Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez zbliżania się do mierzonego obiektu. Wystarczy kąt i jedna odległość, którą można przejść taśmą. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: w trójkącie prostokątnym stosunek dwóch boków zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę, a liczbę można wyliczyć raz i zapisać w tablicy. Ten tekst jest warstwą narracyjną nad naszym działem o trygonometrii: skąd wzięły się sinus, cosinus i tangens i dlaczego w ogóle działają.

Spostrzeżenie, które zamienia kąt w liczbę

Weź trójkąt prostokątny i wskaż w nim jeden kąt ostry, α. Boki dostają wtedy nazwy: przeciwprostokątna c leży naprzeciw kąta prostego, przyprostokątna a naprzeciw kąta α, a przyprostokątna b przy nim. Trzy podstawowe stosunki to:

• sin α = a / c — przyprostokątna przeciwległa przez przeciwprostokątną,
• cos α = b / c — przyprostokątna przyległa przez przeciwprostokątną,
• tan α = a / b — przeciwległa przez przyległą.

Nazwy boków są przypisane kątowi, nie trójkątowi — i tu leży pierwsza pułapka. Ta sama przyprostokątna, która jest przeciwległa dla α, staje się przyległa dla drugiego kąta ostrego β = 90° − α. Stąd sin α = cos β, co nie jest osobną regułą, tylko przeczytaniem tego samego rysunku od drugiej strony.

Dlaczego jednak wartość takiego ilorazu nie zależy od rozmiaru figury? Bo dwa trójkąty prostokątne o wspólnym kącie ostrym α mają automatycznie identyczny zestaw kątów: 90°, α i 90° − α. To znaczy, że są podobne w sensie cechy kąt-kąt-kąt, a w trójkątach podobnych ilorazy odpowiadających sobie boków są równe. Skala się skraca. Trójkąt narysowany na kartce i trójkąt rozpięty między trzema szczytami górskimi mają dla tego samego kąta dokładnie ten sam sinus.

To jest cała sztuczka, i jest głębsza, niż wygląda. Dopóki mierzysz trójkąty, musisz do nich dotrzeć. Gdy stosunek boków przestaje zależeć od rozmiaru, kąt staje się liczbą — a liczbę można stabelaryzować, żeby nikt nigdy więcej nie musiał rysować tego trójkąta. Definicje i pierwsze rachunki rozpisujemy w lekcji o sinusie, cosinusie i tangensie.

Zaczęło się na niebie, nie na budowie

Pierwszym środowiskiem trygonometrii nie była geometria płaska, tylko astronomia. Starożytni obserwatorzy chcieli powiązać łuki na sferze niebieskiej z kątami — a nie mieli pojęcia funkcji w naszym sensie. Operowali czymś bardziej materialnym: cięciwą (gr. khordē) okręgu o ustalonym promieniu, opartą na danym łuku.

Pierwszą tablicę cięciw przypisuje się Hipparchowi z Nikai (ok. 190–120 p.n.e.), a jej powstanie datuje się na około 140 r. p.n.e. Samo dzieło nie zachowało się; o tym, że liczyło dwanaście ksiąg, wiemy z komentarza do Almagestu, który w IV wieku n.e. napisał Teon z Aleksandrii — czyli pół tysiąclecia po fakcie. To dobra ilustracja, jak wygląda podstawa źródłowa dla większości „pewników" o starożytnej matematyce.

Zachował się natomiast Almagest — traktat Klaudiusza Ptolemeusza z Aleksandrii z II wieku n.e., w oryginale Mathēmatikē Syntaxis. Ptolemeusz dzieli okrąg na 360 stopni, a jego średnicę na 120 części, i podaje długości cięciw dla kątów od ½° do 180° co pół stopnia. Żeby tę tablicę wypełnić, użył swojego twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg — z którego wyprowadził odpowiedniki dzisiejszych wzorów na sinus sumy, różnicy i kąta połówkowego.

Przełom pojęciowy przyszedł z Indii. W traktacie Aryabhatiya z 499 roku n.e. Aryabhata zamiast całej cięciwy podwojonego kąta zapisuje jej połowę — a to jest już dokładnie nasz sinus. W sanskrycie odcinek ten nazwano ardha-jya, „pół-cięciwa", co szybko skrócono do jya.

