Poziom zaawansowany

Miara łukowa i radiany

Radian to kąt, który wycina z okręgu łuk równy promieniowi. Zobacz, skąd bierze się 2π w pełnym obrocie, jak zamieniać stopnie na radiany w obie strony i dlaczego wzory na długość łuku i pole wycinka stają się w tej mierze jednolinijkowe.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

  • Gniazdko w ścianie
    Napięcie sieciowe biegnie sinusoidą u(t) = 325 · sin(ωt), gdzie ω = 2π · 50 Hz ≈ 314 rad/s. Po 0,004 s od przejścia przez zero kąt wynosi 314 · 0,004 = 1,256 rad, a napięcie 325 · sin(1,256) ≈ 309 V. Kalkulator musi wtedy stać w trybie RAD — w DEG policzyłby sin 1,256° ≈ 0,022 i wyszłoby 7 V zamiast 309 V.
  • Rower i licznik
    Koło o promieniu 0,35 m obraca się o 2 rad. Rower jedzie wtedy l = 0,35 · 2 = 0,70 m — jedno mnożenie, bez dzielenia przez 360. Licznik roweru robi dokładnie to: zlicza obroty, mnoży przez 2π · 0,35 ≈ 2,20 m i pokazuje przejechany dystans.
  • Robotyka
    Sterowniki serwomechanizmów przyjmują kąt w radianach, bo prędkość kątowa i moment liczy się w rad/s. Ramię o długości 0,4 m obrócone o 0,5 rad przesuwa chwytak po łuku 0,4 · 0,5 = 0,20 m. Wysłanie do sterownika liczby 30 zamiast π/6 ≈ 0,524 daje ruch prawie 60 razy za duży — bo tyle stopni ma jeden radian.
    Przelicz w konwerterze: Kąt
  • Optyka i celowniki
    Miliradian (1 mrad = 0,001 rad) to jednostka poprawek w celownikach i teodolitach właśnie dlatego, że l = rα. Na dystansie 300 m jeden mrad odpowiada 300 · 0,001 = 0,30 m, czyli 30 cm — poprawka „dwa kliki po 0,1 mrad" przesuwa punkt trafienia o 6 cm bez żadnego rachunku trygonometrycznego.
  • Krojenie blachy
    Wycinek blachy o promieniu 40 cm i kącie 1,2 rad ma pole ½ · 40² · 1,2 = 960 cm² i krawędź łukową o długości 40 · 1,2 = 48 cm. Wystarczą dwa mnożenia, żeby wycenić materiał i zamówić taśmę na obrzeże — w stopniach te same liczby wymagają najpierw podzielenia przez 360.

Wszystkie wzory

  • Jeden radian

    1 rad=180∘π≈57,30∘1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}30^\circ

    kąt, przy którym łuk ma długość promienia

  • Pełny obrót i półobrót

    360∘=2π rad,180∘=π rad360^\circ = 2\pi\ \text{rad}, \qquad 180^\circ = \pi\ \text{rad}

    obwód 2πr mieści 2π promieni

  • Stopnie → radiany

    αrad=αdeg⁡⋅π180∘\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}

    wynik jest liczbą mniejszą niż liczba stopni

  • Radiany → stopnie

    αdeg⁡=αrad⋅180∘π\alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}

    π się skraca, zostaje sama liczba stopni

  • Długość łuku

    l=rαl = r \alpha

    α w radianach — bez żadnego przelicznika

  • Pole wycinka

    P=12r2αP = \frac{1}{2} r^2 \alpha

    α w radianach; dla α = 2π wychodzi πr²

Podział pełnego obrotu na 360360 części jest umową — wygodną, bo 360 dzieli się przez mnóstwo liczb, ale odziedziczoną po babilońskim systemie sześćdziesiątkowym. Sam okrąg o niej nic nie wie. Miara, którą okrąg podaje sam z siebie, wygląda inaczej.

