Co to jest całka niewłaściwa?

Całka, w której złamane jest jedno z dwóch założeń całki oznaczonej: przedział całkowania jest nieograniczony albo funkcja podcałkowa jest nieograniczona w którymś z krańców. W obu przypadkach nie da się jej policzyć wprost, więc definiuje się ją jako granicę zwykłej całki oznaczonej po przedziale, który dopiero rozciąga się do granicy.

Kiedy całka niewłaściwa jest zbieżna?

Wtedy i tylko wtedy, gdy granica z definicji istnieje i jest skończona. Jeżeli granica wynosi plus lub minus nieskończoność albo w ogóle nie istnieje, całkę nazywamy rozbieżną i nie przypisujemy jej żadnej wartości. Sam fakt, że obszar jest nieograniczony, niczego nie przesądza — obszar nieograniczony może mieć skończone pole.

Jak obszar nieskończenie długi może mieć skończone pole?

Bo maleje dostatecznie szybko. Obszar pod y = 1/x² od 1 w prawo ma pole 1: każdy kolejny odcinek dokłada coraz mniej i wszystko to sumuje się do liczby. Pod y = 1/x, przy krzywej wyglądającej niemal identycznie, pole rośnie już bez ograniczeń. Różnicy nie widać na wykresie — rozstrzyga ją rachunek granicy.

Na czym polega test p?

Na porównaniu wykładnika z jedynką, przy czym w obu sytuacjach nierówność idzie w przeciwną stronę. Daleko od zera całka ∫ dx/x^p od 1 do nieskończoności jest zbieżna dla p > 1, bo funkcja musi maleć szybko. Przy biegunie w zerze całka ∫ dx/x^p od 0 do 1 jest zbieżna dla p < 1, bo funkcja musi rosnąć wolno.

Dlaczego dla całki z 1/x^p warunki są odwrotne w zerze i w nieskończoności?

Bo w każdym z tych miejsc kłopot sprawia co innego. W nieskończoności problemem jest długość przedziału, więc funkcja musi maleć szybciej niż 1/x, żeby zdążyć zaniknąć. W zerze problemem jest wysokość funkcji, więc musi ona rosnąć wolniej niż 1/x, żeby zdążyć się zmieścić. Wykładnik p = 1 jest granicą i w obu przypadkach daje rozbieżność.

Co zrobić, gdy funkcja ucieka w nieskończoność w środku przedziału?

Rozbić całkę na dwie w tym punkcie i zbadać każdą osobno; całość jest zbieżna tylko wtedy, gdy zbieżne są obie części. Bezmyślne podstawienie do wzoru Newtona–Leibniza daje wtedy wynik pozbawiony sensu: dla ∫ dx/x² od −1 do 1 wychodzi −2, czyli ujemne pole obszaru leżącego w całości nad osią.

Czy każda całka z funkcji malejącej do zera jest zbieżna?

Nie. Funkcja 1/x maleje do zera, a mimo to całka z niej od 1 do nieskończoności jest rozbieżna — jej wartość rośnie jak logarytm, czyli wolno, ale bez ograniczeń. Samo dążenie do zera jest warunkiem koniecznym zbieżności, a nie wystarczającym; liczy się tempo tego dążenia.

Do czego całki niewłaściwe są potrzebne w praktyce?

Wszędzie tam, gdzie sumuje się wielkość po nieograniczonym czasie: wartość obecna nieskończonego strumienia płatności, całkowita dawka promieniowania z izotopu, średni czas pracy urządzenia do awarii, droga hamowania przy wykładniczym spadku prędkości. W każdym z tych przypadków wynik jest skończoną liczbą, choć całkujemy po nieskończoności.

Poziom zaawansowany

Całki niewłaściwe

Q: Dlaczego dla całki z 1/x^p warunki są odwrotne w zerze i w nieskończoności?

Bo w każdym z tych miejsc kłopot sprawia co innego. W nieskończoności problemem jest długość przedziału, więc funkcja musi maleć szybciej niż 1/x, żeby zdążyć zaniknąć. W zerze problemem jest wysokość funkcji, więc musi ona rosnąć wolniej niż 1/x, żeby zdążyć się zmieścić. Wykładnik p = 1 jest granicą i w obu przypadkach daje rozbieżność.

Q: Co zrobić, gdy funkcja ucieka w nieskończoność w środku przedziału?

