Co to są funkcje cyklometryczne?

To funkcje odwrotne do trygonometrycznych: arcus sinus, arcus cosinus i arcus tangens. Odpowiadają na pytanie odwrotne niż sinus czy cosinus — nie „jaka jest wartość funkcji dla tego kąta", tylko „jaki kąt ma tę wartość". Na kalkulatorze noszą oznaczenia sin⁻¹, cos⁻¹ i tan⁻¹.

Dlaczego trzeba było zawęzić dziedzinę sinusa?

Bo sinus przyjmuje każdą wartość z przedziału [−1, 1] nieskończenie wiele razy — sin 30° = sin 150° = sin 390° = 1/2. Pytanie „jaki kąt ma sinus równy 1/2" nie ma więc jednej odpowiedzi. Zawężenie do przedziału od −π/2 do π/2, na którym sinus rośnie, sprawia, że każda wartość jest osiągana dokładnie raz — i dopiero wtedy odwrócenie daje funkcję.

Jakie są zbiory wartości arcsin, arccos i arctg?

arcsin przyjmuje wartości z przedziału [−π/2, π/2], arccos z przedziału [0, π], a arctg z przedziału otwartego (−π/2, π/2). Dziedziną arcsin i arccos jest [−1, 1], bo tylko takie wartości przyjmują sinus i cosinus; dziedziną arctg są wszystkie liczby rzeczywiste.

Dlaczego arccos ma inny zbiór wartości niż arcsin?

Bo cosinus na przedziale od −π/2 do π/2 nie jest różnowartościowy — cos(−60°) = cos 60°. Trzeba było wybrać inny przedział, na którym cosinus jest monotoniczny, i naturalnym wyborem jest [0, π], gdzie cosinus maleje od 1 do −1. Dlatego arccos(−1/2) = 2π/3, a nie −π/3.

Ile wynosi arcsin(sin 150°)?

Trzydzieści stopni, a nie 150°. Arcus sinus zwraca wyłącznie kąty z przedziału od −90° do 90°, a sin 150° = sin 30° = 1/2, więc arcsin(1/2) = 30°. To najczęstsza pułapka tej lekcji: złożenie arcsin(sin x) daje z powrotem x tylko wtedy, gdy x już leży w zbiorze wartości arcusa.

Czy arcsin x to to samo co 1/sin x?

Nie. 1/sin x to odwrotność liczby (kosekans), a arcsin x to funkcja odwrotna — czyli działanie odwracające przyporządkowanie. Zapis sin⁻¹ na kalkulatorze bywa mylący, ale oznacza właśnie arcus sinus, a nie potęgę −1.

Dlaczego wykres arcus tangensa ma poziome asymptoty?

Bo tangens rośnie do nieskończoności, gdy kąt zbliża się do 90°. Po odbiciu wykresu względem prostej y = x pionowe asymptoty tangensa stają się poziomymi asymptotami arcusa: arctg x zbliża się do π/2 dla wielkich x i do −π/2 dla bardzo małych, ale nigdy żadnej z tych wartości nie osiąga.

Do czego przydają się funkcje cyklometryczne w praktyce?

Wszędzie tam, gdzie znamy stosunek długości, a szukamy kąta: nachylenie drogi z procentu, kąt widzenia obiektywu z ogniskowej, kąt graniczny w optyce, kąty przegubów robota z położenia chwytaka. Każde takie zadanie kończy się wciśnięciem klawisza sin⁻¹, cos⁻¹ albo tan⁻¹.

