Pojęcie funkcji

Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie: każdemu elementowi jednego zbioru przypisuje dokładnie jeden element drugiego zbioru.

Najprościej myśleć o niej jak o maszynie: wkładasz liczbę, wychodzi liczba. Ta sama liczba włożona dwa razy musi dać ten sam wynik — inaczej maszyna byłaby zepsuta, a przyporządkowanie nie byłoby funkcją.

Argument, wartość i zapis f(x)

Liczbę wkładaną nazywamy argumentem, liczbę wychodzącą — wartością funkcji dla tego argumentu:

Zapis $f(3) = 5$ czytamy „wartość funkcji $f$ dla argumentu $3$ wynosi $5$". To nie jest mnożenie $f$ przez $3$ — nawias mówi tu „policz wynik dla tego wejścia", a nie „pomnóż".

Pytanie można też odwrócić: znamy wartość, szukamy argumentu. To już równanie:

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina $D_f$ to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona — czyli co wolno włożyć do maszyny:

Zbiór wartości $ZW_f$ to zbiór wszystkiego, co z maszyny wychodzi:

Dla $f(x) = 2x - 1$ dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste — każdą da się podwoić i zmniejszyć o jeden. Bywa jednak inaczej: wzór $f(x) = \frac{1}{x}$ nie ma sensu dla $x = 0$, bo nie dzielimy przez zero, a $f(x) = \sqrt{x}$ nie ma sensu dla liczb ujemnych. Dziedzina to więc nie formalność, tylko pierwsza rzecz, którą sprawdzamy, patrząc na wzór.

Dziedzina bywa też narzucona przez treść zadania: jeśli $x$ oznacza liczbę uczniów w klasie, to nawet najładniejszy wzór nie dopuści $x = -3$ ani $x = 2{,}5$.

Wykres funkcji

Wykresem funkcji nazywamy zbiór punktów, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga — odpowiadającą mu wartością:

To najwygodniejszy sposób patrzenia na funkcję: cała informacja o niej jest widoczna naraz. Wartość odczytujemy dwoma ruchami — z argumentu w górę do wykresu, a stamtąd w lewo do osi pionowej:

Ta sama droga przebyta w drugą stronę — od wartości na osi pionowej w prawo do wykresu i w dół do osi poziomej — daje przeciwobraz, czyli odpowiedź na pytanie „dla jakiego $x$ funkcja przyjmuje tę wartość".

Test pionowej prostej

Skoro jednemu argumentowi ma odpowiadać dokładnie jedna wartość, to każda pionowa prosta może przeciąć wykres funkcji najwyżej raz:

Dlatego okrąg nie jest wykresem funkcji: prosta pionowa poprowadzona przez jego wnętrze trafia w dwa punkty, czyli jednemu $x$ odpowiadałyby dwa różne $y$. Odwrotnie wolno: dwa różne argumenty mogą mieć tę samą wartość — parabola powyżej przypisuje liczbom $-2$ i $2$ tę samą wartość $3$ i pozostaje funkcją.

Cztery sposoby zadania funkcji

Ta sama funkcja może być opisana na kilka sposobów:

• wzorem — $f(x) = 2x - 1$;
• tabelką — skończoną listą par argument–wartość;
• wykresem — zbiorem punktów na płaszczyźnie;
• opisem słownym — „każdej liczbie przypisz jej podwojenie pomniejszone o jeden".

Tabelka jest wygodna, ale niepełna — pokazuje sześć par, a funkcja przypisuje wartość każdej liczbie rzeczywistej. Wzór i wykres niosą całą informację naraz.

Miejsce zerowe i wartość w zerze

Dwie liczby, które bardzo łatwo pomylić:

• miejsce zerowe to argument $x_0$, dla którego $f(x_0) = 0$ — na wykresie punkt przecięcia z osią $OX$;
• wartość w zerze to liczba $f(0)$ — na wykresie punkt przecięcia z osią $OY$.

Dla $f(x) = 2x - 1$ miejscem zerowym jest $x_0 = \frac{1}{2}$, a wartością w zerze $f(0) = -1$. To dwie zupełnie różne liczby o mylnie podobnych nazwach; wracamy do nich w funkcji liniowej.

Ćwiczenia

Zadania sprawdzają obie strony przyporządkowania: raz podajemy argument i pytamy o wartość, raz podajemy wartość i pytamy, z jakiego argumentu powstała. Wpisuj samą liczbę.

Częste błędy

• Czytanie $f(x)$ jako iloczynu — $f(3)$ to wartość dla trójki, a nie $f \cdot 3$.
• Mylenie miejsca zerowego z $f(0)$ — pierwsze to argument, drugie to wartość.
• Zgubiony znak przy ujemnym argumencie — w $f(-4)$ podstawiamy $(-4)$ z nawiasem.
• Pomijanie dziedziny — wzór $\frac{1}{x}$ nie działa w zerze, a $\sqrt{x}$ dla liczb ujemnych.
• Uznanie każdej krzywej za wykres funkcji — okrąg nim nie jest, bo nie przechodzi testu pionowej prostej.
• Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości — dziedzina leży na osi poziomej, zbiór wartości na pionowej.