Wzory redukcyjne

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych obejmuje kąty od 0° do 90°. Kątów jest nieskończenie wiele. Wzory redukcyjne są mostem między jednym a drugim: każdą wartość sprowadzają do kąta ostrego.

Dwie rzeczy: wartość i znak

Na kole jednostkowym każdy kąt wyznacza punkt, a wartości funkcji są jego współrzędnymi. Przy sprowadzaniu do kąta ostrego pytamy więc o dwie osobne rzeczy:

1. Jaka jest wartość bezwzględna — to daje kąt odniesienia, czyli ostry kąt między ramieniem a osią $x$.
2. Jaki jest znak — to daje ćwiartka, w której leży ramię.

Kąt odniesienia liczymy przez odjęcie od najbliższej poziomej półosi:

Wzory z 180° i 360°: funkcja zostaje

Zacznijmy od kąta $180^\circ - \alpha$. Na kole jednostkowym oba ramiona leżą symetrycznie względem osi $y$.

Odbicie względem osi $y$ zostawia $y$ i zmienia znak $x$, więc

Tak samo czytamy pozostałe dwa przypadki. Obrót o $180^\circ$ przenosi punkt do ćwiartki po przekątnej — obie współrzędne zmieniają znak:

a odbicie względem osi $x$ (kąt $360^\circ - \alpha$, czyli to samo co $-\alpha$) zmienia tylko rzędną:

Wspólna cecha: funkcja zostaje ta sama, zmienia się co najwyżej znak.

Kąt ujemny: parzystość

Szczególny przypadek ostatniej pary zasługuje na własną nazwę, bo pojawia się wszędzie:

Mówimy, że sinus jest funkcją nieparzystą, a cosinus parzystą. Widać to też na wykresach: sinusoida jest symetryczna względem początku układu, a cosinusoida — względem osi $y$.

Wzory z 90° i 270°: funkcja się zmienia

Tu dzieje się coś innego. Kąt $90^\circ - \alpha$ to dopełnienie do kąta prostego, a na kole jednostkowym jego ramię jest odbiciem ramienia $\alpha$ względem prostej $y = x$.

Odbicie względem $y = x$ zamienia współrzędne miejscami, a skoro cosinus jest odciętą, a sinus rzędną, to zamienia też obie funkcje:

Ten wzór znasz zresztą z trójkąta prostokątnego: kąty ostre sumują się tam do $90^\circ$, a przyprostokątna leżąca naprzeciw jednego z nich przylega do drugiego.

Dla $90^\circ + \alpha$ funkcja zmienia się tak samo, a znak bierzemy z II ćwiartki:

Jedna reguła zamiast tablicy

Wszystkie wzory tej lekcji da się zapisać jako dwa kroki. Załóżmy, że $\alpha$ jest ostry.

1. Funkcja. Przy $180^\circ$ i $360^\circ$ (czyli $\pi$ i $2\pi$) funkcja zostaje. Przy $90^\circ$ i $270^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$) zmienia się na kofunkcję: sinus ↔ cosinus, tangens ↔ cotangens.
2. Znak. Ustal ćwiartkę, w której leży cały kąt, i przypisz znak, jaki ma tam funkcja z lewej strony wzoru.

To samo w radianach

Zapis zmienia się, reguła nie. Wystarczy podstawić $180^\circ = \pi$ i $90^\circ = \frac{\pi}{2}$:

Tangens: krótszy okres, prostsze wzory

Tangens ma okres $180^\circ$, a nie $360^\circ$, więc półobrót nic z nim nie robi:

Przy $90^\circ$ obowiązuje ta sama reguła zamiany funkcji — tangens przechodzi w cotangens, czyli w odwrotność tangensa:

Zadania

W zadaniach o kąt odniesienia wpisz samą liczbę stopni (np. 20) — to zawsze kąt z przedziału od 0° do 90°. W zadaniach o wartość po redukcji odpowiedzią jest ułamek, razem ze znakiem (np. −3/5).

Częste błędy

• Zgubiony minus — wartość bierzemy z kąta odniesienia, ale znak z ćwiartki całego kąta; $\cos 200^\circ$ jest ujemny, choć $\cos 20^\circ$ dodatni.
• Zamiana funkcji przy 180° — przy $180^\circ$ i $360^\circ$ funkcja zostaje; zmienia się tylko przy $90^\circ$ i $270^\circ$.
• Znak brany z funkcji po prawej stronie — znak ustalamy dla funkcji, która stoi przed redukcją. W $\cos(90^\circ + \alpha)$ patrzymy na cosinus w II ćwiartce, a nie na sinus.
• Kąt odniesienia liczony od osi $y$ — odejmujemy od $180^\circ$ albo $360^\circ$, nigdy od $90^\circ$ czy $270^\circ$.
• Założenie, że $\alpha$ jest ostry, gdy nie jest — reguła znaku zakłada $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Dla większych kątów trzeba je najpierw sprowadzić do jednego obrotu.
• Mylenie kąta odniesienia z ćwiartką — $200^\circ$ to III ćwiartka i kąt odniesienia $20^\circ$; to dwie różne liczby, odpowiedzi na dwa różne pytania.