przy 2α = 90°, optymalny kąt wyrzutu to zawsze 45° — i dlatego kula w kulomiocie leci najdalej właśnie pod tym kątem.
Wzory na sumę i różnicę kątów
Pływy morskie
Głębokość w porcie zmienia się jak h(t) = 2,5 + 1,8 · sin(2πt/12,4) metra, gdzie t liczymy w godzinach. Jacht o zanurzeniu 3,4 m wejdzie, gdy sin(2πt/12,4) ≥ 0,5, czyli gdy 2πt/12,4 mieści się między π/6 a 5π/6 — to okno od t = 1,03 h do t = 5,17 h, czyli 4 godziny 8 minut na przypływie. Kapitanat publikuje tę samą liczbę jako „okno pływowe".
Równania trygonometryczne
Nachylenie drogi
Znak drogowy „8%" mówi, że na 100 m poziomo droga wznosi się o 8 m. Kąt nachylenia to arctg 0,08 = 4,57°. Podjazd 12% to już arctg 0,12 = 6,84°, a maksymalne dopuszczalne nachylenie rampy dla wózków (6%) odpowiada arctg 0,06 = 3,43°. Bez arcusa tangensa z procentu nie da się zrobić kąta.
Funkcje cyklometryczne

Wzory działu

Dział: Trygonometria

Sinus, cosinus i tangens

Sinus
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$
przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną
Cosinus
$\cos \alpha = \frac{b}{c}$
przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną
Tangens
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie
Bok naprzeciw kąta
$a = c \cdot \sin \alpha$
definicja sinusa przekształcona względem a
Bok przy kącie
$b = c \cdot \cos \alpha$
definicja cosinusa przekształcona względem b
Przeciwprostokątna
$c = \frac{a}{\sin \alpha}$
gdy znamy przyprostokątną naprzeciw kąta
Kąty szczególne
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
wartości dokładne, nie przybliżenia z tablicy

Koło jednostkowe

Równanie koła jednostkowego
$x^2 + y^2 = 1$
okrąg o środku (0, 0) i promieniu 1
Punkt na okręgu
$P = (\cos \alpha, \; \sin \alpha)$
cosinus to odcięta, sinus to rzędna
Kąty koterminalne
$\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin \alpha$
pełny obrót niczego nie zmienia

Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
zachodzi dla każdego kąta, bez wyjątków
Sinus z cosinusa
$\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$
znak wybiera ćwiartka, w której leży kąt
Cosinus z sinusa
$\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$
ta sama tożsamość przekształcona względem cosinusa
Tangens jako iloraz
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
wymaga cos α ≠ 0
Tożsamość pochodna
$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
jedynka podzielona stronami przez cos²α

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
bok i kąt leżący naprzeciw niego — zawsze w parze
Bok z twierdzenia sinusów
$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$
proporcja przekształcona względem szukanego boku
Twierdzenie cosinusów
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
α to kąt między bokami b i c
Kąt z trzech boków
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
twierdzenie cosinusów przekształcone względem kąta
Suma kątów
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
trzeci kąt zawsze z dwóch pozostałych
Pole trójkąta
$P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$
dwa boki i kąt MIĘDZY nimi — bez liczenia wysokości

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Sinusoida
$y = \sin x$
rzędna punktu na kole jednostkowym w funkcji kąta
Cosinusoida
$y = \cos x$
odcięta tego samego punktu
Okresowość
$\sin(x + 2\pi) = \sin x$
okres sinusa i cosinusa wynosi 2π
Cosinus jako przesunięty sinus
$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
ten sam kształt, przesunięty o ćwierć okresu
Okres tangensa
$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$
π, czyli o połowę krótszy niż sinusa
Asymptoty tangensa
$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
tam cosinus się zeruje i funkcja nie istnieje

