Czym różni się −f(x) od f(−x)?

Pierwsze zmienia znak wartości, czyli odbija wykres względem osi OX (to, co było wysoko, jest nisko). Drugie zmienia znak argumentu, czyli odbija wykres względem osi OY (to, co było po prawej, jest po lewej). Dla paraboli y = x² drugie przekształcenie nic nie zmienia, bo funkcja jest parzysta, a pierwsze odwraca ją ramionami w dół.

W jakiej kolejności wykonuje się złożone przekształcenie?

Najpierw działania na argumencie, potem na wartości — tak jak przy liczeniu wartości funkcji. We wzorze y = 2·f(x − 3) + 1 najpierw przesuwasz o 3 w prawo, potem rozciągasz dwukrotnie w pionie, a na końcu podnosisz o 1. Zamiana kolejności rozciągania i przesunięcia w pionie daje inny wykres, bo 2·(f(x) + 1) to nie to samo co 2·f(x) + 1.

Co robi współczynnik a we wzorze y = a·f(x)?

Rozciąga wykres wzdłuż osi OY: każdy punkt oddala się od osi OX a razy. Dla |a| > 1 wykres robi się „wyższy", dla 0 < |a| < 1 spłaszcza się, a dla a < 0 dochodzi jeszcze odbicie względem OX. Punkty leżące na osi OX zostają w miejscu, bo mnożenie zera przez cokolwiek daje zero.

Jak z wykresu y = sin x zrobić y = a·sin(bx + c)?

Trzema ruchami. Współczynnik a ustawia amplitudę, czyli rozciąga wykres w pionie do wysokości |a|. Współczynnik b ściska go w poziomie: okres z 2π robi się 2π/|b|. Stała c przesuwa całość w poziomie o −c/b, bo bx + c = b·(x + c/b) — dlatego przesunięcie fazowe liczy się z podzielenia c przez b, a nie z samego c.

Ile wynosi okres funkcji y = 3·sin 4x?

Okres podstawowy to 2π/4 = π/2. Współczynnik 3 stoi przy funkcji, a nie przy argumencie, więc na okres nie wpływa — zmienia tylko amplitudę na 3. Wykres przechodzi więc pełny cykl czterokrotnie szybciej niż zwykły sinus, sięgając od −3 do 3.

Czy przesunięcie wykresu zmienia dziedzinę funkcji?

Przesunięcie w pionie nie, w poziomie tak. Funkcja y = f(x) + q ma tę samą dziedzinę co f, bo argument się nie zmienił. Funkcja y = f(x − p) ma dziedzinę przesuniętą o p: jeśli f była określona dla x > 0, to nowa jest określona dla x > p.

Skąd wiadomo, że przekształcony wykres to nadal wykres funkcji?

Bo każde z tych przekształceń przesuwa punkty pionowo albo poziomo, nigdy nie kładzie dwóch punktów jeden nad drugim. Test pionowej prostej, który przechodził przed przekształceniem, przechodzi i po nim. Wyjątkiem byłoby odbicie względem prostej y = x, które zamienia osie rolami — i to już jest funkcja odwrotna, osobny temat.

Poziom średni

Przekształcenia wykresu funkcji

Q: Dlaczego f(x − 2) przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo?

Bo we wzorze zmienia się argument, a nie wartość. Nowa funkcja w punkcie x robi to, co stara robiła w punkcie x − 2, więc żeby dostać dawną wartość, trzeba wejść dwa dalej w prawo. Szybki test: stara funkcja miała wierzchołek w zerze, a nowa ma go tam, gdzie x − 2 = 0, czyli w x = 2.

Q: Jak z wykresu y = sin x zrobić y = a·sin(bx + c)?

Trzema ruchami. Współczynnik a ustawia amplitudę, czyli rozciąga wykres w pionie do wysokości |a|. Współczynnik b ściska go w poziomie: okres z 2π robi się 2π/|b|. Stała c przesuwa całość w poziomie o −c/b, bo bx + c = b·(x + c/b) — dlatego przesunięcie fazowe liczy się z podzielenia c przez b, a nie z samego c.

Q: Ile wynosi okres funkcji y = 3·sin 4x?

Okres podstawowy to 2π/4 = π/2. Współczynnik 3 stoi przy funkcji, a nie przy argumencie, więc na okres nie wpływa — zmienia tylko amplitudę na 3. Wykres przechodzi więc pełny cykl czterokrotnie szybciej niż zwykły sinus, sięgając od −3 do 3.

