Równania trygonometryczne

Równanie $2x + 1 = 7$ ma jedno rozwiązanie. Równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ ma ich nieskończenie wiele — i to nie z powodu jakiejś sztuczki, tylko dlatego, że sinus się powtarza. Cała technika rozwiązywania sprowadza się do dwóch pytań: jakie jest rozwiązanie podstawowe i jak się powtarza.

Równanie widziane na wykresie

Rozwiązać równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ to znaleźć te $x$, dla których wykres $y = \sin x$ ma wysokość $\frac{1}{2}$. Czyli: przeciąć sinusoidę prostą poziomą.

Z rysunku widać wszystko, co potrzebne:

• Na jednym okresie przecięcia są dwa, nie jedno.
• Kolejne okresy dają dokładnie te same dwa rozwiązania, przesunięte o $2\pi$.
• Gdyby prosta leżała powyżej $y = 1$, przecięć nie byłoby wcale.

Równanie z sinusem

Zapiszmy to wzorem. Niech $\alpha$ będzie rozwiązaniem podstawowym, czyli tym z przedziału $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ — odczytanym z tablicy wartości albo funkcją arcsin. Drugie rozwiązanie w okresie daje wzór redukcyjny $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$:

Warunek istnienia jest jeden: zbiorem wartości sinusa jest $[-1, 1]$, więc

Trzy wartości mają tylko jedno rozwiązanie w okresie, bo obie rodziny się na nie nakładają:

Równanie z cosinusem

Tu drugie rozwiązanie bierze się z parzystości: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, więc przecięcia leżą symetrycznie względem zera.

albo krócej: $x = \pm\alpha + 2k\pi$. Warunek istnienia ten sam co dla sinusa.

Równanie z tangensem

Tangens ma okres $\pi$, a nie $2\pi$, więc rodzina jest tylko jedna:

Jest to też jedyne z trzech równań, które ma rozwiązanie dla każdej liczby $c$ — zbiorem wartości tangensa jest cała prosta.

Rozwiązania z przedziału

Zadania zwykle nie pytają o cały zbiór, tylko o rozwiązania z zadanego odcinka. Sposób jest zawsze ten sam: wzór ogólny, a potem kolejne całkowite $k$.

Równania sprowadzalne

Większość zadań nie ma postaci $\sin x = c$ od razu. Dwie techniki załatwiają niemal wszystkie.

Rozkład na czynniki. Gdy w równaniu występuje wspólny czynnik, wyłączamy go przed nawias i korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik.

Podstawienie. Gdy w równaniu występuje jedna funkcja w różnych potęgach, podstawiamy za nią zmienną i rozwiązujemy równanie kwadratowe.

Nierówności: ten sam wykres, inna odpowiedź

Nierówność trygonometryczną rozwiązuje się w dwóch krokach: najpierw równanie, potem odczyt z wykresu, po której stronie prostej leży krzywa.

Dla $\sin x \geqslant \frac{1}{2}$ w przedziale $[0, 2\pi)$ równanie daje $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$, a na pierwszym rysunku tej lekcji widać, że między tymi punktami sinusoida biegnie ponad prostą. Stąd

Odpowiedzią nierówności jest więc przedział, a nie lista punktów — i dlatego wykres jest tu narzędziem, a nie ilustracją.

Zadania

W zadaniach o jedno rozwiązanie z przedziału wpisz liczbę stopni (np. 150). W zadaniach o dwa rozwiązania w $[0, 2\pi)$ podaj oba, rosnąco, jako wielokrotności π — np. π/6, 5π/6. W zadaniach o liczbę rozwiązań odpowiedzią jest liczba całkowita.

Częste błędy

• Podanie tylko jednego rozwiązania w okresie — sinus i cosinus przecinają prostą poziomą dwa razy na okres; kalkulator (i funkcja arcus) zwraca tylko jedno.
• Skrócenie równania przez $\sin x$ — dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem, gubi rozwiązania. Zamiast tego wyłączamy czynnik przed nawias.
• $2k\pi$ przy tangensie — tangens ma okres $\pi$, więc jego rodzina to $\alpha + k\pi$.
• Pominięcie warunku $|c| \leqslant 1$ — równanie $\sin x = \frac{3}{2}$ nie ma rozwiązań i to jest pełna odpowiedź, a nie brak odpowiedzi.
• Zapomniany warunek dla podstawienia — po $t = \cos x$ trzeba odrzucić pierwiastki spoza $[-1, 1]$.
• Mieszanie stopni z radianami w jednej odpowiedzi — jeżeli przedział podano jako $[0, 2\pi)$, rozwiązania też zapisujemy w radianach.