Sinus, czyli zatoka — anatomia pomyłki

W VIII wieku, w czasie wielkiej fali przekładów w Bagdadzie, indyjskie dzieła astronomiczne przetłumaczono na arabski. Sanskryckie jya przeniesiono fonetycznie jako jiba, zapisane spółgłoskami jb (جيب). Słowo to nic po arabsku nie znaczyło, a pismo semickie krótkich samogłosek nie notuje — więc kolejne generacje czytelników widziały w tych literach istniejące słowo jaib: „fałda szaty", „kieszeń", „zatoka".

Gdy w XII wieku przekładano te teksty z arabskiego na łacinę, jaib przetłumaczono dosłownie: sinus, czyli właśnie zatoka, wgłębienie, rozcięcie togi. Przekład przypisuje się zwykle Robertowi z Chester (1145), choć bywa też wskazywany Gerard z Cremony (1150) — atrybucja nie jest pewna. Termin utrwalił się, gdy Fibonacci użył go w formie sinus rectus arcus.

Warto podkreślić, czym ta „pomyłka tłumacza" była, a czym nie. Nie było to niedbalstwo: przy zapisie bezwokalicznym odczytanie zapożyczenia jako rodzimego homografu jest zachowaniem całkowicie naturalnym. I nie było bez konsekwencji — do dziś najważniejsza funkcja okresowa w matematyce nosi nazwę części garderoby.

Historia pozostałych nazw też przebiega inaczej, niż się zwykle opowiada. Astronomowie świata islamu, tacy jak al-Battani czy Abu al-Wafa, rzeczywiście liczyli tablice funkcji cienia — długości cienia rzucanego przez gnomon zegara słonecznego, po łacinie umbra recta i umbra versa. To przodkowie tangensa i cotangensa, ale nie ich nazwy: tangens i secans wprowadził dopiero Thomas Fincke w Geometria rotundi (1583), a formy cosinus i cotangens zaproponował Edmund Gunter około 1620 roku. Między funkcją a jej nazwiskiem leży w tym wypadku sześćset lat.

Dwa ostatnie kroki są nowożytne. Logarytmy Johna Napiera (1614) dały tablice logarytmiczno-trygonometryczne, w których mnożenie wartości funkcji sprowadzało się do dodawania ich logarytmów — to była podstawowa technika obliczeniowa inżynierii aż do kalkulatora. A Leonhard Euler w Introductio in analysin infinitorum (1748) zrobił rzecz decydującą: potraktował sinus i cosinus nie jako odcinki w okręgu o jakimś promieniu, lecz jako bezwymiarowe funkcje zmiennej rzeczywistej — i zapisał e^(ix) = cos x + i·sin x.

Wartość dokładna to nie odczyt z tablicy

Dla trzech kątów wartości funkcji trygonometrycznych wyprowadza się ściśle, elementarną geometrią — bez żadnej tablicy.

Dla 45° bierzemy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych a = b = 1. Z twierdzenia Pitagorasa c = √2, więc sin 45° = 1/√2 = √2/2, tyle samo wynosi cosinus, a tan 45° = 1.

Dla 30° i 60° bierzemy trójkąt równoboczny o boku 2 i przecinamy go wysokością. Powstaje trójkąt prostokątny o kątach 30° i 60°, w którym krótsza przyprostokątna ma długość 1, przeciwprostokątna 2, a wysokość — znów z Pitagorasa — h = √(4 − 1) = √3. Stąd od razu sin 30° = 1/2 i cos 30° = √3/2.

Lewa kolumna każdej pary to wartość, prawa — jej zaokrąglenie. Różnica nie jest kosmetyczna: √3/2 podstawione do dalszego rachunku nie wnosi żadnego błędu, a 0,87 wnosi go od razu i w złożonym obliczeniu ten błąd narasta. Wynik zaokrągla się na końcu, nie w połowie.

Poza kątami szczególnymi wartości są niewymierne i trzeba je policzyć numerycznie. Granica tego, co „ładne", jest zresztą twardo określona: z twierdzenia Nivena wynika, że jeśli kąt jest wymierną wielokrotnością kąta pełnego, to jego sinus jest liczbą wymierną wyłącznie w przypadkach 0, ±1/2 i ±1. Warto przy okazji uściślić powtarzane błędnie zdanie: takie wartości są niewymierne, ale algebraiczne — spełniają równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych. Przestępne stają się dopiero sinusy kątów o mierze algebraicznej w radianach, na przykład sin 1.

