Dawkowanie leku dziecku
Ulotka podaje 15 mg paracetamolu na kilogram masy ciała — to funkcja f(m) = 15m, w której argumentem jest waga, a wartością dawka. Dla dziecka o masie 18 kg wychodzi 270 mg jednorazowo i 1080 mg na dobę przy czterech dawkach. Ważna jest tu też dziedzina: wzór obowiązuje mniej więcej od 4 do 50 kg, a powyżej wchodzi stała dawka dorosłego 1000 mg — poza dziedziną podstawianie do wzoru przestaje mieć sens.
Pojęcie funkcji
Rachunek za prąd
Faktura ma dwie części: opłaty stałe niezależne od zużycia i cenę za kilowatogodzinę. Przy 38 zł opłat stałych i 0,92 zł/kWh rachunek to f(x) = 0,92x + 38, więc za 210 kWh zapłacisz 231,20 zł. Wyraz wolny tłumaczy rzecz, która dziwi najczęściej: dwa razy większe zużycie nie daje dwa razy większego rachunku — 420 kWh to 424,40 zł, czyli 1,84 raza więcej, a nie dwa.
Funkcja liniowa Przelicz w konwerterze: Energia
Droga hamowania
Droga hamowania rośnie z kwadratem prędkości: s = v²/(2a). Na suchym asfalcie opóźnienie wynosi około 7 m/s², więc przy 50 km/h (13,9 m/s) auto potrzebuje 13,8 m, a przy 100 km/h — 55,1 m, czyli cztery razy tyle przy dwa razy większej prędkości. Ta parabola jest też powodem, dla którego ograniczenie z 50 do 30 km/h skraca hamowanie do 5,0 m, a nie do 8,3 m, które wyszłyby z proporcji.
Funkcja kwadratowa Przelicz w konwerterze: Prędkość
Strojenie instrumentu
Kamerton daje dźwięk a¹ o częstotliwości 440 Hz, czyli falę y = a·sin(2π·440·t). Ta sama struna naciągnięta mocniej daje 466 Hz — współczynnik przy t rośnie, więc okres skraca się z 1/440 ≈ 2,27 ms do 1/466 ≈ 2,15 ms. Stroiciel nie zmienia kształtu fali, tylko jeden współczynnik w jej wzorze, a szarpnięcie mocniej zmienia wyłącznie amplitudę, czyli głośność.
Przekształcenia wykresu funkcji
Wykres wagi w aplikacji
Aplikacja rysuje 12 tygodni pomiarów. Same skrajne punkty mówią niewiele: maksimum 84,2 kg w 3. tygodniu, minimum 79,6 kg w 11. Dopiero przedziały monotoniczności układają się w zdanie — wykres opada od 3. do 11. tygodnia, czyli 4,6 kg w 8 tygodni, po 0,58 kg tygodniowo. Ostatni tydzień znów rośnie, a przy odczycie samych ekstremów w ogóle by to nie wyszło.
Odczytywanie własności z wykresu
Czas przejazdu
Trasa Warszawa–Kraków ma około 295 km, więc czas jazdy to t = 295/v — proporcjonalność odwrotna w czystej postaci. Przy 90 km/h wychodzi 3 h 17 min, przy 120 km/h już 2 h 28 min. Podwojenie prędkości ze 100 do 200 km/h skróciłoby jazdę z 2 h 57 min do 1 h 29 min, czyli dokładnie o połowę — i to jest cała treść słowa „odwrotna".
Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna
Datowanie węglem C-14
Okres połowicznego rozpadu węgla C-14 wynosi 5730 lat, więc N(t) = N₀·(1/2)^(t/5730). Archeolog mierzy w znalezisku 25% wyjściowej zawartości izotopu i rozwiązuje (1/2)^(t/5730) = 0,25, czyli t/5730 = 2 — próbka ma 11 460 lat. Przy 12,5% wyszłoby 17 190 lat: każde kolejne halvenie to jeden pełny okres.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Plan treningowy