Rozbić całkę na dwie w tym punkcie i zbadać każdą osobno; całość jest zbieżna tylko wtedy, gdy zbieżne są obie części. Bezmyślne podstawienie do wzoru Newtona–Leibniza daje wtedy wynik pozbawiony sensu: dla ∫ dx/x² od −1 do 1 wychodzi −2, czyli ujemne pole obszaru leżącego w całości nad osią.

Q: Czy każda całka z funkcji malejącej do zera jest zbieżna?

Nie. Funkcja 1/x maleje do zera, a mimo to całka z niej od 1 do nieskończoności jest rozbieżna — jej wartość rośnie jak logarytm, czyli wolno, ale bez ograniczeń. Samo dążenie do zera jest warunkiem koniecznym zbieżności, a nie wystarczającym; liczy się tempo tego dążenia.

Q: Do czego całki niewłaściwe są potrzebne w praktyce?

Wszędzie tam, gdzie sumuje się wielkość po nieograniczonym czasie: wartość obecna nieskończonego strumienia płatności, całkowita dawka promieniowania z izotopu, średni czas pracy urządzenia do awarii, droga hamowania przy wykładniczym spadku prędkości. W każdym z tych przypadków wynik jest skończoną liczbą, choć całkujemy po nieskończoności.

Całka oznaczona zakłada dwie rzeczy: że przedział jest skończony i że funkcja jest na nim ograniczona. Gdy jedno z tych założeń upada, całkę definiuje się przez granicę — i okazuje się, że obszar nieograniczony potrafi mieć skończone pole. O tym, czy tak będzie, decyduje jedna liczba: wykładnik p.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Ile jeszcze przejedzie rower
Po przestaniu pedałowania prędkość roweru maleje wykładniczo: v(t) = 6·e^(−t/12) metrów na sekundę. Droga do zatrzymania to całka prędkości po całym pozostałym czasie, czyli całka niewłaściwa na przedziale nieskończonym — i wychodzi z niej skończone 6·12 = 72 metry. Rower teoretycznie nigdy się nie zatrzymuje, a mimo to przejedzie dokładnie 72 metry.
Wartość obecna renty wieczystej
Fundusz wypłaca 12 000 zł rocznie bez końca, a pieniądz dyskontuje się w tempie 5 procent rocznie. Wartość obecna to całka 12000·e^(−0,05t) po przedziale od zera do nieskończoności, czyli 12000/0,05 = 240 000 zł. Nieskończony strumień wypłat ma skończoną cenę i to właśnie jest zbieżność tej całki.
Całkowita dawka promieniowania
Po skażeniu moc dawki maleje wykładniczo: D′(t) = 0,8·e^(−t/6) milisiwerta na godzinę. Dawka pochłonięta przez cały pozostały czas to całka tej mocy, czyli 0,8·6 = 4,8 mSv — liczba, którą inspektor ochrony radiologicznej porównuje z limitem rocznym. Gdyby moc dawki malała jak 1/t, ta sama całka byłaby rozbieżna i limit zostałby przekroczony na pewno.
Średni czas pracy do awarii
Niezawodność urządzenia opisuje funkcja R(t) = e^(−t/4000), gdzie czas liczy się w godzinach. Średni czas do awarii to całka z R po przedziale nieskończonym, czyli 4000 godzin — parametr MTBF podawany w karcie katalogowej. Cała definicja tej wielkości opiera się na tym, że ta całka niewłaściwa jest zbieżna.

Wszystkie wzory

Całka niewłaściwa I rodzaju
$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{T \to \infty} \int_a^{T} f(x)\,dx$
nieograniczony przedział całkowania
Całka niewłaściwa II rodzaju
$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx$
funkcja nieograniczona w krańcu a
Test p w nieskończoności
$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p-1} \quad \text{dla } p > 1$
dla p ≤ 1 całka jest rozbieżna
Test p w zerze
$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{1-p} \quad \text{dla } p < 1$
dla p ≥ 1 całka jest rozbieżna
Ogon wykładniczy
$\int_0^{\infty} e^{-ax}\,dx = \frac{1}{a} \quad (a > 0)$
zbieżna dla każdego dodatniego a
Skończone pole, nieskończona wysokość
$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2$
sztandarowy przykład II rodzaju

