Dział matematyki

Funkcje i analiza

Funkcje i ich wykresy, a dalej granice, pochodne i całki — matematyka zmiany i zależności.

Tematy w tym dziale

Średni
Pojęcie funkcji
Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie: każdemu argumentowi dokładnie jedna wartość. Poznaj zapis f(x), dziedzinę i zbiór wartości, cztery sposoby zadania funkcji oraz test pionowej prostej na wykresie.
Średni
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa y = ax + b to prosta na wykresie. Poznaj sens współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego, miejsce zerowe, wzór prostej z dwóch punktów, postać ogólną oraz warunki równoległości i prostopadłości.
Zaawansowany
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c rysuje parabolę. Poznaj wierzchołek i oś symetrii, trzy postacie wzoru — ogólną, kanoniczną i iloczynową — oraz to, jak znak współczynnika a rozstrzyga o minimum i maksimum.
Zaawansowany
Odczytywanie własności z wykresu
Wykres pokazuje całą funkcję naraz: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, znak, przedziały monotoniczności i ekstremum. Naucz się odczytywać je z rysunku, zanim cokolwiek policzysz.
Zaawansowany
Granica funkcji
Granica mówi, do czego zmierzają wartości funkcji, gdy argument zbliża się do danej liczby — nawet wtedy, gdy w samym tym punkcie funkcja nic nie przyjmuje. To pierwsze pojęcie analizy i fundament pochodnej.
Zaawansowany
Pochodna funkcji
Pochodna mierzy tempo zmiany funkcji w punkcie — jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu. Poznaj definicję przez iloraz różnicowy i sześć reguł, którymi liczy się ją bez granic.
Zaawansowany
Zastosowania pochodnej
Znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje, a jej miejsca zerowe wskazują kandydatów na ekstrema. Naucz się pisać równanie stycznej, czytać tabelę znaków i znajdować wartość największą.
Zaawansowany
Całka
Całkowanie jest odwrotnością różniczkowania: szukamy funkcji, której pochodną jest dana funkcja. Całka nieoznaczona daje wzór z dokładnością do stałej, oznaczona — liczbę, a ta liczba to pole pod krzywą.

Wzory działu

Dział: Funkcje i analiza

Pojęcie funkcji

  • Funkcja ze zbioru X w zbiór Y

    f ⁣:X→Yf \colon X \to Y

    każdemu elementowi X przypisuje dokładnie jeden element Y

  • Zapis wartości

    y=f(x)y = f(x)

    x to argument, y to wartość funkcji dla tego argumentu

  • Dziedzina

    Df={x:f(x) istnieje}D_f = \{x : f(x) \text{ istnieje}\}

    zbiór wszystkich argumentów

  • Zbiór wartości

    ZWf={f(x):x∈Df}ZW_f = \{f(x) : x \in D_f\}

    zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje

  • Miejsce zerowe

    f(x0)=0f(x_0) = 0

    argument, dla którego wartość jest zerem

  • Wykres funkcji

    wykres f={(x, f(x)):x∈Df}\text{wykres } f = \{(x,\, f(x)) : x \in D_f\}

    zbiór punktów o współrzędnych (argument, wartość)

Funkcja liniowa

  • Postać kierunkowa

    f(x)=ax+bf(x) = ax + b

    a — współczynnik kierunkowy, b — wyraz wolny

  • Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

    a=y2−y1x2−x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

    przyrost wartości podzielony przez przyrost argumentu

  • Miejsce zerowe

    x0=−ba(a≠0)x_0 = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)

    tam wykres przecina oś OX

  • Wartość w zerze

    f(0)=bf(0) = b

    tam wykres przecina oś OY

  • Postać ogólna

    Ax+By+C=0Ax + By + C = 0

    przy B ≠ 0 sprowadzalna do kierunkowej

  • Warunek równoległości

    a1=a2a_1 = a_2

    proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe

  • Warunek prostopadłości

    a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1

    stąd a₂ = −1/a₁

Funkcja kwadratowa

  • Postać ogólna

    f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)

    wykresem jest parabola

  • Współrzędne wierzchołka

    p=−b2a,q=−Δ4a=f(p)p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a} = f(p)

    W(p, q) — punkt zwrotny paraboli

  • Postać kanoniczna

    f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x - p)^2 + q

    widać z niej wierzchołek wprost

  • Postać iloczynowa

    f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

    istnieje tylko przy Δ ≥ 0; widać z niej miejsca zerowe

  • Oś symetrii

    x=px = p

    pionowa prosta przez wierzchołek

  • Zbiór wartości

    ZWf=⟨q,+∞) dla a>0ZW_f = \langle q, +\infty) \ \text{dla } a > 0

    dla a < 0 jest to (−∞, q⟩

Odczytywanie własności z wykresu

  • Miejsce zerowe

    f(x0)=0f(x_0) = 0

    punkt przecięcia wykresu z osią OX

  • Znak funkcji

    f(x)>0  ⟺  wykres nad osią OXf(x) > 0 \iff \text{wykres nad osią } OX

    poniżej osi wartości są ujemne

  • Funkcja rosnąca

    x1<x2  ⟹  f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)