Plan biegowy na dziesięć tygodni: w pierwszym tygodniu 20 minut wybiegania, w każdym kolejnym o 5 minut więcej. To ciąg o wzorze ogólnym aₙ = 15 + 5n, więc w tygodniu dziesiątym plan przewiduje 15 + 50 = 65 minut. Różnica kolejnych wyrazów wynosi stale 5 minut — jest dodatnia, więc obciążenie rośnie i żaden tydzień nie wypada lżejszy od poprzedniego.
Ciągi liczbowe Przelicz w konwerterze: Czas
Lokata bankowa
Wpłacasz 10 000 zł na lokatę oprocentowaną 4% rocznie z kapitalizacją roczną. Stan konta po kolejnych latach to ciąg geometryczny o ilorazie q = 1,04: po pięciu latach masz 10 000 · 1,04⁵ = 12 166,53 zł, czyli 2 166,53 zł odsetek — o 166,53 zł więcej, niż dałoby proste dodawanie 400 zł rocznie. Ta nadwyżka to właśnie odsetki od odsetek.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny Zobacz lekcję: Procent składany
Odbicia piłki
Piłka spuszczona z wysokości 2 m po każdym odbiciu wraca na 60% poprzedniej wysokości. Wysokości odbić tworzą ciąg geometryczny o q = 0,6, a cała przebyta droga to 2 + 2 · (1,2 + 0,72 + 0,432 + …) = 2 + 2 · 1,2/(1 − 0,6) = 8 metrów. Odbić jest nieskończenie wiele, a droga — skończona, i to jest dokładnie sytuacja, którą opisuje szereg zbieżny.
Granica ciągu i szereg geometryczny
Przelicznik walutowy z prowizją
Kantor przelicza euro na złote kursem g(x) = 4,30x, a potem pobiera 2% prowizji, czyli f(y) = 0,98y. Klient wymieniający 500 € dostaje f(g(500)) = 0,98 · 2150 = 2107 zł. Odwrotna operacja odpowiada na pytanie „ile euro sprzedać, żeby dostać 3000 zł": z równania 4,214x = 3000 wychodzi 711,91 €, i to jest właśnie funkcja odwrotna do złożenia.
Złożenie funkcji i funkcja odwrotna
Koszt jednostkowy w produkcji
Uruchomienie linii kosztuje 40 000 zł, a każda sztuka 12 zł, więc koszt jednej sztuki wynosi k(n) = (40000 + 12n)/n. Przy 500 sztukach to 92 zł, przy 5000 już 20 zł, a przy 50 000 — 12,80 zł. Asymptota pozioma y = 12 mówi, gdzie ta krzywa się zatrzymuje: poniżej kosztu materiału nie zejdzie się nigdy, choćby produkcja rosła bez końca.
Funkcje wymierne i asymptoty
Ekspres zamiast kawiarni
Ekspres kosztuje 1200 zł, a jedna kawa z niego 1,10 zł, więc koszt jednej filiżanki po n kawach to f(n) = (1200 + 1,1n)/n = 1,1 + 1200/n. Po stu kawach wychodzi 13,10 zł, po tysiącu 2,30 zł, a granica przy n dążącym do nieskończoności to 1,10 zł — poniżej tej liczby nie zejdziesz nigdy, choćbyś pił kawę codziennie przez dwadzieścia lat. To granica odpowiada na pytanie „ile najmniej może to kosztować”, a porównanie z kawiarnią po 14 zł wyznacza próg opłacalności przy 93. kawie.
Granica funkcji
Prędkość na zegarku biegowym