Q: Czy przesunięcie wykresu zmienia dziedzinę funkcji?

Przesunięcie w pionie nie, w poziomie tak. Funkcja y = f(x) + q ma tę samą dziedzinę co f, bo argument się nie zmienił. Funkcja y = f(x − p) ma dziedzinę przesuniętą o p: jeśli f była określona dla x > 0, to nowa jest określona dla x > p.

Jeden wykres, cztery ruchy: w górę, w bok, odbicie w osi i rozciągnięcie. Zobacz, jak zmiana wzoru przekłada się na ruch krzywej, dlaczego f(x − 2) przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo, i jak z czystego sinusa robi się y = a·sin(bx + c) o dowolnej amplitudzie i okresie.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Funkcja kwadratowaFunkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c rysuje parabolę. Poznaj wierzchołek i oś symetrii, trzy postacie wzoru — ogólną, kanoniczną i iloczynową — oraz to, jak znak współczynnika a rozstrzyga o minimum i maksimum.
Wykresy funkcji trygonometrycznychSinusoida to koło jednostkowe rozwinięte wzdłuż osi. Zobacz, skąd bierze się okres 2π, dlaczego cosinus jest przesuniętym sinusem i co dzieje się z wykresem tangensa tam, gdzie funkcja nie istnieje.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Strojenie instrumentu
Kamerton daje dźwięk a¹ o częstotliwości 440 Hz, czyli falę y = a·sin(2π·440·t). Ta sama struna naciągnięta mocniej daje 466 Hz — współczynnik przy t rośnie, więc okres skraca się z 1/440 ≈ 2,27 ms do 1/466 ≈ 2,15 ms. Stroiciel nie zmienia kształtu fali, tylko jeden współczynnik w jej wzorze, a szarpnięcie mocniej zmienia wyłącznie amplitudę, czyli głośność.
Pływy w porcie
Poziom wody w Gdańsku modeluje się wzorem h(t) = 0,3·sin(0,5t) + 2,4, gdzie t jest liczone w godzinach. Amplituda 0,3 m to połowa różnicy między przypływem a odpływem, a stała 2,4 m to przesunięcie w górę, czyli średni poziom morza. Kapitan podstawia t = 3 i dostaje h = 0,3·sin 1,5 + 2,4 ≈ 2,70 m — tyle wody będzie pod kilem za trzy godziny.
Rzut piłką na boisku
Tor piłki kopniętej z ziemi opisuje parabola y = −0,05x² + x. Ten sam kop wykonany z podwyższenia o 2 m to ta sama krzywa przesunięta w górę: y = −0,05x² + x + 2. Wierzchołek przenosi się z wysokości 5 m na 7 m, a zasięg rośnie z 20 m do około 21,8 m — trener dostaje odpowiedź, nie licząc toru od nowa.
Analiza sprzedaży sezonowej
Sprzedaż lodów w ciągu roku modeluje się wzorem S(m) = 120·sin(0,52·(m − 4)) + 200 tysięcy złotych, gdzie m to numer miesiąca. Przesunięcie o 4 ustawia szczyt na lipiec, amplituda 120 mówi o wahaniu wokół średniej 200 tys. zł. Analityk podstawia m = 1 i przewiduje na styczeń S ≈ 200 − 120·0,84 ≈ 99 tys. zł, czyli mniej niż połowę średniej.

Wszystkie wzory

Przesunięcie wzdłuż OY
$y = f(x) + q$
w górę dla q > 0, w dół dla q < 0
Przesunięcie wzdłuż OX
$y = f(x - p)$
w prawo dla p > 0 — przeciwnie do znaku we wzorze
Przesunięcie o wektor
$y = f(x - p) + q$
\vec{u} = [p,\, q]
Odbicie względem OX
$y = -f(x)$
zmienia znak wartości
Odbicie względem OY
$y = f(-x)$
zmienia znak argumentu
Rozciąganie wzdłuż OY
$y = a \cdot f(x)$
a razy dalej od osi OX
Ściskanie wzdłuż OX
$y = f(b x)$
b razy bliżej osi OY
Sinusoida ogólna
$y = a \sin(bx + c)$
amplituda |a|, okres \tfrac{2\pi}{|b|}, przesunięcie o -\tfrac{c}{b}

Nie każdą krzywą trzeba rysować od zera. Większość wykresów, które spotkasz, to kilka znanych kształtów przesuniętych, odbitych albo rozciągniętych — a każdy z tych ruchów widać we wzorze.