Całka oznaczona $\int_a^b f(x)\,dx$ milcząco zakłada dwie rzeczy: że przedział $\langle a;\, b \rangle$ jest skończony i że funkcja jest na nim ograniczona. Gdy jedno z tych założeń upada, symbol całki trzeba zdefiniować na nowo — i tak powstają całki niewłaściwe.

co zawodzi	przykład	nazwa
przedział jest nieograniczony	$\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^2}$	całka niewłaściwa I rodzaju
funkcja jest nieograniczona w krańcu	$\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{x}}$	całka niewłaściwa II rodzaju

W obu przypadkach recepta jest ta sama: policz zwykłą całkę oznaczoną, a potem przejdź do granicy.

I rodzaj: nieograniczony przedział

Nie da się wstawić nieskończoności do wzoru Newtona–Leibniza, więc zamiast tego całkujemy do ruchomego kresu $T$ i patrzymy, dokąd wynik zmierza:

\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{T \to \infty} \int_a^{T} f(x)\,dx

Jeśli ta granica jest skończona, całkę nazywamy zbieżną i przypisujemy jej tę wartość. Jeśli granica jest nieskończona albo nie istnieje — całka jest rozbieżna i nie ma wartości.

Zbadaj zbieżność całki ∫₁^∞ dx/x² i policz jej wartość.

Zacieniowany obszar nie kończy się na prawej krawędzi rysunku — kończy się tam ramka. Sam obszar biegnie dalej, a mimo to jego pole wynosi dokładnie 1.

Żaden rysunek nie pokaże nieskończoności; pokazuje jej początek, a resztę niesie rachunek. To zresztą najważniejsza rzecz w tej lekcji: o zbieżności nie da się przekonać oczami.

Zbieżna czy rozbieżna

Zamieńmy wykładnik z $2$ na $1$ . Krzywe wyglądają niemal tak samo, a wynik jest zupełnie inny.

Zbadaj zbieżność całki ∫₁^∞ dx/x.

Dwie krzywe i dwa obszary o tych samych granicach. Górny ma nieskończone pole, dolny — pole równe 1. Na rysunku ta różnica jest niewidoczna, bo obie krzywe maleją do zera.

Samo dążenie funkcji do zera nie wystarcza. Liczy się tempo — i dokładnie to mierzy test $p$ .

Test p w nieskończoności

\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{p-1}, & p > 1 \quad \text{(zbieżna)} \\[2mm] \infty, & p \leq 1 \quad \text{(rozbieżna)} \end{cases}

Rachunek jest jednym wierszem. Dla $p \neq 1$ funkcją pierwotną jest $\tfrac{x^{1-p}}{1-p}$ , więc

\int_1^{T} x^{-p}\,dx = \frac{T^{1-p} - 1}{1-p}

O wszystkim decyduje znak wykładnika $1-p$ : dla $p > 1$ jest on ujemny, więc $T^{1-p} \to 0$ i granica jest skończona; dla $p < 1$ jest dodatni, więc $T^{1-p} \to \infty$ . Przypadek $p = 1$ policzyliśmy osobno — daje logarytm i rozbieżność.

$p$	$\int_1^{\infty} \tfrac{dx}{x^p}$
$0{,}5$	rozbieżna
$1$	rozbieżna
$2$	$1$
$3$	$\tfrac{1}{2}$
$4$	$\tfrac{1}{3}$

II rodzaj: nieograniczona funkcja w krańcu

Drugi rodzaj psuje się nie na końcu przedziału, tylko w nim samym: przedział jest krótki, a funkcja ucieka w nim w nieskończoność. Odsuwamy się więc od kłopotliwego krańca o $\varepsilon$ i ściskamy go do zera:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx

Zbadaj zbieżność całki ∫₀¹ dx/√x i policz jej wartość.

Obszar między krzywą y = 1/√x a osią, od 0 do 1. Przy lewej krawędzi nie ma sufitu — krzywa ucieka poza górę rysunku — a mimo to pole wynosi 2.