Kąt mierzony łukiem

Weźmy okrąg o promieniu rr i odetnijmy na nim łuk o długości dokładnie rr. Kąt środkowy oparty na tym łuku nazywamy jednym radianem.

l = rr1 radABS
Jeden radian: łuk AB ma tę samą długość co promień SA. Kąt wychodzi ten sam w każdym okręgu, bo mierzymy łuk PROMIENIAMI.

Kluczowe jest to, że definicja nie zależy od wielkości okręgu. Gdy podwoimy promień, łuk o długości promienia też się podwoi — a kąt między ramionami zostanie ten sam. Miara łukowa jest więc ilorazem:

α=lr\alpha = \frac{l}{r}

czyli liczbą promieni, które mieszczą się w łuku. Dwie długości w liczniku i mianowniku skracają się, więc radian jest wielkością bezwymiarową; skrót rad\text{rad} piszemy wyłącznie po to, żeby odróżnić go od stopni.

Skąd bierze się 2π

Cały okrąg ma długość 2πr2\pi r. Ile mieści się w nim łuków o długości rr?

2πrr=2π\frac{2\pi r}{r} = 2\pi

Pełny obrót to więc 2π2\pi radianów, a półobrót — połowa tego:

360∘=2π rad,180∘=π rad360^\circ = 2\pi\ \text{rad}, \qquad 180^\circ = \pi\ \text{rad}

Z tej jednej równości wynika wszystko pozostałe. Jeden radian to

1 rad=180∘π≈57,30∘1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}30^\circ

Liczba jest niewymierna, więc dokładnie w stopniach jej nie zapiszemy. Dlatego kąty w mierze łukowej zapisuje się jako wielokrotności π\pi — π6\frac{\pi}{6}, 3π4\frac{3\pi}{4}, 2π2\pi — a nie jako rozwinięcia dziesiętne.

Zamiana w obie strony

Skoro 180∘=π180^\circ = \pi, to przelicznik w każdą stronę jest ułamkiem, który daje jedynkę:

αrad=αdeg⁡⋅π180∘,αdeg⁡=αrad⋅180∘π\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}, \qquad \alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
stopnie30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ120∘120^\circ180∘180^\circ270∘270^\circ360∘360^\circ
radianyπ6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}2π3\frac{2\pi}{3}π\pi3π2\frac{3\pi}{2}2π2\pi
Zamień 135° na radiany, a 5π/6 na stopnie.

Jeżeli potrzebujesz przeliczyć konkretną wartość — także grady, minuty czy sekundy łukowe — zrobi to konwerter kątów.

Długość łuku

Teraz widać, po co ta miara powstała. Definicja α=lr\alpha = \frac{l}{r} przekształcona względem ll daje wzór bez żadnego przelicznika:

l=rαl = r \alpha
l = rαrαS
Wycinek o kącie α: łuk ma długość rα, a zaznaczone pole to ½r²α. Obydwa wzory wymagają kąta w radianach.

Porównaj to z wersją w stopniach, którą znasz z okręgu:

l=2πr⋅αdeg⁡360∘l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha_{\deg}}{360^\circ}

Oba wzory dają tę samą liczbę — ale drugi musi najpierw powiedzieć, jaką częścią pełnego obrotu jest kąt. Miara łukowa ma tę część wbudowaną w samą liczbę.

Oblicz długość łuku o promieniu 6 cm i kącie środkowym π/3.

Pole wycinka

Ten sam rachunek dla pola. Wycinek o kącie α\alpha jest taką częścią koła, jaką α\alpha jest częścią pełnego obrotu 2π2\pi:

P=πr2⋅α2π=12r2αP = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 \alpha

Kontrola skrajna: dla α=2π\alpha = 2\pi wzór daje 12r2⋅2π=πr2\frac{1}{2} r^2 \cdot 2\pi = \pi r^2, czyli pole całego koła ✓.

Wycinek ma promień 10 cm i kąt 3π/4. Oblicz jego pole i długość łuku.

Dlaczego to jest miara naturalna

Trzy fakty, które w stopniach po prostu nie zachodzą.

