Co to jest sinus kąta?

W trójkącie prostokątnym sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej: sin α = a/c. Dla trójkąta o bokach 3, 4 i 5, gdzie naprzeciw kąta α leży bok 3, mamy sin α = 3/5 = 0,6.

Czym różni się sinus od cosinusa?

Oba dzielą przez przeciwprostokątną, ale przez różne przyprostokątne: sinus bierze bok leżący naprzeciw kąta (a/c), cosinus — bok przy kącie (b/c). Dlatego sin α = cos(90° − α): ten sam bok jest „naprzeciw” jednego kąta ostrego i „przy” drugim.

Jak obliczyć tangens?

Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie: tg α = a/b. Równoważnie tg α = sin α / cos α, bo dzieląc a/c przez b/c przeciwprostokątna się skraca. Po polsku tangens zapisujemy skrótem „tg”, po angielsku „tan”.

Dlaczego sinus zależy tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta?

Bo dwa trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne — jeden jest powiększeniem drugiego. Przy powiększeniu wszystkie boki mnożą się przez tę samą liczbę, więc ich stosunek się nie zmienia. Sinus 30° to ta sama liczba w trójkącie o boku 1 cm i w trójkącie o boku 1 km.

Ile wynosi sin 30°, sin 45° i sin 60°?

sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2 ≈ 0,71 i sin 60° = √3/2 ≈ 0,87. To wartości dokładne — wynikają z połowy trójkąta równobocznego i z przekątnej kwadratu, a nie z pomiaru. Zapis 0,87 jest tylko ich przybliżeniem.

Jak obliczyć bok trójkąta prostokątnego, znając kąt?

Przekształcamy definicję. Bok naprzeciw kąta: a = c · sin α. Bok przy kącie: b = c · cos α. Przeciwprostokątna z boku naprzeciw: c = a / sin α. Dla c = 12 cm i α = 35° mamy a = 12 · sin 35° ≈ 12 · 0,5736 ≈ 6,9 cm.

Dlaczego kalkulator pokazuje złą wartość sinusa?

Prawie zawsze dlatego, że pracuje w trybie RAD lub GRAD zamiast DEG. W trybie DEG sin 30° = 0,5; w trybie RAD ta sama sekwencja klawiszy da około −0,988, bo kalkulator potraktuje 30 jako radiany. Przed liczeniem sprawdź, czy na wyświetlaczu widnieje DEG.

Czy sinus może być większy od 1?

W trójkącie prostokątnym nie. Sinus i cosinus dzielą przyprostokątną przez przeciwprostokątną, a ta jest zawsze najdłuższym bokiem, więc wynik mieści się między 0 a 1. Tangens takiego ograniczenia nie ma — dla kątów bliskich 90° rośnie dowolnie duży.

Poziom średni

Sinus, cosinus i tangens

Sinus, cosinus i tangens to trzy stosunki boków trójkąta prostokątnego. Zobacz, dlaczego zależą wyłącznie od kąta, skąd biorą się dokładne wartości dla 30°, 45° i 60° oraz jak wyznaczyć bok, którego nie da się zmierzyć.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Twierdzenie PitagorasaW trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Zobacz, dlaczego to działa, jak wyznaczyć przeciwprostokątną i przyprostokątną, czym są trójki pitagorejskie i jak twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy kąt naprawdę jest prosty.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Pochylnie
Próg wejścia na taras ma 45 cm, a wózek wjedzie po pochylni o nachyleniu najwyżej 6%. Nachylenie to tangens kąta, więc tg α = 0,06, czyli α ≈ 3,4°, a długość podjazdu w poziomie to 45 cm / 0,06 = 750 cm. Pochylnia musi mieć 7,5 m — zwykle więcej, niż zostaje miejsca przed tarasem, i dlatego kończy się na dwóch krótszych biegach z podestem.
Pomiar wysokości
Drzewa nad domem nie zmierzysz taśmą, ale kąt zmierzy każdy telefon z poziomicą. Odchodzisz 15 m od pnia, celujesz w wierzchołek i odczytujesz 52°. Wysokość to 15 · tg 52° = 19,2 m plus wysokość oczu, czyli 1,6 m — razem 20,8 m. Gdyby padło, do dachu odległego o 12 m sięgnie z zapasem — i z tą liczbą dzwoni się po arborystę.
Fotowoltaika
Rząd paneli długi na 1,7 m, pochylony pod 30°, wznosi się na 1,7 · sin 30° = 0,85 m nad dach. W grudniowe południe słońce w Polsce stoi na wysokości około 17°, więc cień ma 0,85 / tg 17° = 2,8 m. O tyle instalator odsuwa kolejny rząd — bliżej pierwszy rząd wygasza drugi przez pół dnia w miesiącach, w których i tak brakuje prądu.

