Sinus, cosinus i tangens

Twierdzenie Pitagorasa wiąże trzy boki trójkąta prostokątnego. Trygonometria dokłada do tego czwartą wielkość — kąt — i pozwala policzyć bok, mając tylko jeden inny bok i jeden kąt.

Bok naprzeciw, bok przy kącie

Zanim pojawi się jakikolwiek wzór, trzeba nazwać boki względem wybranego kąta ostrego. To jedyne miejsce, w którym uczniowie mylą się częściej niż w rachunkach.

• Przeciwprostokątna $c$ — bok naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy. Nie zależy od tego, który kąt ostry wybieramy.
• Przyprostokątna naprzeciw $a$ — nie dotyka kąta $\alpha$.
• Przyprostokątna przy kącie $b$ — tworzy kąt $\alpha$ razem z przeciwprostokątną.

Wybierzemy drugi kąt ostry — role $a$ i $b$ zamienią się miejscami. Przeciwprostokątna zostanie tam, gdzie była.

Trzy stosunki

Słowami: sinus dzieli bok naprzeciw przez przeciwprostokątną, cosinus — bok przy kącie przez przeciwprostokątną, tangens — bok naprzeciw przez bok przy kącie.

Tangens nie jest osobnym pomysłem, tylko ilorazem dwóch poprzednich:

Po polsku tangens zapisujemy skrótem $\operatorname{tg}$; w angielskich podręcznikach i na kalkulatorze zobaczysz $\tan$ — to ta sama funkcja.

Dlaczego to zależy tylko od kąta

Dwa trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne — jeden jest po prostu powiększeniem drugiego. Przy powiększeniu każdy bok mnoży się przez tę samą liczbę $k$:

Skalowanie skraca się w ułamku. Dlatego $\sin 30^\circ$ jest jedną liczbą — tą samą w trójkącie o przeciwprostokątnej $1\,\text{cm}$ i w trójkącie o przeciwprostokątnej $1\,\text{km}$. To jest cały powód, dla którego tablice wartości w ogóle mogą istnieć.

Kąty szczególne: wartości dokładne

Dla trzech kątów wartości da się wyprowadzić bez tablic i bez kalkulatora — i wychodzą dokładne, z pierwiastkiem zamiast rozwinięcia dziesiętnego.

45° — weź kwadrat o boku $1$ i przetnij go przekątną. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $1$ i $1$, a jego przeciwprostokątna to $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Stąd

30° i 60° — weź trójkąt równoboczny o boku $2$ i przetnij go wysokością. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $2$, krótszej przyprostokątnej $1$ (połowa boku) i wysokości $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Naprzeciw kąta $30^\circ$ leży bok $1$, naprzeciw kąta $60^\circ$ — bok $\sqrt{3}$:

Warto zobaczyć w tej tabeli dwie rzeczy. Po pierwsze, kolumna cosinusa to kolumna sinusa czytana od dołu — bo $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, a to ten sam bok oglądany z drugiego kąta ostrego. Po drugie, $\operatorname{tg} 90^\circ$ nie istnieje: przy kącie $90^\circ$ bok „przy kącie” miałby długość zero, a przez zero nie dzielimy.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ to wartość dokładna; $0{,}87$ to jej przybliżenie do dwóch miejsc. W zadaniach pytających o wartość dokładną wpisuj postać z pierwiastkiem.

Wyznaczanie boku

Każdą definicję można przekształcić względem szukanej długości:

Recepta jest zawsze ta sama: nazwij boki względem danego kąta, wybierz funkcję, która łączy znany bok z szukanym, i dopiero wtedy podstawiaj liczby.

Kalkulator: tryb DEG

Kalkulator liczy sinus w tej mierze kąta, którą ma ustawioną. Skrót na wyświetlaczu mówi którą:

• DEG — stopnie. $\sin 30 = 0{,}5$. To tryb, w którym rozwiązuje się szkolne zadania.
• RAD — radiany. Ta sama sekwencja klawiszy daje $\sin 30 \approx -0{,}988$, bo $30$ zostaje potraktowane jako $30$ radianów.
• GRAD — grady (pełny obrót to $400^\text{g}$), spotykane w geodezji.

Zanim policzysz cokolwiek, wciśnij $\sin 30$ i sprawdź, czy widzisz $0{,}5$. Jeżeli nie — przełącz tryb, a nie wynik.

Zadania

W zadaniach o wartość funkcji dla kąta szczególnego wpisz wartość dokładną, np. √3/2 albo 1/2 (przybliżenie do dwóch miejsc też przejdzie — do jednego już nie). W zadaniach o długość boku jednostka jest podana w nawiasie, więc wpisz samą liczbę zaokrągloną do 0,1.

Częste błędy

• Zamiana boku naprzeciw z bokiem przy kącie — nazwij je, zanim sięgniesz po wzór; to źródło większości pomyłek.
• Użycie sinusa w trójkącie bez kąta prostego — te trzy definicje działają wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Dla dowolnego trójkąta służy twierdzenie sinusów i cosinusów.
• Kalkulator w trybie RAD — najczęstsza przyczyna wyniku „nie z tej planety”.
• $0{,}87$ podane jako wartość dokładna — dokładna jest postać $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Mnożenie zamiast dzielenia — gdy szukana długość stoi w mianowniku ($\cos \alpha = \frac{b}{c}$, szukamy $c$), trzeba podzielić.
• $\operatorname{tg} 90^\circ$ potraktowany jak liczba — ten tangens nie istnieje.