Przesunięcie wzdłuż osi OY

Najprostszy przypadek: do gotowego wzoru dodajemy liczbę.

y = f(x) + q

Każda wartość rośnie o $q$ , więc cały wykres podnosi się o $q$ — w górę dla $q > 0$ , w dół dla $q < 0$ . Kształt się nie zmienia, bo do wszystkich wartości dodaliśmy to samo.

Dla funkcji kwadratowej $f(x) = x^2$ wzór $y = x^2 + 3$ daje tę samą parabolę, tyle że jej wierzchołek leży w punkcie $(0;\, 3)$ zamiast w początku układu.

Przesunięcie wzdłuż osi OX

Tu zmienia się argument, i to jest miejsce, w którym najłatwiej się pomylić:

y = f(x - p)

Wykres przesuwa się o $p$ w prawo — mimo minusa we wzorze. Powód jest prosty, gdy się go raz zobaczy: nowa funkcja w punkcie $x$ robi dokładnie to, co stara robiła w punkcie $x - p$ . Żeby więc dostać dawną wartość z zera, trzeba wejść aż do $x = p$ .

wzór	co się dzieje
$y = f(x - 3)$	trzy w prawo
$y = f(x + 3)$	trzy w lewo
$y = f(x) + 3$	trzy w górę
$y = f(x) - 3$	trzy w dół

Dwa środkowe wiersze wyglądają podobnie, a robią coś przeciwnego. Znak przy argumencie działa odwrotnie do intuicji, znak przy wartości — zgodnie z nią.

Przesunięcie o wektor

Oba ruchy naraz to przesunięcie o wektor $\vec{u} = [p,\, q]$ :

y = f(x - p) + q

Parabola y = x² i jej obraz po przesunięciu o wektor [2, 3]. Strzałka prowadzi od dawnego wierzchołka do nowego — wzór y = (x − 2)² + 3 mówi dokładnie to samo, tylko literami.

Po wymnożeniu $(x-2)^2 + 3 = x^2 - 4x + 7$ — ta sama funkcja, ale z jej postaci ogólnej przesunięcia już nie widać. Postać kanoniczna jest właśnie zapisem, w którym przesunięcie jest wypisane wprost.

Wykres funkcji f(x) = x² przesunięto o wektor [−3, 2]. Podaj wzór funkcji g.

Odbicia

Dwa przekształcenia, dwa różne znaki minus:

y = -f(x) \qquad \text{oraz} \qquad y = f(-x)

Pierwsze zmienia znak wartości — punkt $(x;\, y)$ przechodzi na $(x;\, -y)$ , czyli wykres odbija się względem osi OX. Drugie zmienia znak argumentu — punkt $(x;\, y)$ przechodzi na $(-x;\, y)$ , czyli odbicie następuje względem osi OY.

funkcja	$-f(x)$	$f(-x)$
$x^2$	$-x^2$ (ramiona w dół)	$x^2$ (bez zmian — funkcja parzysta)
$2x + 1$	$-2x - 1$	$-2x + 1$
$\sqrt{x}$	$-\sqrt{x}$	$\sqrt{-x}$ (dziedzina $x \le 0$ )

Środkowy wiersz pokazuje, dlaczego warto liczyć, a nie zgadywać: dla $f(x) = 2x+1$ oba odbicia dają różne proste.

Dana jest funkcja f(x) = x² − 4x. Wyznacz wzór funkcji g(x) = f(−x).

Rozciąganie i ściskanie

Zamiast dodawać, pomnóżmy — i znów wynik zależy od tego, po której stronie stoi mnożnik.

y = a \cdot f(x) \qquad \text{oraz} \qquad y = f(b x)

$y = a \cdot f(x)$ rozciąga wykres wzdłuż osi OY: każdy punkt oddala się od osi OX $a$ razy. Miejsca zerowe zostają w miejscu, bo $a \cdot 0 = 0$ .
$y = f(bx)$ ściska wykres wzdłuż osi OX: to, co funkcja robiła na odcinku długości $1$ , teraz mieści na odcinku długości $\tfrac{1}{b}$ . Punkt przecięcia z osią OY zostaje w miejscu.

Znów: mnożnik przy wartości działa zgodnie z intuicją, mnożnik przy argumencie — odwrotnie. Dwójka przed funkcją robi wykres dwa razy wyższym, dwójka przy $x$ robi go dwa razy węższym.