Wszystkie wzory

Sinus
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$
przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną
Cosinus
$\cos \alpha = \frac{b}{c}$
przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną
Tangens
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie
Bok naprzeciw kąta
$a = c \cdot \sin \alpha$
definicja sinusa przekształcona względem a
Bok przy kącie
$b = c \cdot \cos \alpha$
definicja cosinusa przekształcona względem b
Przeciwprostokątna
$c = \frac{a}{\sin \alpha}$
gdy znamy przyprostokątną naprzeciw kąta
Kąty szczególne
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
wartości dokładne, nie przybliżenia z tablicy

Twierdzenie Pitagorasa wiąże trzy boki trójkąta prostokątnego. Trygonometria dokłada do tego czwartą wielkość — kąt — i pozwala policzyć bok, mając tylko jeden inny bok i jeden kąt.

Bok naprzeciw, bok przy kącie

Zanim pojawi się jakikolwiek wzór, trzeba nazwać boki względem wybranego kąta ostrego. To jedyne miejsce, w którym uczniowie mylą się częściej niż w rachunkach.

Wobec kąta α: bok a leży naprzeciw niego, bok b przy nim, a przeciwprostokątna c naprzeciw kąta prostego.

Przeciwprostokątna $c$ — bok naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy. Nie zależy od tego, który kąt ostry wybieramy.
Przyprostokątna naprzeciw $a$ — nie dotyka kąta $\alpha$ .
Przyprostokątna przy kącie $b$ — tworzy kąt $\alpha$ razem z przeciwprostokątną.

Wybierzemy drugi kąt ostry — role $a$ i $b$ zamienią się miejscami. Przeciwprostokątna zostanie tam, gdzie była.

Trzy stosunki

\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}

Słowami: sinus dzieli bok naprzeciw przez przeciwprostokątną, cosinus — bok przy kącie przez przeciwprostokątną, tangens — bok naprzeciw przez bok przy kącie.

Tangens nie jest osobnym pomysłem, tylko ilorazem dwóch poprzednich:

\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b} = \operatorname{tg} \alpha

Po polsku tangens zapisujemy skrótem $\operatorname{tg}$ ; w angielskich podręcznikach i na kalkulatorze zobaczysz $\tan$ — to ta sama funkcja.

W trójkącie prostokątnym o bokach a = 3, b = 4, c = 5 oblicz sinus, cosinus i tangens kąta α leżącego naprzeciw boku a.

Dlaczego to zależy tylko od kąta

Dwa trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne — jeden jest po prostu powiększeniem drugiego. Przy powiększeniu każdy bok mnoży się przez tę samą liczbę $k$ :

\frac{k \cdot a}{k \cdot c} = \frac{a}{c}

Skalowanie skraca się w ułamku. Dlatego $\sin 30^\circ$ jest jedną liczbą — tą samą w trójkącie o przeciwprostokątnej $1\,\text{cm}$ i w trójkącie o przeciwprostokątnej $1\,\text{km}$ . To jest cały powód, dla którego tablice wartości w ogóle mogą istnieć.

Kąty szczególne: wartości dokładne

Dla trzech kątów wartości da się wyprowadzić bez tablic i bez kalkulatora — i wychodzą dokładne, z pierwiastkiem zamiast rozwinięcia dziesiętnego.