    w przedziale, w którym wykres się wznosi

  • Funkcja malejąca

    x1<x2  ⟹  f(x1)>f(x2)x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)

    w przedziale, w którym wykres opada

  • Minimum

    f(x)≥f(xmin⁡) dla kaz˙dego xf(x) \geq f(x_{\min}) \ \text{dla każdego } x

    najniższy punkt wykresu; maksimum analogicznie

  • Dziedzina i zbiór wartości

    Df→osˊ OX,ZWf→osˊ OYD_f \to \text{oś } OX, \quad ZW_f \to \text{oś } OY

    rzuty wykresu na obie osie

Granica funkcji

  • Granica funkcji

    lim⁡x→x0f(x)=g\lim_{x \to x_0} f(x) = g

    wartości f(x) zbliżają się do g, gdy x zbliża się do x₀

  • Funkcja ciągła

    lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

    wielomian, więc granica to zwykłe podstawienie

  • Symbol nieoznaczony 0/0

    lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4

    najpierw skróć wspólny czynnik, dopiero potem podstaw

  • Równe stopnie

    lim⁡x→∞anxn+…bnxn+…=anbn\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \ldots}{b_n x^n + \ldots} = \frac{a_n}{b_n}

    iloraz współczynników przy najwyższej potędze

  • Niższy stopień licznika

    lim⁡x→∞amxm+…bnxn+…=0(m<n)\lim_{x \to \infty} \frac{a_m x^m + \ldots}{b_n x^n + \ldots} = 0 \quad (m < n)

    mianownik rośnie szybciej, więc iloraz zanika

  • Granice jednostronne

    lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=g  ⟺  lim⁡x→x0f(x)=g\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = g \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = g

    granica istnieje tylko wtedy, gdy obie strony dają to samo

Pochodna funkcji

  • Definicja pochodnej

    f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

    granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost maleje do zera

  • Reguła potęgi

    (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

    wykładnik schodzi przed x i maleje o jeden

  • Stała i suma

    (c⋅f)′=c⋅f′,(f+g)′=f′+g′(c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'

    stałą przepisujemy, sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie

  • Reguła iloczynu

    (f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f' g + f g'

    pochodna iloczynu NIE jest iloczynem pochodnych

  • Reguła ilorazu

    (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

    w liczniku różnica — kolejność ma znaczenie

  • Reguła łańcuchowa

    (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

    pochodna zewnętrznej razy pochodna wewnętrznej

  • Pierwiastek i odwrotność

    (x)′=12x,(1x)′=−1x2(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

    ta sama reguła potęgi dla wykładników ½ oraz −1

  • Funkcje trygonometryczne

    (sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x

    przy cosinusie pojawia się minus

Zastosowania pochodnej

  • Równanie stycznej

    y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

    prosta o nachyleniu f′(x₀) przechodząca przez punkt styczności

  • Funkcja rosnąca

    f′(x)>0 w przedziale  ⟹  f rosnącaf'(x) > 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{rosnąca}

    dodatnia pochodna to wznosząca się styczna

  • Funkcja malejąca

    f′(x)<0 w przedziale  ⟹  f malejącaf'(x) < 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{malejąca}

    ujemna pochodna to opadająca styczna

  • Warunek konieczny ekstremum

    f′(x0)=0f'(x_0) = 0

    punkt krytyczny — kandydat, jeszcze nie ekstremum

  • Warunek wystarczający (maksimum)

    f′:+→− w x0  ⟹  maksimum w x0f' : + \to - \ \text{w} \ x_0 \implies \text{maksimum w} \ x_0

    pochodna musi ZMIENIĆ znak z plusa na minus

  • Warunek wystarczający (minimum)

    f′:−→+ w x0  ⟹  minimum w x0f' : - \to + \ \text{w} \ x_0 \implies \text{minimum w} \ x_0

    z minusa na plus — dołek zamiast garbu

Całka

  • Funkcja pierwotna

    F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

    F jest pierwotną f, gdy różniczkowanie F daje f

  • Całka nieoznaczona

    ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

    wynikiem jest cała RODZINA funkcji, stąd stała C

  • Reguła potęgi

    ∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

    wykładnik rośnie o jeden i dzielimy przez nowy wykładnik

  • Wzór Newtona–Leibniza

    ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

    stała C znika przy odejmowaniu, więc nie ma znaczenia

  • Pole pod krzywą

    f(x)≥0 w ⟨a;b⟩  ⟹  P=∫abf(x) dxf(x) \geq 0 \ \text{w} \ \langle a; b \rangle \implies P = \int_a^b f(x)\,dx

    całka oznaczona równa polu tylko nad osią

  • Pole ogólnie

    P=∫ab∣f(x)∣ dxP = \int_a^b |f(x)|\,dx

    gdy krzywa schodzi pod oś, pole liczymy kawałkami

  • Funkcje trygonometryczne

    ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C

    minus wędruje na drugą stronę niż przy różniczkowaniu

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie
Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min