Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Szybkość stygnięcia herbaty zależy od czasu. Koszt przejazdu — od liczby kilometrów. Wysokość rzuconego kamienia — od tego, ile sekund minęło od wyrzucenia. Matematyka opisuje wszystkie takie zależności jednym pojęciem, a to pojęcie ma w sobie zaledwie jedno wymaganie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość. Ani jednej więcej. Ten tekst jest warstwą narracyjną nad naszym działem o funkcjach i analizie — o tym, skąd to wymaganie się wzięło, co z niego wynika i dlaczego najlepiej widać je na rysunku.

Jedna reguła, jedna odpowiedź

Funkcja to przyporządkowanie: każdemu elementowi pewnego zbioru — dziedziny — odpowiada dokładnie jeden element zbioru wartości. Zapisujemy to f: X → Y, a konkretną wartość dla argumentu x oznaczamy f(x). Wygodnie myśleć o funkcji jak o maszynie: wrzucasz argument, wypada wynik, i przy tym samym argumencie wypada zawsze ten sam wynik.

To ostatnie zastrzeżenie jest całą definicją. Gdyby kamień rzucony w górę mógł w danej sekundzie znajdować się na dwóch wysokościach naraz, opis przestałby cokolwiek znaczyć. Fizyka nie dopuszcza takiej sytuacji, a matematyka nazywa ją po prostu nie-funkcją.

Warunek działa jednak asymetrycznie — i to jest pierwsze miejsce, w którym intuicja się potyka. Jednemu argumentowi nie wolno przypisać dwóch wartości, ale nic nie zabrania dwóm różnym argumentom trafić w tę samą wartość. Klasyczny przykład to f(x) = x²: zarówno x = 2, jak i x = −2 dają y = 4. Funkcja jest tu jak najbardziej poprawna, po prostu nie jest różnowartościowa.

Z dziedziną wiąże się druga rzecz, o której łatwo zapomnieć: funkcja musi być określona dla każdego jej elementu. Dlatego f(x) = 1/x nie jest funkcją „na liczbach rzeczywistych" — jest funkcją na zbiorze ℝ \ {0}, a zero po prostu do dziedziny nie należy. Dziedzina nie jest ozdobnikiem dopisywanym na końcu zadania; jest częścią tego, czym dana funkcja jest.

Cztery sposoby powiedzenia tego samego

Wzór to najpopularniejszy, ale nie jedyny sposób zadania funkcji. Równie legalne są: tabela (argument w lewej kolumnie, wartość w prawej), wykres (zbiór punktów (x, f(x)) na płaszczyźnie), a także opis słowny albo graf strzałek między dwoma zbiorami. Rozkład jazdy pociągu jest funkcją zadaną tabelą i nikt nie oczekuje od niego wzoru.

Ma to konsekwencję, o którą przez półtora wieku toczył się spór: funkcja nie musi dać się zapisać jednym wyrażeniem algebraicznym. Reguła „dla liczb wymiernych zwróć 1, dla niewymiernych 0" jest poprawnym przyporządkowaniem, choć żaden wzór z podręcznika jej nie opisuje. Definicja i notacja to dwie różne warstwy: ścisłe jest wymaganie jednoznaczności, umowna jest litera f, wybór x i y oraz to, czy zapiszemy trójmian w postaci ogólnej czy kanonicznej.

Test pionowej prostej

Skoro wykres jest zbiorem punktów (x, f(x)), to warunek jednoznaczności musi być na nim widoczny. I jest — jako test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta równoległa do osi OY przecina narysowaną krzywą w więcej niż jednym punkcie, to ta krzywa nie jest wykresem funkcji zmiennej x.

Najkrótszy kontrprzykład to okrąg x² + y² = r². Dla każdego argumentu z wnętrza przedziału (−r, r) istnieją dwa punkty: y = √(r² − x²) oraz y = −√(r² − x²). Okrąg jest doskonale porządną krzywą, tylko nie jest wykresem funkcji — dopiero rozcięty na dwa półokręgi daje dwie funkcje. Stąd tytułowe „nie może zawrócić": wykres wolno prowadzić w górę, w dół i poziomo, ale nigdy wstecz wzdłuż osi argumentów.

Warto od razu odróżnić dwa pojęcia, które w zadaniach mylą się najczęściej. Miejsce zerowe to argument x, dla którego f(x) = 0 — punkt przecięcia z osią OX. Wartość f(0) to punkt przecięcia z osią OY. To dwie różne osie i dwie różne liczby; podstawienie zera raz za x, a raz za y daje zupełnie inny wynik. Definicje, dziedzinę i pierwszy odczyt z rysunku rozpisujemy w lekcji o pojęciu funkcji.

Jak pojęcie dojrzewało

Dzisiejsza definicja jest zaskakująco młoda. Myślenie funkcyjne w praktyce jest natomiast bardzo stare: starobabilońskie tabliczki klinowe (ok. 1800 p.n.e.) zawierają tablice kwadratów, sześcianów i liczb odwrotnych — czyli gotowe przyporządkowania, spisane bez cienia ogólnej teorii.

