Jak brzmi jedynka trygonometryczna?

Dla każdego kąta α zachodzi sin²α + cos²α = 1. Zapis sin²α oznacza (sin α)², czyli wartość sinusa podniesioną do kwadratu — a nie sinus kwadratu kąta.

Skąd bierze się wzór sin²α + cos²α = 1?

To twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąta na kole jednostkowym. Punkt (cos α, sin α) leży na okręgu o promieniu 1, a jego współrzędne są przyprostokątnymi trójkąta o przeciwprostokątnej 1. Zatem cos²α + sin²α = 1².

Jak obliczyć cosinus, znając sinus?

Przekształcamy tożsamość: cos²α = 1 − sin²α, więc cos α = ±√(1 − sin²α). Dla sin α = 3/5 mamy cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, czyli cos α = 4/5 lub −4/5. O znaku decyduje ćwiartka, w której leży kąt.

Dlaczego przy wyznaczaniu cosinusa pojawia się znak ±?

Bo pierwiastek kwadratowy daje wartość dodatnią, a cosinus w drugiej i trzeciej ćwiartce jest ujemny. Sama wartość sinusa nie wystarcza, żeby wskazać jeden kąt — dlatego zadania podają zakres, na przykład 0° < α < 90° albo 90° < α < 180°.

Czy sin²α to to samo co sin(α²)?

Nie. sin²α oznacza (sin α)² — najpierw liczymy sinus, potem podnosimy do kwadratu. Zapis sin(α²) oznaczałby sinus kwadratu kąta i jest zupełnie inną liczbą. Dla α = 30° mamy sin²30° = 0,25, a sin(900°) = 0.

Czy jedynka trygonometryczna działa dla kątów rozwartych?

Tak, dla każdego kąta bez wyjątku — także ujemnego i większego od pełnego obrotu. Wynika to z równania okręgu x² + y² = 1, które spełnia każdy punkt koła jednostkowego, niezależnie od tego, w której ćwiartce leży.

Do czego służy wzór 1 + tg²α = 1/cos²α?

Pozwala przejść między tangensem a cosinusem bez liczenia sinusa. Powstaje przez podzielenie jedynki trygonometrycznej stronami przez cos²α i przydaje się wszędzie tam, gdzie w zadaniu dany jest tangens.

Jak sprawdzić, czy podane wartości sinusa i cosinusa są możliwe?

Podnieś obie do kwadratu i dodaj — musi wyjść dokładnie 1. Para sin α = 0,6 i cos α = 0,8 przechodzi test (0,36 + 0,64 = 1), a para 0,5 i 0,5 nie, bo daje 0,5. To najszybszy sposób na wychwycenie błędu rachunkowego.

Poziom zaawansowany

Jedynka trygonometryczna

Q: Czy sin²α to to samo co sin(α²)?

Nie. sin²α oznacza (sin α)² — najpierw liczymy sinus, potem podnosimy do kwadratu. Zapis sin(α²) oznaczałby sinus kwadratu kąta i jest zupełnie inną liczbą. Dla α = 30° mamy sin²30° = 0,25, a sin(900°) = 0.

Q: Czy jedynka trygonometryczna działa dla kątów rozwartych?

Tak, dla każdego kąta bez wyjątku — także ujemnego i większego od pełnego obrotu. Wynika to z równania okręgu x² + y² = 1, które spełnia każdy punkt koła jednostkowego, niezależnie od tego, w której ćwiartce leży.

Q: Do czego służy wzór 1 + tg²α = 1/cos²α?

Pozwala przejść między tangensem a cosinusem bez liczenia sinusa. Powstaje przez podzielenie jedynki trygonometrycznej stronami przez cos²α i przydaje się wszędzie tam, gdzie w zadaniu dany jest tangens.

Q: Jak sprawdzić, czy podane wartości sinusa i cosinusa są możliwe?

Podnieś obie do kwadratu i dodaj — musi wyjść dokładnie 1. Para sin α = 0,6 i cos α = 0,8 przechodzi test (0,36 + 0,64 = 1), a para 0,5 i 0,5 nie, bo daje 0,5. To najszybszy sposób na wychwycenie błędu rachunkowego.

sin²α + cos²α = 1 to twierdzenie Pitagorasa zapisane na kole jednostkowym. Zobacz, skąd się bierze, jak wyznaczyć cosinus, znając sinus, i dlaczego bez znajomości ćwiartki odpowiedź jest niepełna.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Koło jednostkoweKoło jednostkowe przenosi sinus i cosinus z trójkąta na cały okrąg. Zobacz, jak współrzędne punktu stają się wartościami funkcji, jakie znaki mają w czterech ćwiartkach i dlaczego radian jest naturalną miarą kąta.
Twierdzenie PitagorasaW trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Zobacz, dlaczego to działa, jak wyznaczyć przeciwprostokątną i przyprostokątną, czym są trójki pitagorejskie i jak twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy kąt naprawdę jest prosty.

Wszystkie wzory

Jedynka trygonometryczna
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
zachodzi dla każdego kąta, bez wyjątków
Sinus z cosinusa
$\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$
znak wybiera ćwiartka, w której leży kąt
Cosinus z sinusa
$\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$
ta sama tożsamość przekształcona względem cosinusa
Tangens jako iloraz
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
wymaga cos α ≠ 0
Tożsamość pochodna
$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
jedynka podzielona stronami przez cos²α

Sinus i cosinus nie są od siebie niezależne. Znając jeden, drugi da się policzyć — bo oba są współrzędnymi tego samego punktu na okręgu o promieniu $1$ .