Poziom zaawansowany

Funkcje cyklometryczne

Arcus sinus, arcus cosinus i arcus tangens odpowiadają na pytanie odwrotne: jaki kąt ma daną wartość funkcji. Zobacz, dlaczego trzeba było zawęzić dziedzinę, jakie są zbiory wartości tych trzech funkcji i kiedy arcsin(sin x) nie równa się x.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Wykresy funkcji trygonometrycznychSinusoida to koło jednostkowe rozwinięte wzdłuż osi. Zobacz, skąd bierze się okres 2π, dlaczego cosinus jest przesuniętym sinusem i co dzieje się z wykresem tangensa tam, gdzie funkcja nie istnieje.
Równania trygonometryczneRównanie sin x = 1/2 ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo sinus się powtarza. Zobacz, jak znaleźć rozwiązanie podstawowe, jak zapisać wszystkie pozostałe wzorem z parametrem k i jak wybrać te, które mieszczą się w zadanym przedziale.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Nachylenie drogi
Znak drogowy „8%" mówi, że na 100 m poziomo droga wznosi się o 8 m. Kąt nachylenia to arctg 0,08 = 4,57°. Podjazd 12% to już arctg 0,12 = 6,84°, a maksymalne dopuszczalne nachylenie rampy dla wózków (6%) odpowiada arctg 0,06 = 3,43°. Bez arcusa tangensa z procentu nie da się zrobić kąta.
Fotografia
Kąt widzenia obiektywu liczy się jako 2 · arctg(d / 2f), gdzie d to przekątna matrycy, a f ogniskowa. Dla pełnej klatki (d = 43,3 mm) i obiektywu 50 mm daje to 2 · arctg 0,433 = 2 · 23,4° = 46,8°, a dla szerokokątnego 24 mm — aż 84,1°. Tabele kątów widzenia w katalogach producentów to jedna kolumna arcusów tangensów.
Nurkowanie i optyka
Kąt graniczny na granicy woda–powietrze wynosi arcsin(1 / 1,33) = 48,8°. Nurek patrzący w górę pod kątem większym niż 48,8° od pionu nie widzi już nieba, tylko lustrzane odbicie dna — całe niebo mieści się dla niego w kole o kącie 97,6°, nazywanym „oknem Snella". Ta jedna liczba jest wartością arcusa sinusa.
Kinematyka odwrotna robota
Ramię ma dosięgnąć punktu (30 cm, 40 cm). Kąt obrotu podstawy to arctg(40 / 30) = 53,1°, a odległość do celu √(30² + 40²) = 50 cm. Sterownik liczy dokładnie te dwie liczby przy każdym ruchu; „kinematyka odwrotna" to nazwa na rachunek, w którym z położenia chwytaka wyprowadza się kąty przegubów — czyli na łańcuch arcusów.
Panele i anteny satelitarne
Antena wycelowana w satelitę na orbicie geostacjonarnej, ustawiana w Warszawie na satelitę nad południkiem 13°E, wymaga elewacji około arctg(0,60) = 31°. Instalator odczytuje tę wartość z tabeli albo liczy ją z ilorazu dwóch odległości — w obu przypadkach to arcus tangens, bo dane są przyprostokątne, a szukany jest kąt.

Wszystkie wzory

Arcus sinus
$y = \arcsin x \iff \sin y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$
dziedzina [−1, 1], zbiór wartości [−π/2, π/2]
Arcus cosinus
$y = \arccos x \iff \cos y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[0, \pi\right]$
dziedzina [−1, 1], zbiór wartości [0, π]
Arcus tangens
$y = \operatorname{arctg} x \iff \operatorname{tg} y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$
dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste
Złożenie „od środka"
$\sin(\arcsin x) = x \quad \text{dla } x \in [-1, 1]$
zachodzi zawsze w dziedzinie arcusa
Złożenie „od zewnątrz"
$\arcsin(\sin x) = x \quad \text{tylko dla } x \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$
poza tym przedziałem wynik jest INNYM kątem
Związek arcusa sinusa z cosinusem
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$
wprost ze wzoru redukcyjnego dla kąta dopełniającego

Cała dotychczasowa trygonometria odpowiadała na pytanie: dany kąt, jaka wartość? Praktyka pyta zwykle odwrotnie: dany stosunek boków, jaki kąt? Znak drogowy mówi „8%", a kierowca chce wiedzieć, ile to stopni. Do tego służą funkcje cyklometryczne.