Miara łukowa i radiany

Jeden radian
$1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}30^\circ$
kąt, przy którym łuk ma długość promienia
Pełny obrót i półobrót
$360^\circ = 2\pi\ \text{rad}, \qquad 180^\circ = \pi\ \text{rad}$
obwód 2πr mieści 2π promieni
Stopnie → radiany
$\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
wynik jest liczbą mniejszą niż liczba stopni
Radiany → stopnie
$\alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
π się skraca, zostaje sama liczba stopni
Długość łuku
$l = r \alpha$
α w radianach — bez żadnego przelicznika
Pole wycinka
$P = \frac{1}{2} r^2 \alpha$
α w radianach; dla α = 2π wychodzi πr²

Wzory redukcyjne

Kąt dopełniający do półobrotu
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha, \qquad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$
II ćwiartka: sinus dodatni, cosinus ujemny
Półobrót w przód
$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha, \qquad \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$
III ćwiartka: obie funkcje ujemne
Dopełnienie do pełnego obrotu
$\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha, \qquad \cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha$
IV ćwiartka: sinus ujemny, cosinus dodatni
Kąt ujemny
$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \qquad \cos(-\alpha) = \cos \alpha$
sinus jest nieparzysty, cosinus parzysty
Kąt dopełniający do prostego
$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$
funkcja zmienia się na kofunkcję
Ćwierć obrotu w przód
$\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha, \qquad \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$
znowu zamiana funkcji, znak z II ćwiartki
Okres tangensa
$\operatorname{tg}(180^\circ + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha$
tangens powtarza się co pół obrotu

Wzory na sumę i różnicę kątów

Sinus sumy
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
znaki po obu stronach takie same
Sinus różnicy
$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
ten sam wzór z β zastąpionym przez −β
Cosinus sumy
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
uwaga: znak po prawej jest ODWROTNY
Cosinus różnicy
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
wzór wyjściowy — z niego wynikają wszystkie pozostałe
Tangens sumy
$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$
iloraz obu poprzednich wzorów
Sinus kąta podwojonego
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
wzór na sumę dla β = α
Cosinus kąta podwojonego
$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$
trzy postacie tej samej wartości — wybierz tę, która pasuje do danych

Równania trygonometryczne

Równanie z sinusem
$\sin x = c \iff x = \alpha + 2k\pi \ \lor \ x = \pi - \alpha + 2k\pi$
α to rozwiązanie podstawowe; k jest liczbą całkowitą
Równanie z cosinusem
$\cos x = c \iff x = \alpha + 2k\pi \ \lor \ x = -\alpha + 2k\pi$
rozwiązania leżą symetrycznie względem osi x
Równanie z tangensem
$\operatorname{tg} x = c \iff x = \alpha + k\pi$
jedna rodzina — tangens ma okres π, nie 2π
Warunek istnienia
$|c| > 1 \implies \sin x = c \ \text{nie ma rozwiązań}$
to samo dla cosinusa; tangens przyjmuje każdą wartość
Przypadki szczególne
$\sin x = 0 \iff x = k\pi$
oraz cos x = 0 ⟺ x = π/2 + kπ
Sprowadzenie do jednej funkcji
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
kąt podwojony rozbity przed rozkładem na czynniki

Funkcje cyklometryczne

Arcus sinus
$y = \arcsin x \iff \sin y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$
dziedzina [−1, 1], zbiór wartości [−π/2, π/2]
Arcus cosinus
$y = \arccos x \iff \cos y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[0, \pi\right]$
dziedzina [−1, 1], zbiór wartości [0, π]
Arcus tangens
$y = \operatorname{arctg} x \iff \operatorname{tg} y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$
dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste
Złożenie „od środka"
$\sin(\arcsin x) = x \quad \text{dla } x \in [-1, 1]$
zachodzi zawsze w dziedzinie arcusa
Złożenie „od zewnątrz"
$\arcsin(\sin x) = x \quad \text{tylko dla } x \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$
poza tym przedziałem wynik jest INNYM kątem
Związek arcusa sinusa z cosinusem
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$
wprost ze wzoru redukcyjnego dla kąta dopełniającego

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min