Co to jest koło jednostkowe?

To okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 1. Każdemu kątowi α, odmierzanemu od dodatniej półosi x, odpowiada na nim dokładnie jeden punkt — a jego współrzędne to (cos α, sin α).

Jakie znaki mają sinus i cosinus w poszczególnych ćwiartkach?

W I ćwiartce oba są dodatnie. W II cosinus jest ujemny, a sinus dodatni. W III oba są ujemne. W IV cosinus jest dodatni, a sinus ujemny. Wystarczy patrzeć na współrzędne punktu: cosinus ma znak odciętej, sinus — rzędnej.

Ile radianów ma 180 stopni?

Dokładnie π radianów, czyli około 3,1416. Stąd przelicznik: aby zamienić stopnie na radiany, mnożymy przez π/180°, a w drugą stronę — przez 180°/π. Na przykład 60° = 60 · π/180 = π/3.

To kąt środkowy, który wycina z okręgu łuk o długości równej promieniowi. Ponieważ cały okrąg ma długość 2πr, pełny obrót to 2π radianów. Radian jest naturalną miarą kąta, bo nie zależy od żadnej umowy — w odróżnieniu od podziału obrotu na 360 części, odziedziczonego po Babilończykach.

Jak liczyć sinus kąta większego niż 90°?

Na kole jednostkowym po prostu odczytujemy współrzędną punktu. Praktycznie korzysta się z kąta odniesienia do najbliższej półosi x i dokłada znak z ćwiartki: sin 150° = sin 30° = 1/2, a cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

Co oznacza kąt ujemny albo większy od 360°?

Kąt ujemny odmierzamy zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a kąt powyżej 360° to obrót z okładem. Ponieważ po pełnym obrocie wracamy do tego samego punktu, wartości funkcji się powtarzają: sin 390° = sin 30° oraz sin(−30°) = −sin 30°.

Dlaczego sinus i cosinus nigdy nie przekraczają 1?

Bo są współrzędnymi punktu leżącego na okręgu o promieniu 1. Żadna współrzędna takiego punktu nie może być większa od 1 ani mniejsza od −1, więc obie funkcje przyjmują wartości wyłącznie z przedziału od −1 do 1.

Poziom średni

Koło jednostkowe

Q: Dlaczego cosinus to współrzędna x, a sinus to współrzędna y?

Bo dla kąta ostrego promień, jego rzut na oś x i odcinek pionowy tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 1. Wtedy cos α = x/1 = x oraz sin α = y/1 = y. Promień równy jeden usuwa z definicji dzielenie.

Koło jednostkowe przenosi sinus i cosinus z trójkąta na cały okrąg. Zobacz, jak współrzędne punktu stają się wartościami funkcji, jakie znaki mają w czterech ćwiartkach i dlaczego radian jest naturalną miarą kąta.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Sinus, cosinus i tangensSinus, cosinus i tangens to trzy stosunki boków trójkąta prostokątnego. Zobacz, dlaczego zależą wyłącznie od kąta, skąd biorą się dokładne wartości dla 30°, 45° i 60° oraz jak wyznaczyć bok, którego nie da się zmierzyć.
Pole i obwód kołaPole koła to P = πr², a obwód to Obw = 2πr. Zobacz, czym jest liczba π, jak promień wiąże się ze średnicą, dlaczego wynik prawie zawsze trzeba zaokrąglić i czym różni się koło od okręgu.

Wszystkie wzory

Równanie koła jednostkowego
$x^2 + y^2 = 1$
okrąg o środku (0, 0) i promieniu 1
Punkt na okręgu
$P = (\cos \alpha, \; \sin \alpha)$
cosinus to odcięta, sinus to rzędna
Stopnie → radiany
$\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
180° to π radianów
Radiany → stopnie
$\alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
ta sama zależność w drugą stronę
Kąty koterminalne
$\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin \alpha$
pełny obrót niczego nie zmienia

Definicje z trójkąta prostokątnego mają jedno ograniczenie: trójkąt ma tylko kąty ostre, więc $\sin 150^\circ$ nie ma w nich sensu. Koło jednostkowe usuwa to ograniczenie — i przy okazji pokazuje, czym sinus i cosinus naprawdę są.

Okrąg o promieniu 1

Rysujemy okrąg o środku w punkcie $(0, 0)$ i promieniu $1$ :

x^2 + y^2 = 1

Kąt $\alpha$ odmierzamy od dodatniej półosi $x$ , przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ramię kąta przecina okrąg dokładnie w jednym punkcie $P$ .

Punkt P ma współrzędne (cos α, sin α): cosinus to odcinek na osi x, sinus — na osi y.

P = (\cos \alpha, \; \sin \alpha)

Dla kąta ostrego to dokładnie ta sama definicja, co w trójkącie. Promień, jego rzut na oś $x$ i odcinek pionowy tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej $1$ , więc

\cos \alpha = \frac{x}{1} = x, \qquad \sin \alpha = \frac{y}{1} = y

Promień równy jeden usuwa dzielenie — zostają same współrzędne. Nowe jest to, że punkt można obracać dalej niż do $90^\circ$ , a współrzędne nadal istnieją.