  • Wzory na łuk i wycinek nie mają przelicznika. l=rαl = r\alpha i P=12r2αP = \frac{1}{2}r^2\alpha to jedno mnożenie. W stopniach oba wymagają dodatkowo dzielenia przez 360360.
  • Dla małych kątów sin⁡α≈α\sin \alpha \approx \alpha. Dla α=0,05\alpha = 0{,}05 rad mamy sin⁡α=0,049979…\sin \alpha = 0{,}049979\ldots — różnica na piątym miejscu po przecinku. To przybliżenie stoi za rachunkami w optyce, mechanice i nawigacji, a w stopniach byłoby fałszywe (sin⁡0,05∘≈0,00087\sin 0{,}05^\circ \approx 0{,}00087).
  • Oś argumentów wykresu trygonometrycznego jest wyskalowana w π\pi. Wykres y=sin⁡xy = \sin x ma okres 2π2\pi właśnie dlatego, że argumentem jest miara łukowa; gdyby były to stopnie, okresem byłoby 360360 i wykres byłby dwustukrotnie rozciągnięty względem osi wartości.

Stąd też praktyczna reguła: kalkulator i biblioteki programistyczne liczą w radianach. Math.sin(1) w JavaScripcie to sinus jednego radiana, czyli około 0,8410{,}841, a nie sinus jednego stopnia.

Zadania

W zadaniach o zamianę jednostek odpowiedzią jest albo wielokrotność π (np. π/3, 3π/4), albo sama liczba stopni (np. 60). W zadaniach o łuk i wycinek wpisz wartość dokładną — również jako wielokrotność π, np. 2π albo 15π/2.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
45° → rad

Częste błędy

  • Mnożenie przez 180π\frac{180}{\pi} zamiast π180\frac{\pi}{180} — po zamianie stopni na radiany wynik musi być mniejszą liczbą.
  • Traktowanie π\pi jak jednostki — π3\frac{\pi}{3} to zwykła liczba (około 1,051{,}05), a nie „π\pi trzecich stopnia".
  • Wzór l=rαl = r\alpha z kątem w stopniach — dla r=6r = 6 i α=60∘\alpha = 60^\circ da 360360 zamiast 6,286{,}28. Kąt musi być wcześniej przeliczony.
  • Kalkulator w trybie DEG przy argumencie w radianach — szybki test: sin⁡1\sin 1 ma dać 0,8410{,}841. Jeżeli daje 0,01750{,}0175, kalkulator liczy w stopniach.
  • Pomylenie 12r2α\frac{1}{2}r^2\alpha z r2αr^2\alpha — połowa nie jest ozdobą; bez niej pole wychodzi dwa razy za duże.
  • Zaokrąglanie π\pi w trakcie rachunku — najpierw skracamy ułamki, dopiero na końcu (jeśli trzeba) podstawiamy π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

Karta wzorów

Temat: Miara łukowa i radiany

  • Jeden radian

    1 rad=180∘π≈57,30∘1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}30^\circ

    kąt, przy którym łuk ma długość promienia

  • Pełny obrót i półobrót

    360∘=2π rad,180∘=π rad360^\circ = 2\pi\ \text{rad}, \qquad 180^\circ = \pi\ \text{rad}

    obwód 2πr mieści 2π promieni

  • Stopnie → radiany

    αrad=αdeg⁡⋅π180∘\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}

    wynik jest liczbą mniejszą niż liczba stopni

  • Radiany → stopnie

    αdeg⁡=αrad⋅180∘π\alpha_{\deg} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}

    π się skraca, zostaje sama liczba stopni

  • Długość łuku

    l=rαl = r \alpha

    α w radianach — bez żadnego przelicznika

  • Pole wycinka

    P=12r2αP = \frac{1}{2} r^2 \alpha

    α w radianach; dla α = 2π wychodzi πr²

l = rr1 radABS
Jeden radian: kąt środkowy, przy którym łuk AB ma dokładnie długość promienia. Nie zależy od tego, jak duży jest okrąg.
l = rαrαS
Wycinek koła o kącie α: łuk ma długość rα, a pole wycinka wynosi ½r²α. Oba wzory działają tylko wtedy, gdy α jest w radianach.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min