Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa to funkcja dana wzorem

Jej wykresem jest parabola. Warunek $a \neq 0$ nie jest formalnością: gdyby $a$ było zerem, zostałby wzór $bx + c$, czyli funkcja liniowa, a wykres wyprostowałby się w prostą.

Ramiona, wierzchołek, oś symetrii

Parabola ma jeden punkt zwrotny — wierzchołek $W(p, q)$ — i jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez niego:

Współrzędne wierzchołka liczymy ze wzorów:

gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$ — ta sama delta, którą liczyliśmy przy równaniach kwadratowych. Drugą współrzędną najbezpieczniej jest policzyć jako $f(p)$: wzór z deltą daje to samo, ale łatwiej w nim o pomyłkę w znaku.

Znak $a$ rozstrzyga o kierunku ramion:

Ekstremum i zbiór wartości

Wierzchołek jest najniższym albo najwyższym punktem wykresu, więc jego druga współrzędna to wartość ekstremalna funkcji:

• $a > 0$ — ramiona w górę, w wierzchołku minimum o wartości $q$, zbiór wartości $\langle q, +\infty)$;
• $a < 0$ — ramiona w dół, w wierzchołku maksimum o wartości $q$, zbiór wartości $(-\infty, q\rangle$.

Funkcja kwadratowa nigdy nie przyjmuje więc wszystkich wartości rzeczywistych — połowa osi pionowej zawsze zostaje pusta. Dziedziną są natomiast wszystkie liczby rzeczywiste: każdą da się podnieść do kwadratu.

Oś symetrii $x = p$ jest zarazem granicą monotoniczności. Dla $a > 0$ funkcja maleje na lewo od $p$ i rośnie na prawo; dla $a < 0$ odwrotnie.

Trzy postacie wzoru

Ta sama funkcja da się zapisać na trzy sposoby, a każdy pokazuje co innego bez liczenia:

• z ogólnej widać wartość w zerze: $f(0) = c$;
• z kanonicznej widać wierzchołek: $W(p, q)$;
• z iloczynowej widać miejsca zerowe: $x_1$ i $x_2$.

Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy miejsca zerowe w ogóle są, czyli przy $\Delta \geq 0$ (przy $\Delta = 0$ przyjmuje kształt $a(x - x_0)^2$). Postać kanoniczna istnieje zawsze.

Warto zauważyć, że wierzchołek leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi: $\frac{1 + 3}{2} = 2$. To najszybszy sposób na $p$, gdy pierwiastki są już znane — bierze się wprost z symetrii paraboli.

Miejsca zerowe

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to rozwiązania równania $ax^2 + bx + c = 0$, czyli punkty przecięcia paraboli z osią $OX$. Liczba tych punktów zależy od delty:

Cały rachunek — wzory na $x_1$ i $x_2$, przypadki niezupełne, wzory Viète — jest w lekcji o równaniach kwadratowych. Tutaj interesuje nas, co z tego wynika dla wykresu: przy $\Delta < 0$ parabola leży w całości nad osią (dla $a > 0$) albo w całości pod nią (dla $a < 0$), więc funkcja ma stały znak.

Gdzie to widać

Parabola to nie szkolna ozdoba, tylko kształt, który przyroda i technika wybierają same:

• rzut ukośny — kamień rzucony pod kątem leci po paraboli (pomijając opór powietrza);
• antena satelitarna i reflektor — czasza paraboliczna skupia równoległe promienie w jednym punkcie, ognisku;
• optymalizacja — pytania w rodzaju „największe pole przy danym obwodzie" prowadzą wprost do wierzchołka.

Ćwiczenia

Sesja obejmuje cztery umiejętności tej lekcji: wartość funkcji w punkcie, współrzędne wierzchołka oraz zamianę postaci ogólnej na kanoniczną i na iloczynową. Przy wierzchołku wpisz dwie liczby po przecinku — najpierw $p$, potem $q$. Przy zamianie postaci wpisz gotowy wzór, na przykład (x-2)^2-1.

Częste błędy

• Zgubiony minus we wzorze na $p$ — jest $p = -\frac{b}{2a}$, więc przy $b = -4$ wychodzi $+2$.
• Mylenie $p$ z $q$ — $p$ leży na osi poziomej, $q$ jest wartością funkcji.
• Znak $a$ a ramiona — ramiona idą w górę przy $a > 0$, nie „zawsze w górę".
• Postać iloczynowa przy $\Delta < 0$ — nie istnieje, bo nie ma miejsc zerowych.
• Uznanie $c$ za miejsce zerowe — $c$ to wartość w zerze, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.
• Zbiór wartości jako wszystkie liczby rzeczywiste — parabola zawsze zatrzymuje się na $q$.