Poziom zaawansowany

Jedynka trygonometryczna

sin²α + cos²α = 1 to twierdzenie Pitagorasa zapisane na kole jednostkowym. Zobacz, skąd się bierze, jak wyznaczyć cosinus, znając sinus, i dlaczego bez znajomości ćwiartki odpowiedź jest niepełna.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

  • Dekarstwo
    Projekt podaje spadek połaci w procentach: 40% to tg α = 0,40. Z tożsamości 1 + tg²α = 1/cos²α wychodzi cos α = 1/√1,16 = 0,93, więc połać nad rzutem szerokim na 6 m ma 6 / 0,93 = 6,46 m. Zamawiając blachę z wymiarów rzutu, na każdym pasie zabrakłoby 46 cm — a kątomierz nie był do tego potrzebny ani razu.
  • Instalacja elektryczna
    Warsztat pobiera 10 kVA przy współczynniku mocy cos φ = 0,8. Z jedynki trygonometrycznej sin φ = √(1 − 0,64) = 0,6, więc na pracę idzie 10 · 0,8 = 8 kW, a 10 · 0,6 = 6 kvar krąży w przewodach bez pożytku. Operator dolicza opłatę za energię bierną powyżej tg φ = 0,4, czyli cos φ ≈ 0,93 — te 6 kvar widać na fakturze, dopóki nie zawiśnie bateria kondensatorów.
  • Silnik gry
    Kierunek ruchu postaci trzyma się w parze (x, y) spełniającej x² + y² = 1 — to ta sama tożsamość, tylko zapisana bez kąta. Gdy x = 0,28, to y = ±0,96 i znak wybiera ćwiartka; pomylony wysyła postać w stronę przeciwną do tej, w którą celuje. Sprawdzenie sumy kwadratów wyłapuje też parę (1, 1), po której chodzenie na ukos robi się o 41% szybsze niż w bok.

Wszystkie wzory

  • Jedynka trygonometryczna

    sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

    zachodzi dla każdego kąta, bez wyjątków

  • Sinus z cosinusa

    sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

    znak wybiera ćwiartka, w której leży kąt

  • Cosinus z sinusa

    cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}

    ta sama tożsamość przekształcona względem cosinusa

  • Tangens jako iloraz

    tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

    wymaga cos α ≠ 0

  • Tożsamość pochodna

    1+tg⁡2α=1cos⁡2α1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

    jedynka podzielona stronami przez cos²α

Sinus i cosinus nie są od siebie niezależne. Znając jeden, drugi da się policzyć — bo oba są współrzędnymi tego samego punktu na okręgu o promieniu 11.

Twierdzenie Pitagorasa na okręgu

Punkt P=(cos⁡α,sin⁡α)P = (\cos \alpha, \sin \alpha) leży na kole jednostkowym. Jego odcięta, rzędna i promień tworzą trójkąt prostokątny:

cos αsin ααr = 1Pxy
Przyprostokątne tego trójkąta mają długości |cos α| i |sin α|, a przeciwprostokątna — dokładnie 1.

Przyprostokątnymi są cos⁡α\cos \alpha i sin⁡α\sin \alpha, przeciwprostokątną — promień równy 11. Twierdzenie Pitagorasa daje więc

cos⁡2α+sin⁡2α=12\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1^2

czyli jedynkę trygonometryczną:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

To to samo, co równanie okręgu x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 — tylko zapisane przez funkcje zamiast przez współrzędne. Dlatego tożsamość zachodzi dla każdego kąta: ujemnego, rozwartego, większego od pełnego obrotu. Punkt zawsze leży na tym samym okręgu.

Uwaga na zapis: sin⁡2α\sin^2 \alpha oznacza (sin⁡α)2(\sin \alpha)^2 — najpierw sinus, potem kwadrat. To skrót, nie sinus kwadratu kąta.

Sprawdź jedynkę trygonometryczną dla kąta 30°.