45° — weź kwadrat o boku $1$ i przetnij go przekątną. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $1$ i $1$ , a jego przeciwprostokątna to $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ . Stąd

\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

30° i 60° — weź trójkąt równoboczny o boku $2$ i przetnij go wysokością. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $2$ , krótszej przyprostokątnej $1$ (połowa boku) i wysokości $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ . Naprzeciw kąta $30^\circ$ leży bok $1$ , naprzeciw kąta $60^\circ$ — bok $\sqrt{3}$ :

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\operatorname{tg} \alpha$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^\circ$	$1$	$0$	nie istnieje

Warto zobaczyć w tej tabeli dwie rzeczy. Po pierwsze, kolumna cosinusa to kolumna sinusa czytana od dołu — bo $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ , a to ten sam bok oglądany z drugiego kąta ostrego. Po drugie, $\operatorname{tg} 90^\circ$ nie istnieje: przy kącie $90^\circ$ bok „przy kącie” miałby długość zero, a przez zero nie dzielimy.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ to wartość dokładna; $0{,}87$ to jej przybliżenie do dwóch miejsc. W zadaniach pytających o wartość dokładną wpisuj postać z pierwiastkiem.

Wyznaczanie boku

Każdą definicję można przekształcić względem szukanej długości:

a = c \cdot \sin \alpha, \qquad b = c \cdot \cos \alpha, \qquad c = \frac{a}{\sin \alpha}

Recepta jest zawsze ta sama: nazwij boki względem danego kąta, wybierz funkcję, która łączy znany bok z szukanym, i dopiero wtedy podstawiaj liczby.

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma 12 cm, a kąt ostry przy niej wynosi 35°. Oblicz przyprostokątną leżącą naprzeciw tego kąta (do 0,1 cm).

Drabina opiera się o ścianę pod kątem 70° do podłoża, a jej stopa stoi 1,2 m od ściany. Jak długa jest drabina (do 0,1 m)?

Kalkulator: tryb DEG

Kalkulator liczy sinus w tej mierze kąta, którą ma ustawioną. Skrót na wyświetlaczu mówi którą:

DEG — stopnie. $\sin 30 = 0{,}5$ . To tryb, w którym rozwiązuje się szkolne zadania.
RAD — radiany. Ta sama sekwencja klawiszy daje $\sin 30 \approx -0{,}988$ , bo $30$ zostaje potraktowane jako $30$ radianów.
GRAD — grady (pełny obrót to $400^\text{g}$ ), spotykane w geodezji.

Zanim policzysz cokolwiek, wciśnij $\sin 30$ i sprawdź, czy widzisz $0{,}5$ . Jeżeli nie — przełącz tryb, a nie wynik.

Zadania

W zadaniach o wartość funkcji dla kąta szczególnego wpisz wartość dokładną, np. √3/2 albo 1/2 (przybliżenie do dwóch miejsc też przejdzie — do jednego już nie). W zadaniach o długość boku jednostka jest podana w nawiasie, więc wpisz samą liczbę zaokrągloną do 0,1.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

cos 45° =

Częste błędy

Zamiana boku naprzeciw z bokiem przy kącie — nazwij je, zanim sięgniesz po wzór; to źródło większości pomyłek.
Użycie sinusa w trójkącie bez kąta prostego — te trzy definicje działają wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Dla dowolnego trójkąta służy twierdzenie sinusów i cosinusów.
Kalkulator w trybie RAD — najczęstsza przyczyna wyniku „nie z tej planety”.
$0{,}87$ podane jako wartość dokładna — dokładna jest postać $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Mnożenie zamiast dzielenia — gdy szukana długość stoi w mianowniku ( $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ , szukamy $c$ ), trzeba podzielić.
$\operatorname{tg} 90^\circ$ potraktowany jak liczba — ten tangens nie istnieje.

Karta wzorów

Temat: Sinus, cosinus i tangens

Sinus
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$
przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną
Cosinus
$\cos \alpha = \frac{b}{c}$
przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną
Tangens
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie
Bok naprzeciw kąta
$a = c \cdot \sin \alpha$
definicja sinusa przekształcona względem a
Bok przy kącie
$b = c \cdot \cos \alpha$
definicja cosinusa przekształcona względem b
Przeciwprostokątna
$c = \frac{a}{\sin \alpha}$
gdy znamy przyprostokątną naprzeciw kąta
Kąty szczególne
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
wartości dokładne, nie przybliżenia z tablicy

Trójkąt prostokątny widziany „od strony” kąta α: bok a leży naprzeciw niego, bok b przy nim, a przeciwprostokątna c naprzeciw kąta prostego.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min