Sinusoida ogólna

Wszystkie cztery ruchy naraz najlepiej widać na wykresie sinusa, bo czysty $\sin x$ ma bardzo rozpoznawalny kształt:

y = a \sin(bx + c) + d

współczynnik	co ustawia	wartość
$a$	amplituda	$\lvert a \rvert$
$b$	okres	$\dfrac{2\pi}{\lvert b \rvert}$
$c$	przesunięcie fazowe	$-\dfrac{c}{b}$
$d$	oś wahania	$y = d$

Zwykły sinus i sinusoida y = 2·sin 2x. Grzbiety sięgają 2 zamiast 1 (amplituda), a pełny cykl mieści się w π zamiast w 2π (okres).

Przesunięcie fazowe liczy się z podzielenia $c$ przez $b$ , a nie z samego $c$ — bo dopiero po wyłączeniu $b$ przed nawias widać, o ile naprawdę wędruje argument:

\sin(2x - \pi) = \sin\!\left(2\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right)\right)

Wykres jedzie o $\tfrac{\pi}{2}$ w prawo, nie o $\pi$ .

Podaj amplitudę, okres i przesunięcie fazowe funkcji y = 3 sin(2x + π).

Te same trzy współczynniki opisują każdą falę: dźwięk, napięcie w gniazdku i poziom wody w porcie różnią się wyłącznie ich wartościami.

Zadania

Zestaw sprawdza cztery rzeczy: wzór funkcji po przesunięciu lub odbiciu, obraz punktu wykresu (najpierw policz wartość $f$ , dopiero potem przesuń punkt), okres sinusoidy i jej wartość w punkcie. Wzór wpisujesz w postaci, która ci pasuje — (x−2)^2+3 i x^2−4x+7 są przyjmowane tak samo, bo to ta sama funkcja. Opis przekształcenia słowem („przesunięcie o wektor…") zostaje przy przykładach powyżej: jego odpowiedzią jest zdanie, a nie liczba.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

f(x) = x²; g(x) = f(x + 1) + 4; g(x) =

Częste błędy

Przesuwanie w lewo przy $f(x - p)$ — minus przy argumencie oznacza ruch w prawo; sprawdź na wierzchołku albo na miejscu zerowym.
Mylenie $-f(x)$ z $f(-x)$ — pierwsze odbija względem osi OX, drugie względem OY; dla funkcji nieparzystej dają ten sam wynik i to usypia czujność.
Liczenie przesunięcia fazowego jako $c$ — dopiero $-\tfrac{c}{b}$ mówi, o ile wędruje wykres.
Uznanie, że $a$ w $y = a\sin bx$ zmienia okres — amplitudę tak, okres nie; okres zależy wyłącznie od $b$ .
Zamiana kolejności rozciągania i przesunięcia w pionie — $2 \cdot f(x) + 1$ i $2 \cdot (f(x) + 1)$ to dwa różne wykresy.
Zapominanie o dziedzinie po odbiciu — $\sqrt{-x}$ jest określone dla $x \le 0$ , choć wzór wygląda niewinnie.

Karta wzorów

Temat: Przekształcenia wykresu funkcji

Przesunięcie wzdłuż OY
$y = f(x) + q$
w górę dla q > 0, w dół dla q < 0
Przesunięcie wzdłuż OX
$y = f(x - p)$
w prawo dla p > 0 — przeciwnie do znaku we wzorze
Przesunięcie o wektor
$y = f(x - p) + q$
\vec{u} = [p,\, q]
Odbicie względem OX
$y = -f(x)$
zmienia znak wartości
Odbicie względem OY
$y = f(-x)$
zmienia znak argumentu
Rozciąganie wzdłuż OY
$y = a \cdot f(x)$
a razy dalej od osi OX
Ściskanie wzdłuż OX
$y = f(b x)$
b razy bliżej osi OY
Sinusoida ogólna
$y = a \sin(bx + c)$
amplituda |a|, okres \tfrac{2\pi}{|b|}, przesunięcie o -\tfrac{c}{b}

Parabola y = x² i ta sama parabola po przesunięciu o wektor [2, 3]. Strzałka pokazuje przesunięcie wierzchołka: wzór y = (x − 2)² + 3 czyta się jako „dwa w prawo, trzy w górę".

Sinus i sinusoida y = 2·sin(2x). Współczynnik przy funkcji podnosi grzbiety do 2, a współczynnik przy x skraca okres z 2π do π — dwa różne współczynniki, dwa różne skutki.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min