Test p w zerze

Ta sama rodzina funkcji, ten sam wykładnik, ale kraniec inny — i nierówność odwraca się na drugą stronę:

\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \dfrac{1}{1-p}, & p < 1 \quad \text{(zbieżna)} \\[2mm] \infty, & p \geq 1 \quad \text{(rozbieżna)} \end{cases}

Obie reguły warto trzymać obok siebie, bo to ich zestawienie jest naprawdę pouczające:

gdzie	zbieżna, gdy	co musi robić funkcja
$\int_1^{\infty} \tfrac{dx}{x^p}$	$p > 1$	maleć szybko
$\int_0^1 \tfrac{dx}{x^p}$	$p < 1$	rosnąć wolno

Kierunki są przeciwne, bo kłopot jest w każdym miejscu inny. Daleko od zera przeszkadza długość przedziału, więc funkcja musi znikać dostatecznie prędko. Przy biegunie przeszkadza wysokość funkcji, więc nie wolno jej rosnąć zbyt gwałtownie. Wykładnik $p = 1$ jest granicą, której nie przekracza żadna z dwóch reguł — i dlatego $\int_0^{\infty} \tfrac{dx}{x}$ jest rozbieżna po obu stronach naraz.

Gdy biegun leży w środku przedziału

To jest miejsce, w którym rachunek bez zastanowienia daje bzdurę.

Co jest złego w rachunku ∫ dx/x² od −1 do 1 = [−1/x] od −1 do 1 = −1 − 1 = −2?

Zadania

Zestaw pyta o dwie rzeczy. Pierwsza to wartość całki zbieżnej — odpowiedzią jest liczba albo ułamek, np. 1/3. Druga to próg wykładnika: zamiast pytać, czy całka jest zbieżna (odpowiedzią byłoby słowo), pytamy, dla jakich $p$ jest zbieżna, a odpowiedź wpisujesz jako nierówność, np. p>1 albo p<1.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

∫₁^∞ 4/x² dx =

Sam werdykt „zbieżna czy rozbieżna” dla konkretnej całki zostaje treścią lekcji — jest wnioskiem z liczby, którą właśnie ćwiczysz, a nie osobnym rachunkiem.

Częste błędy

Wstawianie nieskończoności do wzoru Newtona–Leibniza — symbol $\infty$ nie jest liczbą; trzeba przejść przez ruchomy kres $T$ i granicę.
Uznanie, że skoro funkcja maleje do zera, całka jest zbieżna — $\tfrac{1}{x}$ maleje do zera, a jej całka jest rozbieżna. Liczy się tempo, nie sam fakt.
Pomylenie kierunku nierówności w teście p — w nieskończoności zbieżność daje $p > 1$ , w zerze $p < 1$ ; oba przypadki wyglądają identycznie i różnią się wszystkim.
Przeoczony biegun w środku przedziału — całkowanie „na przestrzał” przez punkt, w którym funkcja nie ma wartości, potrafi dać ujemne pole obszaru leżącego nad osią.
Przypisanie wartości całce rozbieżnej — jeżeli granica nie istnieje albo jest nieskończona, całka nie ma wartości; nie wolno jej podać jako $\infty$ w roli wyniku liczbowego.
Zapomniana zmiana ról krańców — przy $\int_a^b$ z biegunem w górnym krańcu odsuwa się kraniec $b$ , a nie $a$ ; wzór ma dwie wersje lustrzane.

Karta wzorów

Temat: Całki niewłaściwe

Całka niewłaściwa I rodzaju
$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{T \to \infty} \int_a^{T} f(x)\,dx$
nieograniczony przedział całkowania
Całka niewłaściwa II rodzaju
$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx$
funkcja nieograniczona w krańcu a
Test p w nieskończoności
$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p-1} \quad \text{dla } p > 1$
dla p ≤ 1 całka jest rozbieżna
Test p w zerze
$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{1-p} \quad \text{dla } p < 1$
dla p ≥ 1 całka jest rozbieżna
Ogon wykładniczy
$\int_0^{\infty} e^{-ax}\,dx = \frac{1}{a} \quad (a > 0)$
zbieżna dla każdego dodatniego a
Skończone pole, nieskończona wysokość
$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2$
sztandarowy przykład II rodzaju

Obszar pod krzywą y = 1/x² od x = 1 w prawo. Ciągnie się bez końca, ale jego pole wynosi dokładnie 1 — rysunek pokazuje tylko jego początek, bo ramka jest skończona, a obszar nie.

Obszar pod krzywą y = 1/√x między 0 a 1. Przy lewym krańcu funkcja ucieka w nieskończoność, więc obszar nie ma górnej granicy — a jego pole wynosi 2.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min