Twierdzenie Pitagorasa na okręgu

Punkt $P = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ leży na kole jednostkowym. Jego odcięta, rzędna i promień tworzą trójkąt prostokątny:

Przyprostokątne tego trójkąta mają długości |cos α| i |sin α|, a przeciwprostokątna — dokładnie 1.

Przyprostokątnymi są $\cos \alpha$ i $\sin \alpha$ , przeciwprostokątną — promień równy $1$ . Twierdzenie Pitagorasa daje więc

\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1^2

czyli jedynkę trygonometryczną:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

To to samo, co równanie okręgu $x^2 + y^2 = 1$ — tylko zapisane przez funkcje zamiast przez współrzędne. Dlatego tożsamość zachodzi dla każdego kąta: ujemnego, rozwartego, większego od pełnego obrotu. Punkt zawsze leży na tym samym okręgu.

Uwaga na zapis: $\sin^2 \alpha$ oznacza $(\sin \alpha)^2$ — najpierw sinus, potem kwadrat. To skrót, nie sinus kwadratu kąta.

Sprawdź jedynkę trygonometryczną dla kąta 30°.

Wyznaczanie drugiej funkcji

Tożsamość przekształcamy tak, jak każde inne równanie:

\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \quad \Longrightarrow \quad \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}

\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \quad \Longrightarrow \quad \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

Znak $\pm$ nie jest ozdobnikiem. Pierwiastek daje liczbę nieujemną, a cosinus bywa ujemny — sam sinus nie wskazuje jednego kąta, bo $\sin 30^\circ$ i $\sin 150^\circ$ to ta sama liczba, choć cosinusy tych kątów różnią się znakiem.

Dane: sin α = 3/5 oraz 0° < α < 90°. Oblicz cos α.

Znak wybiera ćwiartka

Ten sam rachunek z inną informacją o kącie kończy się inną odpowiedzią.

ćwiartka	zakres	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
I	$0^\circ < \alpha < 90^\circ$	$+$	$+$
II	$90^\circ < \alpha < 180^\circ$	$+$	$-$
III	$180^\circ < \alpha < 270^\circ$	$-$	$-$
IV	$270^\circ < \alpha < 360^\circ$	$-$	$+$

Dane: sin α = 3/5 oraz 90° < α < 180°. Oblicz cos α.

Tangens i tożsamość pochodna

Tangens wyraża się przez oba pozostałe:

\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Dzieląc jedynkę trygonometryczną stronami przez $\cos^2 \alpha$ , dostajemy tożsamość przydatną wtedy, gdy w zadaniu dany jest tangens:

\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \Longrightarrow \quad \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Dzielenie jest legalne tylko dla $\cos \alpha \neq 0$ — a tam, gdzie cosinus się zeruje (przy $90^\circ$ i $270^\circ$ ), tangensa i tak nie ma.

Dane: sin α = 3/5 i kąt ostry α. Oblicz tg α.

Szybki test poprawności

Jedynka trygonometryczna jest też narzędziem kontrolnym. Jeśli w rozwiązaniu wyszło $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$ , podnieś oba do kwadratu i dodaj:

$0{,}6$ i $0{,}8$ → $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ ✓
$0{,}5$ i $0{,}5$ → $0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$ ✗ — gdzieś jest błąd.

Zadania

Zadanie podaje jedną funkcję i zakres kąta, a pyta o drugą. Odpowiedź wpisz ułamkiem, np. 4/5 albo −4/5; postać dziesiętna też zostanie uznana. Zakres z treści rozstrzyga znak — sprawdź go, zanim wpiszesz wynik.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

sin α = 3/5, 0° < α < 90° → cos α

Częste błędy

Zgubiony znak minus w II i III ćwiartce — pierwiastek daje wartość dodatnią, znak dokłada ćwiartka.
$\sin^2 \alpha$ czytane jako $\sin(\alpha^2)$ — kwadrat dotyczy wartości funkcji, nie kąta.
$\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = 1 - \sin \alpha$ — pierwiastek z różnicy nie jest różnicą pierwiastków.
Odjęcie kwadratu bez podniesienia do kwadratu — do wzoru wchodzi $\sin^2 \alpha$ , a nie $\sin \alpha$ .
Ignorowanie zakresu podanego w treści — to on rozstrzyga, którą z dwóch wartości wybrać.
Dzielenie przez $\cos \alpha$ przy $\alpha = 90^\circ$ — tam cosinus jest zerem, a tangens nie istnieje.

Karta wzorów

Temat: Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
zachodzi dla każdego kąta, bez wyjątków
Sinus z cosinusa
$\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$
znak wybiera ćwiartka, w której leży kąt
Cosinus z sinusa
$\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$
ta sama tożsamość przekształcona względem cosinusa
Tangens jako iloraz
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
wymaga cos α ≠ 0
Tożsamość pochodna
$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
jedynka podzielona stronami przez cos²α

Promień, cosinus i sinus tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 1. Twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta to właśnie jedynka trygonometryczna.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min