Wyznaczanie drugiej funkcji

Tożsamość przekształcamy tak, jak każde inne równanie:

cos⁡2α=1−sin⁡2α⟹cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \quad \Longrightarrow \quad \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} sin⁡2α=1−cos⁡2α⟹sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \quad \Longrightarrow \quad \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

Znak ±\pm nie jest ozdobnikiem. Pierwiastek daje liczbę nieujemną, a cosinus bywa ujemny — sam sinus nie wskazuje jednego kąta, bo sin⁡30∘\sin 30^\circ i sin⁡150∘\sin 150^\circ to ta sama liczba, choć cosinusy tych kątów różnią się znakiem.

Dane: sin α = 3/5 oraz 0° < α < 90°. Oblicz cos α.

Znak wybiera ćwiartka

Ten sam rachunek z inną informacją o kącie kończy się inną odpowiedzią.

ćwiartkazakressin⁡α\sin \alphacos⁡α\cos \alpha
I0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ++++
II90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ++−-
III180∘<α<270∘180^\circ < \alpha < 270^\circ−-−-
IV270∘<α<360∘270^\circ < \alpha < 360^\circ−-++
Dane: sin α = 3/5 oraz 90° < α < 180°. Oblicz cos α.

Tangens i tożsamość pochodna

Tangens wyraża się przez oba pozostałe:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Dzieląc jedynkę trygonometryczną stronami przez cos⁡2α\cos^2 \alpha, dostajemy tożsamość przydatną wtedy, gdy w zadaniu dany jest tangens:

sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡2αcos⁡2α=1cos⁡2α⟹tg⁡2α+1=1cos⁡2α\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \Longrightarrow \quad \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Dzielenie jest legalne tylko dla cos⁡α≠0\cos \alpha \neq 0 — a tam, gdzie cosinus się zeruje (przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ), tangensa i tak nie ma.

Dane: sin α = 3/5 i kąt ostry α. Oblicz tg α.

Szybki test poprawności

Jedynka trygonometryczna jest też narzędziem kontrolnym. Jeśli w rozwiązaniu wyszło sin⁡α\sin \alpha i cos⁡α\cos \alpha, podnieś oba do kwadratu i dodaj:

  • 0,60{,}6 i 0,80{,}8 → 0,36+0,64=10{,}36 + 0{,}64 = 1 ✓
  • 0,50{,}5 i 0,50{,}5 → 0,25+0,25=0,50{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5 ✗ — gdzieś jest błąd.

Zadania

Zadanie podaje jedną funkcję i zakres kąta, a pyta o drugą. Odpowiedź wpisz ułamkiem, np. 4/5 albo −4/5; postać dziesiętna też zostanie uznana. Zakres z treści rozstrzyga znak — sprawdź go, zanim wpiszesz wynik.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
sin α = 3/5, 0° < α < 90° → cos α

Częste błędy

  • Zgubiony znak minus w II i III ćwiartce — pierwiastek daje wartość dodatnią, znak dokłada ćwiartka.
  • sin⁡2α\sin^2 \alpha czytane jako sin⁡(α2)\sin(\alpha^2) — kwadrat dotyczy wartości funkcji, nie kąta.
  • 1−sin⁡2α=1−sin⁡α\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = 1 - \sin \alpha — pierwiastek z różnicy nie jest różnicą pierwiastków.
  • Odjęcie kwadratu bez podniesienia do kwadratu — do wzoru wchodzi sin⁡2α\sin^2 \alpha, a nie sin⁡α\sin \alpha.
  • Ignorowanie zakresu podanego w treści — to on rozstrzyga, którą z dwóch wartości wybrać.
  • Dzielenie przez cos⁡α\cos \alpha przy α=90∘\alpha = 90^\circ — tam cosinus jest zerem, a tangens nie istnieje.

Karta wzorów

Temat: Jedynka trygonometryczna

  • Jedynka trygonometryczna

    sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

    zachodzi dla każdego kąta, bez wyjątków

  • Sinus z cosinusa

    sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

    znak wybiera ćwiartka, w której leży kąt

  • Cosinus z sinusa

    cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}

    ta sama tożsamość przekształcona względem cosinusa

  • Tangens jako iloraz

    tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

    wymaga cos α ≠ 0

  • Tożsamość pochodna

    1+tg⁡2α=1cos⁡2α1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

    jedynka podzielona stronami przez cos²α

cos αsin ααr = 1Pxy
Promień, cosinus i sinus tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 1. Twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta to właśnie jedynka trygonometryczna.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min