Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to funkcja dana wzorem

gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi liczbami. Jej wykresem — zawsze, bez wyjątku — jest prosta. Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, liczbę $b$ — wyrazem wolnym.

Co znaczą a i b

Obie liczby mają prosty sens, a wykres pokazuje go od razu:

• $b$ to wartość startowa: $f(0) = b$, czyli wysokość, na której prosta przecina oś $OY$;
• $a$ to tempo zmiany: o tyle rośnie wartość funkcji, gdy argument zwiększymy o jeden.

Przerywana łamana na rysunku to właśnie odczyt współczynnika: jeden w prawo, dwa w górę. Stąd inna, równie dobra definicja $a$ — przyrost wartości podzielony przez przyrost argumentu:

Monotoniczność

O tym, czy funkcja rośnie, decyduje wyłącznie znak $a$:

• $a > 0$ — funkcja rosnąca, prosta wznosi się w prawo;
• $a < 0$ — funkcja malejąca, prosta opada;
• $a = 0$ — funkcja stała, $f(x) = b$, prosta pozioma.

Wyraz wolny $b$ nie ma z monotonicznością nic wspólnego — przesuwa prostą w górę lub w dół, ale nie zmienia jej nachylenia.

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość jest zerem, czyli rozwiązanie równania $ax + b = 0$:

Gdy $a = 0$, wzoru nie ma po co stosować: funkcja stała $f(x) = b$ albo nie ma miejsc zerowych (dla $b \neq 0$), albo przyjmuje zero wszędzie (dla $b = 0$).

Wzór prostej z dwóch punktów

Dwa punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą, więc znając je, można odtworzyć wzór funkcji. Najpierw współczynnik kierunkowy, potem wyraz wolny:

Kolejność odejmowania w liczniku i mianowniku musi być ta sama — inaczej wyjdzie przeciwny znak. Jeśli zaczynamy licznik od $y_2$, to mianownik zaczynamy od $x_2$.

Postać ogólna

Ten sam zbiór punktów można opisać równaniem, w którym $y$ nie stoi samotnie po lewej stronie:

To postać ogólna. Aby odczytać z niej współczynnik kierunkowy, wystarczy wyznaczyć $y$:

Zamiana jest możliwa tylko wtedy, gdy $B \neq 0$. Równanie $x = 3$ opisuje prostą pionową, a taka prosta — jak wiemy z testu pionowej prostej — nie jest wykresem żadnej funkcji.

Proste równoległe i prostopadłe

Nachylenie prostej niesie tylko współczynnik $a$, więc oba warunki wzajemnego położenia mówią właśnie o nim:

Z warunku prostopadłości wynika wygodny wzór: prosta prostopadła do prostej o współczynniku $a$ ma współczynnik

czyli odwrotność z przeciwnym znakiem. Dla $a = 3$ jest to $-\frac{1}{3}$, dla $a = -\frac{2}{5}$ jest to $\frac{5}{2}$.

Proporcjonalność prosta

Gdy $b = 0$, wzór upraszcza się do $y = ax$, a wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy iloraz $\frac{y}{x}$ jest stały i równy $a$ — mówimy o proporcjonalności prostej.

Tak zachowuje się droga przy stałej prędkości ($s = vt$) albo koszt zakupu przy stałej cenie za sztukę. Gdy $b \neq 0$, dochodzi „opłata startowa": abonament doliczany do rachunku, opłata początkowa w taksówce, stała część rachunku za prąd.

Ćwiczenia

Jedna sesja obejmuje wszystko, czego uczy ta lekcja: miejsce zerowe, współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, cały wzór z dwóch punktów, zamianę postaci ogólnej na kierunkową oraz współczynnik prostej prostopadłej. Wzór wpisuj w dowolnym poprawnym zapisie — 2x+1, 1+2x i 2*x+1 znaczą to samo.

Częste błędy

• Mylenie $a$ z $b$ — nachylenie niesie $a$, punkt przecięcia z osią $OY$ to $b$.
• Znak w miejscu zerowym — ze wzoru wychodzi $x_0 = -\frac{b}{a}$, a nie $\frac{b}{a}$.
• Odwrotna kolejność odejmowania — licznik i mianownik muszą zaczynać się od tego samego punktu.
• Dzielenie tylko jednego składnika — przy wyznaczaniu $y$ dzielimy całą stronę równania.
• Prostopadłość jako sama odwrotność — trzeba jeszcze zmienić znak: $a_\perp = -\frac{1}{a}$.
• Uznanie prostej pionowej za funkcję liniową — $x = 3$ nie jest wykresem funkcji.