Koło jednostkowe: kąt bez ograniczeń

Definicja z trójkąta ma wbudowany limit — mieści tylko kąty ostre. Rozszerzenie na wszystkie liczby rzeczywiste daje koło jednostkowe: okrąg o promieniu r = 1 o środku w początku układu współrzędnych. Niech promień wodzący tworzy z dodatnią półosią x kąt θ, a P = (x, y) będzie punktem, w którym przecina okrąg. Wtedy po prostu:

cos θ = x, sin θ = y, tan θ = y / x (dla x ≠ 0)

Dla kąta ostrego to dokładnie stara definicja, bo przeciwprostokątna ma długość 1 i mianowniki znikają. Nowe jest to, że nic nie zabrania punktowi P wyjść z pierwszej ćwiartki — a znaki funkcji stają się wtedy prostą konsekwencją znaków współrzędnych: w drugiej ćwiartce dodatni jest tylko sinus, w trzeciej tylko tangens, w czwartej tylko cosinus. Kąt dodatni to obrót przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ujemny — zgodnie z nim, a kąt powyżej 360° to po prostu więcej niż jedno pełne okrążenie. Pełny obraz z rysunkiem jest w lekcji o kole jednostkowym.

Przy okazji rozstrzyga się pytanie o miarę kąta. Podział pełnego obrotu na 360 części to konwencja o babilońskim rodowodzie — jej zaletą jest to, że 360 ma aż 24 dzielniki, więc dzieli się bez ułamków (opisujemy to osobno w tekście o 360 stopniach). Radian jest inny: to stosunek długości łuku do promienia, θ = s / r, czyli liczba bezwymiarowa. Gdy łuk jest równy promieniowi, kąt wynosi 1 radian, czyli około 57,2958°; pełny obrót to 2π radianów.

Ta różnica nie jest kwestią gustu. Wzory analizy — lim(x→0) sin x / x = 1 oraz (sin x)' = cos x — obowiązują tylko w radianach. W stopniach pochodna sinusa nabiera czynnika π/180, i właśnie po to radiany istnieją: żeby usunąć sztuczną stałą z rachunku różniczkowego. W drugą stronę, do rachunków praktycznych, stopnie i radiany przelicza konwerter kątów.

Jedynka trygonometryczna to Pitagoras na okręgu

Najważniejsza tożsamość trygonometryczna nie wymaga żadnego nowego pomysłu — wystarczy zapisać równanie okręgu jednostkowego, x² + y² = 1, i podstawić x = cos α, y = sin α. Wychodzi:

sin²α + cos²α = 1

To wszystko. Jedynka trygonometryczna jest twierdzeniem Pitagorasa przeniesionym na okrąg o promieniu 1, i właśnie dlatego zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej α — także ujemnej i większej od pełnego obrotu, gdzie o trójkącie prostokątnym nie ma już mowy. Zastosowania (wyznaczanie cosinusa ze znanego sinusa i znaku ćwiartki) zbieramy w lekcji o jedynce trygonometrycznej, a sam dowód geometryczny — w lekcji o twierdzeniu Pitagorasa.

Kiedy nie ma kąta prostego

Wszystkie powyższe stosunki wymagają kąta prostego. W trójkącie dowolnym obowiązują dwa ogólniejsze prawa.

Twierdzenie sinusów mówi, że iloraz długości boku przez sinus kąta leżącego naprzeciw niego jest w danym trójkącie stały — i równy średnicy okręgu opisanego:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R

Stosuje się je, gdy znamy dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. W tym drugim przypadku trzeba uważać: dane „dwa boki i kąt niezawarty" mogą opisywać dwa różne trójkąty, bo sin(180° − α) = sin α. To znany przypadek niejednoznaczny, w którym samo równanie nie wystarcza i trzeba sprawdzić, który wynik jest zgodny z pozostałymi danymi.

Twierdzenie cosinusów wiąże trzy boki z jednym kątem:

c² = a² + b² − 2ab·cos γ

Jest ono bezpośrednim uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa: dla γ = 90° mamy cos 90° = 0, składnik korekcyjny znika i zostaje c² = a² + b². Używa się go, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. Oba twierdzenia z pełnym omówieniem są w lekcji o twierdzeniu sinusów i cosinusów.

Przykład: wysokość wieży z dwóch stanowisk

Z punktu A kąt wzniesienia szczytu wieży wynosi 30°. Po zbliżeniu się o 50 m do punktu B kąt rośnie do 45°. Podstawa wieży jest niedostępna. Niech h to wysokość, a x — odległość od B do podstawy.