Kilka pozycji z tej tabeli wymaga ostrożności, bo krążą w wersjach zbyt gładkich. Symbol f( ) Euler stosował już w pracach z połowy lat trzydziestych XVIII wieku, a upowszechnił go Introductio (1748) — „Euler wymyślił f(x) w 1748" to skrót myślowy. Datę 1673 przy Leibnizu podaje się za rękopisem, nie za publikacją. Funkcja przyjmująca 1 na liczbach wymiernych i 0 na niewymiernych pojawia się u Dirichleta już w pracy o szeregach trygonometrycznych z 1829 roku; przypisywanie mu wprost dzisiejszej definicji formalnej bywa kwestionowane — zwracał na to uwagę m.in. Imre Lakatos, wskazując, że oryginalne sformułowania są znacznie ostrożniejsze. Wreszcie definicja przez pary uporządkowane nie ma jednego autora: opiera się na pojęciu pary w ujęciu Hausdorffa (1914) i Kuratowskiego (1921), a spopularyzowała ją redakcja Bourbakiego, działająca od końca lat trzydziestych.

Stałe tempo: funkcja liniowa

Najprostsza nietrywialna zależność to taka, w której przyrost wartości jest wprost proporcjonalny do przyrostu argumentu:

y = ax + b

Współczynnik kierunkowy a to właśnie tempo zmian, Δy / Δx — o tyle rośnie y, gdy x rośnie o jeden. Geometrycznie jest to tangens kąta nachylenia prostej do osi odciętych OX. Znak a rozstrzyga monotoniczność: a > 0 — funkcja rosnąca, a < 0 — malejąca, a = 0 — stała. Wyraz wolny b to wartość początkowa, czyli punkt (0, b), w którym wykres przecina oś OY.

Gdy b = 0, zostaje y = ax — ścisła proporcjonalność prosta. Dopiero wtedy podwojenie argumentu naprawdę podwaja wynik, a wykres przechodzi przez początek układu. To rozróżnienie ma praktyczne konsekwencje: rachunek z opłatą abonamentową nie jest proporcjonalny, choć wykres jest prostą.

Stąd bierze się popularność tego modelu:

• Taryfy i abonamenty. Koszt K(x) = a·x + b — opłata stała b plus zmienna zależna od zużycia. Kurs taksówki, rachunek za prąd, wywóz śmieci.
• Ruch jednostajny. s(t) = v·t + s₀, gdzie prędkość v gra rolę współczynnika kierunkowego, a s₀ — położenia początkowego. Same jednostki prędkości bywają zresztą kłopotliwe i mamy na nie konwerter prędkości.
• Przelicznik przy stałym kursie. Wymiana waluty bez prowizji to y = k·x, czysta proporcjonalność.
• Nachylenie drogi. Znak „8%" to dosłownie a = 0,08: na każde 100 m w poziomie teren wznosi się o 8 m. Nie chodzi tu o procent kąta pełnego, tylko o iloraz wzniesienia i odległości poziomej.

Prosta wyznaczona przez dwa punkty, warunek prostopadłości i odczyt współczynników z rysunku to zawartość lekcji o funkcji liniowej.

Kiedy tempo samo się zmienia: parabola

Jeśli tempo zmian nie jest stałe, lecz samo zmienia się liniowo, dostajemy funkcję kwadratową y = ax² + bx + c i jej wykres — parabolę. Ma ona punkt zwrotny, wierzchołek W = (p, q), w którym funkcja osiąga minimum (gdy a > 0) albo maksimum (gdy a < 0). Trzy równoważne postaci pokazują trzy różne rzeczy:

Współrzędne wierzchołka liczymy ze wzorów p = −b/(2a) oraz q = −Δ/(4a), gdzie Δ = b² − 4ac. Weźmy f(x) = 2x² − 8x + 6:

Δ = (−8)² − 4·2·6 = 64 − 48 = 16, więc p = 8/4 = 2 i q = −16/8 = −2

Wierzchołek to W = (2, −2), postać kanoniczna f(x) = 2(x − 2)² − 2. Ponieważ √Δ = 4, miejsca zerowe wynoszą x₁ = (8 − 4)/4 = 1 i x₂ = (8 + 4)/4 = 3, czyli f(x) = 2(x − 1)(x − 3). Wszystkie trzy zapisy dają w każdym punkcie tę samą liczbę:

Z tej samej tabeli odczytuje się resztę własności trójmianu: zbiór wartości ⟨−2, ∞), malenie na (−∞, 2⟩ i rośnięcie na ⟨2, ∞), wartości ujemne dokładnie między miejscami zerowymi, czyli na (1, 3). Cała ta procedura — z osią symetrii i przedziałami monotoniczności — jest w lekcjach o funkcji kwadratowej i odczytywaniu własności z wykresu; rozwiązywanie samego równania ax² + bx + c = 0 — w dziale algebry, w lekcji o równaniach kwadratowych.