Znaki w ćwiartkach

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki, numerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Znak funkcji to po prostu znak odpowiedniej współrzędnej.

W każdej ćwiartce pierwszy znak dotyczy cosinusa (odciętej), drugi — sinusa (rzędnej).

ćwiartka	zakres	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\operatorname{tg} \alpha$
I	$0^\circ$ – $90^\circ$	$+$	$+$	$+$
II	$90^\circ$ – $180^\circ$	$-$	$+$	$-$
III	$180^\circ$ – $270^\circ$	$-$	$-$	$+$
IV	$270^\circ$ – $360^\circ$	$+$	$-$	$-$

Tangens jest ilorazem, więc jego znak wynika z dwóch pozostałych: dwa minusy w trzeciej ćwiartce dają plus.

Wartości poza pierwszą ćwiartką

Wartość liczbową bierzemy z kąta odniesienia — ostrego kąta między ramieniem a osią $x$ — a znak z ćwiartki.

Oblicz sin 150° i cos 150°.

Kąty ujemne i obroty z okładem

Nic nie każe zatrzymać się na $360^\circ$ . Kąt ujemny odmierzamy zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a kąt większy od pełnego obrotu to obrót z okładem — punkt trafia tam, gdzie już był:

\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin \alpha, \qquad \cos(\alpha + 360^\circ) = \cos \alpha

Kąt 390° to pełny obrót i jeszcze 30°. Ramię kończy tam, gdzie ramię kąta 30° — dlatego obie wartości sinusa są równe.

Kąty prowadzące do tego samego punktu nazywamy koterminalnymi. Stąd $\sin 390^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ , a $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$ , bo obrót w drugą stronę zmienia znak rzędnej.

Stopnie i radiany

Podział pełnego obrotu na $360$ części jest umową — odziedziczoną po babilońskim systemie sześćdziesiątkowym, wygodną, bo 360 dzieli się przez mnóstwo liczb. Miara naturalna wygląda inaczej.

Radian to kąt środkowy wycinający z okręgu łuk o długości równej promieniowi. Cały okrąg ma długość $2\pi r$ , więc mieści się w nim $2\pi$ radianów:

360^\circ = 2\pi \; \text{rad}, \qquad 180^\circ = \pi \; \text{rad}

Stąd oba przeliczniki:

\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}, \qquad \alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}

Ten sam kąt zapisany w radianach: 60° to π/3, czyli jedna szósta półobrotu.

stopnie	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
radiany	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Zamień 135° na radiany, a 5π/6 na stopnie.

Jeżeli potrzebujesz przeliczyć konkretne wartości — także grady, minuty czy sekundy łukowe — zrobi to nasz konwerter kątów.

Zadania

W zadaniach o wartość funkcji wpisz wartość dokładną, np. √2/2 albo −1/2. W zadaniach o zamianę jednostek odpowiedzią jest albo wielokrotność π (np. π/3), albo sama liczba stopni (np. 60).

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

sin 90° =

Częste błędy

Odmierzanie kąta od osi $y$ — kąt zawsze startuje od dodatniej półosi $x$ .
Zamiana sinusa z cosinusem — cosinus to współrzędna pozioma, sinus — pionowa. Alfabetycznie: cosinus przed sinusem, tak jak $x$ przed $y$ .
Zgubiony znak w II–IV ćwiartce — wartość bierzemy z kąta odniesienia, ale znak z ćwiartki.
Mnożenie przez $180/\pi$ zamiast $\pi/180$ — po zamianie stopni na radiany wynik musi być mniejszą liczbą (np. $60^\circ \to \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05$ ).
$\pi$ potraktowane jak jednostka — $\frac{\pi}{3}$ to liczba, a nie „ $\pi$ trzecich stopnia”.
Sinus większy od 1 — na okręgu o promieniu 1 to niemożliwe; taki wynik oznacza błąd w rachunku.

Karta wzorów

Temat: Koło jednostkowe

Równanie koła jednostkowego
$x^2 + y^2 = 1$
okrąg o środku (0, 0) i promieniu 1
Punkt na okręgu
$P = (\cos \alpha, \; \sin \alpha)$
cosinus to odcięta, sinus to rzędna
Stopnie → radiany
$\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
180° to π radianów
Radiany → stopnie
$\alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
ta sama zależność w drugą stronę
Kąty koterminalne
$\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin \alpha$
pełny obrót niczego nie zmienia

Koło jednostkowe: punkt P na okręgu ma współrzędne (cos α, sin α). Cosinus mierzymy wzdłuż osi x, sinus wzdłuż osi y.

Znaki w czterech ćwiartkach: pierwsza litera mówi o cosinusie (odcięta), druga o sinusie (rzędna).

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min