Ze stanowiska B: tan 45° = h / x = 1, więc x = h. Ze stanowiska A odległość wynosi h + 50, więc tan 30° = h / (h + 50). Podstawiamy wartość dokładną tan 30° = √3/3:

√3/3 = h / (h + 50) ⟹ √3·(h + 50) = 3h ⟹ 50√3 = h·(3 − √3)

Po usunięciu niewymierności z mianownika h = 50√3 / (3 − √3) = 25(√3 + 1) m. To wynik dokładny; dopiero teraz h ≈ 68,3 m.

Przykład: odległość dwóch wysp

Statek w punkcie C widzi wyspy A i B pod kątem γ = 60°; odległości wynoszą 6 km i 10 km. Z twierdzenia cosinusów:

c² = 6² + 10² − 2·6·10·cos 60° = 36 + 100 − 120·0,5 = 76

czyli c = √76 = 2√19 ≈ 8,72 km. Zwróć uwagę, że cos 60° = 1/2 jest tu wartością dokładną — cały rachunek zostaje w liczbach całkowitych aż do ostatniego kroku.

Od obrotu do fali

Puść punkt po kole jednostkowym ze stałą prędkością kątową i śledź jedną współrzędną w czasie. Dostaniesz sinusoidę: to ten sam okrąg, tylko rozwinięty wzdłuż osi. Funkcje y = sin x i y = cos x mają okres 2π i zbiór wartości [−1, 1], a ogólna fala harmoniczna to

y(t) = A·sin(ωt + φ) + D

gdzie A to amplituda, ω = 2π/T częstość kołowa, φ przesunięcie fazowe, a D linia środkowa. Cztery parametry, całe bogactwo oscylacji — od dźwięku (zmiany ciśnienia powietrza) przez napięcie w sieci (50 Hz w Europie, 60 Hz w Ameryce Północnej) po wahadło przy małych wychyleniach i pływy morskie. Jak te parametry przekładają się na kształt wykresu, pokazujemy w lekcji o wykresach funkcji trygonometrycznych.

Prawdziwa siła tego opisu pochodzi jednak z analizy Fouriera: sygnał okresowy — przy dość łagodnych założeniach o jego regularności — rozkłada się na sumę czystych sinusów i cosinusów o różnych częstotliwościach, amplitudach i fazach. Stąd bierze się kompresja JPEG i MP3, oparte na dyskretnej transformacie kosinusowej, i stąd cała cyfrowa obróbka dźwięku. W grafice trójwymiarowej te same funkcje siedzą w macierzach obrotu, a w geodezji — w triangulacji, gdzie wysokość niedostępnego szczytu wyznacza się dokładnie tak, jak w przykładzie z wieżą, tylko na większą skalę.

Jedno zastrzeżenie, bo krąży tu popularna nieścisłość: GPS nie działa na kątach. Odbiornik mierzy czasy dotarcia sygnału z co najmniej czterech satelitów i zamienia je na odległości, a pozycję wyznacza trilateracją, czyli z przecięcia sfer. Trygonometria wchodzi dopiero przy przeliczaniu wyniku na współrzędne geograficzne — ale wchodzi w wersji sferycznej, czyli tam, gdzie ta historia się zaczęła.

Pięć pomyłek, które kosztują najwięcej

Co jest umową, a co prawdą

Nazwy funkcji trygonometrycznych są więc zbiegiem okoliczności, jednostki kąta — decyzją, a tablice — wygodą. Nie do podważenia jest jedna rzecz: że iloraz dwóch boków w trójkącie prostokątnym nie wie nic o rozmiarze tego trójkąta. Wystarczyło to zauważyć, żeby zmierzyć odległość do Księżyca, nie ruszając się z miejsca.

Dalsza lektura

• Glen Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry, Princeton University Press 2009 — najrzetelniejsza monografia wczesnej historii tematu.
• Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press 1998 — eseje o funkcjach okresowych i ich zastosowaniach.
• Klaudiusz Ptolemeusz, Almagest — przekład angielski G. J. Toomera (Princeton University Press 1998), z tablicą cięciw z Księgi I.
• MacTutor History of Mathematics Archive, Uniwersytet St Andrews — hasło Trigonometric functions oraz biogramy Hipparcha i Ptolemeusza.
• Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (w archiwum MacTutor) — udokumentowane daty pierwszych użyć terminów tangens, secans i cosinus.
• Khan Academy — kurs trygonometrii po polsku (pl.khanacademy.org).
• Delta (deltami.edu.pl) — przystępne artykuły o funkcjach okresowych i trygonometrii sferycznej.