Odwrócenie przyporządkowania

Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość. Odczytanie jej wstecz — od wartości do argumentu — jest jednoznaczne tylko wtedy, gdy żadna wartość nie powtarza się dwa razy.

I tu jest kłopot. Sinus przyjmuje wartość $\frac{1}{2}$ nieskończenie wiele razy:

\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \sin 390^\circ = \sin(-210^\circ) = \frac{1}{2}

Pytanie „jaki kąt ma sinus równy $\frac{1}{2}$ " nie ma więc jednej odpowiedzi — a to znaczy, że odwrócenie sinusa nie jest funkcją. Dokładnie ten sam problem widzieliśmy przy równaniach trygonometrycznych: tam odpowiedzią był cały nieskończony zbiór.

Rozwiązanie jest jedno: zawęzić dziedzinę tak, żeby każda wartość była osiągana dokładnie raz.

arcsin: sinus na przedziale [−π/2, π/2]

Na przedziale od $-\frac{\pi}{2}$ do $\frac{\pi}{2}$ sinus rośnie — od $-1$ do $1$ , bez powtórek. Na tym kawałku odwrócenie jest już jednoznaczne i definiuje funkcję:

y = \arcsin x \iff \sin y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Wykres funkcji odwrotnej powstaje przez odbicie względem prostej $y = x$ — bo odbicie zamienia współrzędne miejscami, czyli zamienia argument z wartością.

Sinus na zawężonym przedziale i jego odbicie względem prostej y = x. Dziedzina jednej funkcji jest zbiorem wartości drugiej i odwrotnie.

Stąd od razu widać dziedzinę i zbiór wartości: argumenty arcusa sinusa to liczby z $[-1, 1]$ (bo tyle przyjmuje sinus), a wartości — kąty z $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ .

arccos i arctg: inne przedziały, ten sam pomysł

Dla cosinusa przedział $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ nie zadziała: cosinus jest tam parzysty, więc $\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ$ i wartość $\frac{1}{2}$ pojawia się dwa razy. Wybieramy więc przedział, na którym cosinus maleje od $1$ do $-1$ :

y = \arccos x \iff \cos y = x \ \text{ oraz } \ y \in [0, \pi]

Dla tangensa wystarczy jeden okres bez asymptot — przedział otwarty, bo w jego końcach tangens nie istnieje:

y = \operatorname{arctg} x \iff \operatorname{tg} y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Tangens przyjmuje każdą liczbę rzeczywistą, więc arcus tangens jest określony na całej prostej — i to jedyna z trzech funkcji bez ograniczenia dziedziny.

Pionowe asymptoty tangensa po odbiciu stają się poziomymi asymptotami arcusa tangensa. Wykres zbliża się do ±π/2 i nigdy ich nie osiąga.

funkcja	dziedzina	zbiór wartości
$\arcsin x$	$[-1, 1]$	$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
$\arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$\operatorname{arctg} x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

Wartości dokładne

Tablicę kątów szczególnych czyta się teraz od prawej do lewej.

$x$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin x$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos x$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

Dwa wiersze różnią się nie przez przypadek. Ze wzoru redukcyjnego $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$ wynika bowiem

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

— wystarczy sprawdzić dowolną kolumnę tabeli.

Składanie: dwie strony i jedna pułapka

Złożenie „arcus w środku" działa zawsze, byle argument mieścił się w dziedzinie:

\sin(\arcsin x) = x \quad \text{dla } x \in [-1, 1]

Bo $\arcsin x$ jest z definicji kątem, którego sinus wynosi $x$ — sinus tylko odwraca to, co arcus zrobił.

Złożenie „arcus na zewnątrz" działa nie zawsze:

\arcsin(\sin x) = x \quad \text{tylko dla } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Powód jest ten sam, który kazał zawęzić dziedzinę: arcus musi oddać kąt ze swojego zbioru wartości, więc jeżeli $x$ tam nie leży, wynikiem będzie inny kąt o tym samym sinusie.