Zegarek nie ma czujnika prędkości — zna wyłącznie kolejne pozycje z GPS. Prędkość chwilową liczy jako iloraz różnicowy: w ciągu jednej sekundy pozycja przesunęła się o 3,1 m, czyli 3,1 m/s, po przeliczeniu 11,2 km/h i tempo 5:23 min/km. Im krótszy przedział, tym bliżej wartości „tu i teraz”, i dokładnie ta granica przy h dążącym do zera jest definicją pochodnej — a Ty widzisz jej wynik na nadgarstku co sekundę.
Pochodna funkcji Przelicz w konwerterze: Prędkość
Projekt puszki napoju
Puszka ma mieścić 330 ml przy jak najmniejszym zużyciu blachy. Przy promieniu r wysokość wynosi h = 330/(πr²), więc pole powierzchni to S(r) = 2πr² + 660/r. Pochodna S′(r) = 4πr − 660/r² zeruje się dla r³ = 660/(4π), czyli r = 3,74 cm i h = 7,5 cm — optymalna puszka jest dokładnie tak wysoka, jak szeroka, a nie smukła. Realna ma r = 3,3 cm i zużywa 268 cm² blachy zamiast 264, bo denko musi być grubsze; te 1,5% przy miliardzie sztuk to już osobna pozycja w budżecie.
Zastosowania pochodnej
Zużycie paliwa na trasie
Komputer pokładowy pokazuje spalanie chwilowe, w litrach na godzinę, a Ty chcesz wiedzieć, ile paliwa faktycznie zeszło. Na dwugodzinnym podjeździe spalanie rośnie od 6 do 12 l/h, czyli f(t) = 6 + 3t. Zużycie to całka: ∫ (6 + 3t) dt od 0 do 2 = [6t + 1,5t²] = 12 + 6 = 18 litrów. Mnożenie przez odczyt początkowy dałoby 12 l, przez końcowy 24 l — obie liczby są fałszywe, a licznik w aucie robi dokładnie to, co całka: sumuje setki krótkich odcinków.
Całka Przelicz w konwerterze: Natężenie przepływu
Praca przy rozciąganiu ekspandera
Siła potrzebna do rozciągnięcia gumowego ekspandera nie jest stała, tylko narasta i wygasa: F(x) = 150(1 − e^(−4x)) niutonów. Praca to całka siły po drodze, więc rozciągnięcie o 0,5 metra daje 150·(0,5 + 0,25·e^(−2) − 0,25) ≈ 42,6 dżula. Członu z eksponentą nie ma w tablicy całek — bierze go podstawienie liniowe u = −4x.
Całkowanie przez części i podstawienie
Ile jeszcze przejedzie rower
Po przestaniu pedałowania prędkość roweru maleje wykładniczo: v(t) = 6·e^(−t/12) metrów na sekundę. Droga do zatrzymania to całka prędkości po całym pozostałym czasie, czyli całka niewłaściwa na przedziale nieskończonym — i wychodzi z niej skończone 6·12 = 72 metry. Rower teoretycznie nigdy się nie zatrzymuje, a mimo to przejedzie dokładnie 72 metry.
Całki niewłaściwe
Wieża z klocków wystająca poza krawędź stołu
Klocki układane jeden na drugim mogą wystawać poza stół tym dalej, im więcej ich jest: przy n klockach maksymalny zwis wynosi połowę n-tej sumy częściowej szeregu harmonicznego. Cztery klocki dają 1,04 długości klocka, a żeby przekroczyć dwie długości, trzeba ich aż 31. Zwis rośnie bez końca, bo szereg harmoniczny jest rozbieżny — tylko rośnie rozpaczliwie wolno.
Szeregi liczbowe
Jak kalkulator liczy sinus
Procesor nie ma w pamięci tablicy sinusów — sumuje kilka wyrazów szeregu. Dla x = 0,5 sam wielomian x − x³/6 + x⁵/120 daje 0,4794255, a prawdziwy sinus wynosi 0,4794255 — zgodność na siedmiu cyfrach po trzech wyrazach. Kolejny wyraz zmieniłby wynik o mniej niż 10⁻⁹, więc go się po prostu nie liczy.
Szeregi potęgowe i Taylora