Parabola wraca poza matematyką w dwóch rolach. Pierwsza to tor rzutu: przy pominięciu oporu powietrza wysokość ciała opisuje h(t) = −½gt² + v₀ᵧt + h₀. Zastrzeżenie nie jest formalnością — rzeczywisty tor pocisku jest krótszy i wyraźnie niesymetryczny, a im większa prędkość, tym bardziej odbiega od paraboli. Druga to własność ogniska: promienie biegnące równolegle do osi symetrii po odbiciu od czaszy parabolicznej skupiają się w jednym punkcie. Na tym stoją reflektory, anteny satelitarne i zwierciadła teleskopów.

Most, łańcuch i najczęstsza pomyłka o kształcie

O linie zwieszonej między dwoma słupami mówi się potocznie „parabola", a o kablu mostu wiszącego — „krzywa łańcuchowa". Obie wersje krążą i obie bywają błędne, bo o kształcie decyduje nie materiał, lecz rozkład obciążenia.

Doskonale giętka lina obciążona wyłącznie własnym ciężarem — a więc równomiernie wzdłuż swojej długości — przyjmuje kształt krzywej łańcuchowej:

y = a·cosh(x/a) = (a/2)·(e^(x/a) + e^(−x/a))

Ta sama lina obciążona równomiernie wzdłuż rzutu poziomego przyjmuje kształt paraboli. Dokładnie tak jest w moście wiszącym: sztywny pomost z jezdnią waży wielokrotnie więcej niż sam kabel i wisi na gęsto rozstawionych pionowych wieszakach, więc główny kabel Golden Gate jest w bardzo dobrym przybliżeniu parabolą, a nie krzywą łańcuchową. Odwrotnie zaś: łańcuch rowerowy przewieszony przez dwa gwoździe, kabel energetyczny między słupami czy Gateway Arch w St. Louis (odwrócona, ważona krzywa łańcuchowa) to przypadki łańcuchowe. Obie krzywe są zresztą przy małym zwisie tak podobne, że gołym okiem się ich nie odróżni — co tłumaczy, dlaczego pomyłka jest tak trwała.

Cztery zbiory, jedna statystyka, cztery różne obrazy

Wykres nie jest ilustracją dołączaną do wyników — bywa jedynym miejscem, w którym widać, co się naprawdę dzieje. Najlepszym dowodem jest kwartet Anscombe'a, zestaw czterech zbiorów danych opublikowany w 1973 roku przez statystyka Francisa Anscombe'a. Każdy z nich ma jedenaście punktów i praktycznie identyczne statystyki opisowe: średnią x równą 9, wariancję x równą 11, średnią y równą 7,50, wariancję y około 4,12, współczynnik korelacji r ≈ 0,816 i tę samą prostą regresji y = 3,00 + 0,50x.

Ostatni wiersz warto doczytać uważnie, bo bywa streszczany jako „stała wartość x = 9". Nie ma tam punktu o x = 9; dziewiątka to średnia, która powstaje z dziesięciu ósemek i jednej dziewiętnastki. To dobra miniatura całego problemu: liczba podsumowująca zbiór potrafi opisywać sytuację, której w zbiorze w ogóle nie ma.

Ta sama łatwość odczytu bywa wykorzystywana w drugą stronę. Najczęstszą manipulacją jest ucięta oś OY — skala zaczynająca się nie od zera, przez co wahanie o dwa procent wygląda jak załamanie. Drugą jest zmiana proporcji osi: rozciągnięcie OY względem OX sztucznie stromi wykres, ściśnięcie — spłaszcza. Nachylenie na obrazku nie jest własnością danych, dopóki nie zobaczysz obu skal.

Pięć pomyłek, które kosztują najwięcej

Co jest umową, a co prawdą

Funkcja jest więc pojęciem zbudowanym z jednego zakazu — zakazu dwuznaczności — i to wystarczyło, żeby opisać nim stygnięcie herbaty, rachunek za prąd, lot kamienia i kształt anteny satelitarnej. Kiedy następnym razem zobaczysz krzywą na wykresie, warto zadać jej najprostsze z możliwych pytań: czy ta linia gdzieś nie zawraca?

Dalsza lektura

• MacTutor History of Mathematics Archive, Uniwersytet St Andrews — hasło The function concept oraz biogramy Oresme'a, Eulera i Dirichleta.
• Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics — udokumentowane daty pierwszych użyć terminu „funkcja" i notacji f(x).
• F. J. Anscombe, Graphs in Statistical Analysis, „The American Statistician" 27 (1973), s. 17–21 — czterostronicowy artykuł, w którym kwartet się pojawił.
• Edward Tufte, The Visual Display of Quantitative Information, Graphics Press — klasyka o uczciwych i nieuczciwych wykresach.
• Darrell Huff, Jak kłamać za pomocą statystyki — krótka, wciąż aktualna lektura o uciętej osi i jej krewnych.
• Delta (deltami.edu.pl) — przystępne artykuły o funkcjach i historii analizy.
• Khan Academy — kurs o funkcjach po polsku (pl.khanacademy.org).