Oblicz arcsin(sin 150°) oraz arccos(cos 300°).

Kalkulator i klawisz sin⁻¹

Klawisz oznaczony sin⁻¹ (albo asin) to dokładnie arcus sinus, a nie potęga $-1$ . Dlatego kalkulator na pytanie o kąt o sinusie $\frac{1}{2}$ odpowiada „30" i nie wspomina o $150^\circ$ — nie dlatego, że tamten kąt nie pasuje, tylko dlatego, że leży poza zbiorem wartości funkcji, którą liczy.

To jest właśnie ta cicha przyczyna, dla której w twierdzeniu sinusów drugie rozwiązanie trzeba dopisywać samodzielnie: maszyna zwraca jeden kąt, bo funkcja odwrotna z definicji zwraca jeden.

Nachylenie drogi wynosi 8%. Ile to stopni?

Zadania

W zadaniach o wartość arcusa odpowiedzią jest wielokrotność π (np. π/6, 2π/3, −π/4). W zadaniach o złożenie funkcji podaj kąt w stopniach (np. 30) albo — gdy pytanie zaczyna się od sinusa lub cosinusa — ułamek będący wartością (np. −3/5).

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

arcsin 0 =

Częste błędy

$\arcsin x$ czytane jako $\frac{1}{\sin x}$ — zapis $\sin^{-1}$ oznacza funkcję odwrotną, a nie odwrotność liczby. Odwrotnością sinusa jest kosekans.
$\arcsin(\sin 150^\circ) = 150^\circ$ — arcus sinus zwraca wyłącznie kąty z $[-90^\circ, 90^\circ]$ ; poprawna odpowiedź to $30^\circ$ .
$\arccos(-\tfrac{1}{2}) = -60^\circ$ — arcus cosinus ma zbiór wartości $[0^\circ, 180^\circ]$ , więc odpowiedzią jest $120^\circ$ .
Liczenie $\arcsin 2$ — dziedziną arcusa sinusa jest $[-1, 1]$ ; poza nią wyrażenie nie ma sensu, a kalkulator zwraca błąd.
Uznanie, że kalkulator zgubił rozwiązanie — funkcja odwrotna z definicji oddaje jedno; drugie rozwiązanie równania dopisuje się ze wzoru redukcyjnego.
Mieszanie stopni z radianami — kalkulator w trybie RAD odpowie na $\operatorname{arctg} 0{,}08$ liczbą $0{,}0798$ , a nie $4{,}57$ ; to ta sama wartość w innej mierze.

Karta wzorów

Temat: Funkcje cyklometryczne

Arcus sinus
$y = \arcsin x \iff \sin y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$
dziedzina [−1, 1], zbiór wartości [−π/2, π/2]
Arcus cosinus
$y = \arccos x \iff \cos y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left[0, \pi\right]$
dziedzina [−1, 1], zbiór wartości [0, π]
Arcus tangens
$y = \operatorname{arctg} x \iff \operatorname{tg} y = x \ \text{ oraz } \ y \in \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$
dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste
Złożenie „od środka"
$\sin(\arcsin x) = x \quad \text{dla } x \in [-1, 1]$
zachodzi zawsze w dziedzinie arcusa
Złożenie „od zewnątrz"
$\arcsin(\sin x) = x \quad \text{tylko dla } x \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$
poza tym przedziałem wynik jest INNYM kątem
Związek arcusa sinusa z cosinusem
$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$
wprost ze wzoru redukcyjnego dla kąta dopełniającego

Wykres arcus sinusa to wykres sinusa zawężonego do przedziału od −π/2 do π/2, odbity względem prostej y = x. Odbicie zamienia dziedzinę ze zbiorem wartości.

Arcus tangens ma dziedzinę obejmującą wszystkie liczby rzeczywiste, ale jego wartości nigdy nie wychodzą poza przedział od −π/2 do π/2. Wykres zbliża się do dwóch poziomych prostych i nigdy ich nie dotyka.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min