Wzory działu

Dział: Funkcje i analiza

Pojęcie funkcji

Funkcja ze zbioru X w zbiór Y
$f \colon X \to Y$
każdemu elementowi X przypisuje dokładnie jeden element Y
Zapis wartości
$y = f(x)$
x to argument, y to wartość funkcji dla tego argumentu
Dziedzina
$D_f = \{x : f(x) \text{ istnieje}\}$
zbiór wszystkich argumentów
Zbiór wartości
$ZW_f = \{f(x) : x \in D_f\}$
zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje
Miejsce zerowe
$f(x_0) = 0$
argument, dla którego wartość jest zerem
Wykres funkcji
$\text{wykres } f = \{(x,\, f(x)) : x \in D_f\}$
zbiór punktów o współrzędnych (argument, wartość)

Funkcja liniowa

Postać kierunkowa
$f(x) = ax + b$
a — współczynnik kierunkowy, b — wyraz wolny
Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
przyrost wartości podzielony przez przyrost argumentu
Miejsce zerowe
$x_0 = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$
tam wykres przecina oś OX
Wartość w zerze
$f(0) = b$
tam wykres przecina oś OY
Postać ogólna
$Ax + By + C = 0$
przy B ≠ 0 sprowadzalna do kierunkowej
Warunek równoległości
$a_1 = a_2$
proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe
Warunek prostopadłości
$a_1 \cdot a_2 = -1$
stąd a₂ = −1/a₁

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna
$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$
wykresem jest parabola
Współrzędne wierzchołka
$p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a} = f(p)$
W(p, q) — punkt zwrotny paraboli
Postać kanoniczna
$f(x) = a(x - p)^2 + q$
widać z niej wierzchołek wprost
Postać iloczynowa
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
istnieje tylko przy Δ ≥ 0; widać z niej miejsca zerowe
Oś symetrii
$x = p$
pionowa prosta przez wierzchołek
Zbiór wartości
$ZW_f = \langle q, +\infty) \ \text{dla } a > 0$
dla a < 0 jest to (−∞, q⟩

Przekształcenia wykresu funkcji

Przesunięcie wzdłuż OY
$y = f(x) + q$
w górę dla q > 0, w dół dla q < 0
Przesunięcie wzdłuż OX
$y = f(x - p)$
w prawo dla p > 0 — przeciwnie do znaku we wzorze
Przesunięcie o wektor
$y = f(x - p) + q$
\vec{u} = [p,\, q]
Odbicie względem OX
$y = -f(x)$
zmienia znak wartości
Odbicie względem OY
$y = f(-x)$
zmienia znak argumentu
Rozciąganie wzdłuż OY
$y = a \cdot f(x)$
a razy dalej od osi OX
Ściskanie wzdłuż OX
$y = f(b x)$
b razy bliżej osi OY
Sinusoida ogólna
$y = a \sin(bx + c)$
amplituda |a|, okres \tfrac{2\pi}{|b|}, przesunięcie o -\tfrac{c}{b}

Odczytywanie własności z wykresu

Miejsce zerowe
$f(x_0) = 0$
punkt przecięcia wykresu z osią OX
Znak funkcji
$f(x) > 0 \iff \text{wykres nad osią } OX$
poniżej osi wartości są ujemne
Funkcja rosnąca
$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$
w przedziale, w którym wykres się wznosi
Funkcja malejąca
$x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$
w przedziale, w którym wykres opada
Minimum
$f(x) \geq f(x_{\min}) \ \text{dla każdego } x$
najniższy punkt wykresu; maksimum analogicznie
Dziedzina i zbiór wartości
$D_f \to \text{oś } OX, \quad ZW_f \to \text{oś } OY$
rzuty wykresu na obie osie

Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna

Proporcjonalność odwrotna
$y = \frac{a}{x}, \qquad a \neq 0$
dziedzina: x \neq 0
Warunek proporcjonalności
$x \cdot y = a$
iloczyn jest stały — stąd liczy się współczynnik a
Funkcja homograficzna
$y = \frac{a}{x - p} + q$
hiperbola przesunięta o wektor [p,\, q]
Asymptoty
$x = p, \qquad y = q$
pionowa i pozioma — krzywa zbliża się, nigdy nie dotyka
Postać kanoniczna
$\frac{ax + b}{x - p} = \frac{ap + b}{x - p} + a$
iloraz wyrażeń liniowych sprowadzony do przesuniętej hiperboli

