Wzory na sumę i różnicę kątów

Pokusa jest silna: skoro $(a + b)^2$ rozkłada się na wzór skróconego mnożenia, to może $\sin(\alpha + \beta)$ rozkłada się na $\sin \alpha + \sin \beta$? Nie. Wystarczy podstawić:

Funkcje trygonometryczne nie są liniowe. Prawdziwy wzór jest inny — i to on otwiera całą resztę trygonometrii.

Wzór wyjściowy: cosinus różnicy

Zacznijmy od jednego wzoru; pozostałe z niego wypadną. Weźmy dwa punkty na kole jednostkowym: $P$ pod kątem $\alpha$ i $Q$ pod kątem $\beta$.

Ich współrzędne to $P = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ i $Q = (\cos \beta, \sin \beta)$. Kwadrat długości cięciwy liczymy odległością punktów:

Po rozwinięciu kwadratów i zastosowaniu jedynki trygonometrycznej dwa razy:

Teraz obróćmy cały rysunek o kąt $-\beta$. Cięciwa jest odcinkiem sztywnym, więc jej długość się nie zmienia — a punkty trafiają pod kąty $\alpha - \beta$ oraz $0$:

Porównanie obu wyrażeń i skrócenie daje wzór:

Pozostałe trzy wzory

Nie trzeba ich dowodzić od nowa — wystarczą wzory redukcyjne z poprzedniej lekcji.

Cosinus sumy. Podstawiamy $-\beta$ w miejsce $\beta$ i korzystamy z parzystości cosinusa oraz nieparzystości sinusa:

Sinus sumy. Zamieniamy sinus na cosinus dopełnienia i przegrupowujemy kąty:

Sinus różnicy znów przez podstawienie $-\beta$. Cztery wzory razem:

Jedyne, co trzeba zapamiętać, to zachowanie znaku: w sinusie znak po prawej jest taki sam jak po lewej, w cosinusie odwrotny.

Tangens sumy

Dzielimy sinus sumy przez cosinus sumy, a potem licznik i mianownik przez $\cos \alpha \cos \beta$:

Mianownik zeruje się dokładnie wtedy, gdy $\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = 1$, czyli gdy $\alpha + \beta = 90^\circ$ — a tam tangens rzeczywiście nie istnieje. Wzór sam pilnuje swojej dziedziny.

Wartości dokładne nowych kątów

Wzory pozwalają wyjść poza tablicę $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ — wystarczy zapisać kąt jako sumę albo różnicę.

Te same wzory czyta się też w drugą stronę — i to jest kierunek, w którym pytają zadania. Wyrażenie o kształcie prawej strony zwija się do jednej funkcji:

Kąt podwojony

Wystarczy w obu wzorach na sumę podstawić $\beta = \alpha$.

Drugi wzór ma jeszcze dwie postacie. Podstawiając $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ albo $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

To nie są trzy różne wzory, tylko jedna wartość zapisana trzema sposobami — wybieramy ten, który pasuje do danych zadania.

Dla tangensa wychodzi analogicznie:

Dowodzenie tożsamości

Tożsamość trygonometryczna to równość prawdziwa dla każdego kąta z dziedziny. Dowodzi się jej według jednej zasady: przekształcamy jedną stronę, aż stanie się drugą. Nie wolno przenosić wyrazów przez znak równości ani mnożyć obu stron — to zakładałoby, że równość już zachodzi, czyli dokładnie to, co mamy wykazać.

W praktyce zaczynamy od strony bardziej złożonej, rozpisujemy sumy kątów i kąty podwojone, a na końcu zwykle zbieramy wynik jedynką trygonometryczną.

Zadania

W zadaniach o wartość wyrażenia rozpoznaj wzór i zwiń je do jednej funkcji — odpowiedzią jest wartość dokładna, np. √3/2 albo 1/2. W zadaniach o kąt podwojony odpowiedzią jest ułamek, razem ze znakiem (np. −7/25).

Częste błędy

• $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta$ — najczęstszy błąd w trygonometrii. Kontrprzykład na $30^\circ$ i $60^\circ$ obala go w dwóch linijkach.
• Zły znak w cosinusie — w cosinusie sumy po prawej stoi minus, a w cosinusie różnicy plus. Odwrotnie niż po lewej stronie i odwrotnie niż w sinusie.
• $\cos 2\alpha = 2\cos \alpha$ — kąt podwojony nie znaczy „wartość podwojona". Dla $\alpha = 60^\circ$ mamy $\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}$, a $2\cos 60^\circ = 1$.
• Zgubiona dwójka w $\sin 2\alpha$ — wzór to $2\sin \alpha \cos \alpha$, nie $\sin \alpha \cos \alpha$.
• Dowód „z obu stron naraz" — przekształcamy jedną stronę. Mnożenie obu stron zakłada to, co dopiero mamy wykazać.
• Rozkład kąta na sumę, której składników nie ma w tablicy — $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ działa, $75^\circ = 50^\circ + 25^\circ$ nie daje niczego, bo wartości tych kątów też nie znamy.