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcja wykładnicza
$f(x) = b^x, \qquad b > 0,\ b \neq 1$
dziedzina: \mathbb{R}, zbiór wartości: (0,\ \infty)
Funkcja logarytmiczna
$f(x) = \log_b x, \qquad b > 0,\ b \neq 1$
dziedzina: (0,\ \infty), zbiór wartości: \mathbb{R}
Wzajemna odwrotność
$b^{\log_b x} = x, \qquad \log_b b^x = x$
jedna funkcja cofa to, co robi druga
Równanie wykładnicze
$b^{x_1} = b^{x_2} \iff x_1 = x_2$
różnowartościowość — stąd porównanie wykładników
Równanie logarytmiczne
$\log_b x_1 = \log_b x_2 \iff x_1 = x_2$
przy założeniu x_1 > 0 i x_2 > 0
Rozpad promieniotwórczy
$N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$
T — okres połowicznego rozpadu

Ciągi liczbowe

Ciąg jako funkcja
$a_n = f(n), \qquad n \in \mathbb{N}_+$
dziedziną są liczby naturalne, więc wykresem jest zbiór punktów
Wzór ogólny
$a_n = 2n + 1$
podstawiasz numer i od razu masz wyraz
Wzór rekurencyjny
$a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = 2a_n - 1$
każdy wyraz z poprzedniego — trzeba przejść po kolei
Ciąg rosnący
$a_{n+1} - a_n > 0$
różnica kolejnych wyrazów dodatnia dla każdego n
Ciąg malejący
$a_{n+1} - a_n < 0$
ta sama różnica, ujemna dla każdego n
Ciąg stały
$a_{n+1} - a_n = 0$
wszystkie wyrazy równe

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Różnica ciągu arytmetycznego
$r = a_{n+1} - a_n$
ta sama dla każdej pary sąsiednich wyrazów
n-ty wyraz arytmetycznego
$a_n = a_1 + (n - 1)r$
wyraz pierwszy plus n − 1 kroków
Średnia arytmetyczna
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
każdy wyraz jest średnią swoich sąsiadów
Suma n wyrazów arytmetycznego
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
średnia skrajnych razy liczba wyrazów
Iloraz ciągu geometrycznego
$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$
ten sam dla każdej pary sąsiednich wyrazów
n-ty wyraz geometrycznego
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
wyraz pierwszy razy iloraz podniesiony do n − 1
Średnia geometryczna
$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$
kwadrat wyrazu równy iloczynowi sąsiadów
Suma n wyrazów geometrycznego
$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1$
dla q = 1 suma to po prostu n razy a₁

Granica ciągu i szereg geometryczny

Granica ciągu
$\lim_{n \to \infty} a_n = g$
ciąg zbieżny do liczby g
Definicja granicy
$\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists N \;\; \forall n > N : \; |a_n - g| < \varepsilon$
od pewnego miejsca wszystkie wyrazy leżą bliżej g niż epsilon
Granica podstawowa
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
z niej wyprowadza się granice ilorazów
Iloraz wielomianów
$\lim_{n \to \infty} \frac{a n^k + \ldots}{b n^k + \ldots} = \frac{a}{b}$
przy równych stopniach — iloraz współczynników wiodących
Liczba e
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}718281828$
granica, która jest definicją stałej
Suma szeregu geometrycznego
$S = \frac{a_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1$
tylko dla zbieżnego — poza tym suma nie istnieje

Złożenie funkcji i funkcja odwrotna

Złożenie funkcji
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$
najpierw g, potem f — czyta się od środka
Kolejność ma znaczenie
$f \circ g \neq g \circ f$
składanie nie jest przemienne
Różnowartościowość
$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$
warunek istnienia funkcji odwrotnej
Funkcja odwrotna
$f^{-1}\big(f(x)\big) = x, \qquad f\big(f^{-1}(y)\big) = y$
cofa dokładnie to, co zrobiła f
Zamiana ról
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$
dziedzina i zbiór wartości zamieniają się miejscami
Wykres funkcji odwrotnej
$(a;\, b) \in f \iff (b;\, a) \in f^{-1}$
odbicie względem prostej y = x

Funkcje wymierne i asymptoty

Funkcja wymierna
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0$
iloraz dwóch wielomianów
Dziedzina
$D_f = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0\}$
miejsca zerowe mianownika są wykluczone
Biegun
$x = x_0 \ \text{— asymptota pionowa}$
gdy Q(x_0)=0 i P(x_0) \neq 0
Asymptota pozioma
$\deg P < \deg Q \implies y = 0$
mianownik rośnie szybciej
Asymptota pozioma
$\deg P = \deg Q \implies y = \frac{a_P}{a_Q}$
iloraz współczynników wiodących
Asymptota ukośna
$\deg P = \deg Q + 1 \implies y = ax + b$
iloraz z dzielenia wielomianów

Granica funkcji

Granica funkcji
$\lim_{x \to x_0} f(x) = g$
wartości f(x) zbliżają się do g, gdy x zbliża się do x₀
Funkcja ciągła
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
wielomian, więc granica to zwykłe podstawienie
Symbol nieoznaczony 0/0
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$
najpierw skróć wspólny czynnik, dopiero potem podstaw
Równe stopnie
$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \ldots}{b_n x^n + \ldots} = \frac{a_n}{b_n}$
iloraz współczynników przy najwyższej potędze
Niższy stopień licznika
$\lim_{x \to \infty} \frac{a_m x^m + \ldots}{b_n x^n + \ldots} = 0 \quad (m < n)$
mianownik rośnie szybciej, więc iloraz zanika
Granice jednostronne
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = g \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = g$
granica istnieje tylko wtedy, gdy obie strony dają to samo
Ciągłość w punkcie
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$
wartość istnieje, granica istnieje i obie są równe
Własność Darboux
$f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a; b): f(c) = 0$
funkcja ciągła o różnych znakach na końcach ma miejsce zerowe

Pochodna funkcji

Definicja pochodnej
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost maleje do zera
Reguła potęgi
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
wykładnik schodzi przed x i maleje o jeden
Stała i suma
$(c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'$
stałą przepisujemy, sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie
Reguła iloczynu
$(f \cdot g)' = f' g + f g'$
pochodna iloczynu NIE jest iloczynem pochodnych
Reguła ilorazu
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$
w liczniku różnica — kolejność ma znaczenie
Reguła łańcuchowa
$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
pochodna zewnętrznej razy pochodna wewnętrznej
Pierwiastek i odwrotność
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$
ta sama reguła potęgi dla wykładników ½ oraz −1
Funkcje trygonometryczne
$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x$
przy cosinusie pojawia się minus

Zastosowania pochodnej

Równanie stycznej
$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$
prosta o nachyleniu f′(x₀) przechodząca przez punkt styczności
Funkcja rosnąca
$f'(x) > 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{rosnąca}$
dodatnia pochodna to wznosząca się styczna
Funkcja malejąca
$f'(x) < 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{malejąca}$
ujemna pochodna to opadająca styczna
Warunek konieczny ekstremum
$f'(x_0) = 0$
punkt krytyczny — kandydat, jeszcze nie ekstremum
Warunek wystarczający (maksimum)
$f' : + \to - \ \text{w} \ x_0 \implies \text{maksimum w} \ x_0$
pochodna musi ZMIENIĆ znak z plusa na minus
Warunek wystarczający (minimum)
$f' : - \to + \ \text{w} \ x_0 \implies \text{minimum w} \ x_0$
z minusa na plus — dołek zamiast garbu

Całka

Funkcja pierwotna
$F'(x) = f(x)$
F jest pierwotną f, gdy różniczkowanie F daje f
Całka nieoznaczona
$\int f(x)\,dx = F(x) + C$
wynikiem jest cała RODZINA funkcji, stąd stała C
Reguła potęgi
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
wykładnik rośnie o jeden i dzielimy przez nowy wykładnik
Wzór Newtona–Leibniza
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
stała C znika przy odejmowaniu, więc nie ma znaczenia
Pole pod krzywą
$f(x) \geq 0 \ \text{w} \ \langle a; b \rangle \implies P = \int_a^b f(x)\,dx$
całka oznaczona równa polu tylko nad osią
Pole ogólnie
$P = \int_a^b |f(x)|\,dx$
gdy krzywa schodzi pod oś, pole liczymy kawałkami
Funkcje trygonometryczne
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$
minus wędruje na drugą stronę niż przy różniczkowaniu
Całka z 1/x
$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x \rvert + C$
jedyny wykładnik, którego reguła potęgi nie obejmuje
Funkcja wykładnicza
$\int e^x\,dx = e^x + C$
jest własną pochodną, więc i własną funkcją pierwotną
Pole między krzywymi
$f(x) \geq g(x) \ \text{w} \ \langle a; b \rangle \implies P = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$
całkujemy różnicę: górna krzywa minus dolna

Całkowanie przez części i podstawienie

Całkowanie przez części
$\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx$
odwrócenie wzoru na pochodną iloczynu
Przez części, oznaczona
$\int_a^b u\,v'\,dx = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
człon uv liczymy w granicach, reszta zostaje całką
Całkowanie przez podstawienie
$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C$
odwrócenie reguły łańcuchowej
Zmiana granic
$\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$
granice też przechodzą przez podstawienie
Podstawienie liniowe
$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax+b) + C$
najczęstszy przypadek: dzielimy przez a
Całka z eksponenty
$\int e^x\,dx = e^x + C$
potrzebna w przykładach z całkowaniem przez części

Całki niewłaściwe

Całka niewłaściwa I rodzaju
$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{T \to \infty} \int_a^{T} f(x)\,dx$
nieograniczony przedział całkowania
Całka niewłaściwa II rodzaju
$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx$
funkcja nieograniczona w krańcu a
Test p w nieskończoności
$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p-1} \quad \text{dla } p > 1$
dla p ≤ 1 całka jest rozbieżna
Test p w zerze
$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{1-p} \quad \text{dla } p < 1$
dla p ≥ 1 całka jest rozbieżna
Ogon wykładniczy
$\int_0^{\infty} e^{-ax}\,dx = \frac{1}{a} \quad (a > 0)$
zbieżna dla każdego dodatniego a
Skończone pole, nieskończona wysokość
$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2$
sztandarowy przykład II rodzaju

Szeregi liczbowe

Suma częściowa
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$
skończona suma n pierwszych wyrazów
Suma szeregu
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n$
granica ciągu sum częściowych
Warunek konieczny
$\sum a_n \ \text{zbieżny} \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 0$
w drugą stronę nie działa
Kryterium porównawcze
$0 \leq a_n \leq b_n, \ \sum b_n \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
mniejszy od zbieżnego jest zbieżny
Kryterium d’Alemberta
$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = g < 1 \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
dla g > 1 rozbieżny, dla g = 1 nie rozstrzyga
Kryterium Cauchy’ego
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = g < 1 \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
dla g > 1 rozbieżny, dla g = 1 nie rozstrzyga
Kryterium Leibniza
$a_n \searrow 0 \implies \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \ \text{zbieżny}$
ciąg malejący do zera, znaki na przemian
Zbieżność bezwzględna
$\sum |a_n| \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
bezwzględna pociąga zwykłą, nie odwrotnie

Szeregi potęgowe i Taylora

Szereg potęgowy
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$
funkcja swojego argumentu x
Promień zbieżności
$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
zbieżny dla |x − x_0| < R
Szereg Taylora
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(x - x_0)^n$
współczynniki to pochodne w punkcie x_0
Szereg Maclaurina
$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
szereg Taylora wokół zera
Rozwinięcie eˣ
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
zbieżne dla każdego x
Rozwinięcie sinusa
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
same potęgi nieparzyste
Rozwinięcie cosinusa
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
same potęgi parzyste
Rozwinięcie logarytmu
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$
tylko dla −1 < x ≤ 1
Błąd przybliżenia
$\big|R_n(x)\big| \leq \frac{M\,|x - x_0|^{n+1}}{(n+1)!}$
M ogranicza pochodną rzędu n+1

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min