Skąd bierze się wzór na całkowanie przez części?

Ze wzoru na pochodną iloczynu. Z równości (uv)′ = u′v + uv′ po scałkowaniu obu stron mamy uv = ∫u′v dx + ∫uv′ dx, a po przeniesieniu jednej całki na drugą stronę zostaje ∫uv′ dx = uv − ∫u′v dx. Nic więcej się w tym wzorze nie kryje — to reguła iloczynu przeczytana od tyłu.

Co brać za u przy całkowaniu przez części?

To, co po zróżniczkowaniu robi się prostsze, przy czym drugi czynnik musi dać się scałkować. W całce ∫x·eˣ dx bierzemy u = x, bo jego pochodną jest 1, a eˣ całkuje się samo. W całce ∫ln x dx bierzemy u = ln x, a za v′ niewidoczną jedynkę — po zróżniczkowaniu logarytm zamienia się w 1/x i całka robi się elementarna.

Co podstawiać przy całkowaniu przez podstawienie?

Funkcję wewnętrzną złożenia, o ile jej pochodna stoi w całce jako czynnik — choćby ze stałą. W całce ∫2x·cos(x²) dx podstawiamy u = x², bo du = 2x dx i ten czynnik jest już na miejscu. Jeżeli pochodnej funkcji wewnętrznej nigdzie nie widać, podstawienie nie pomoże i trzeba szukać innej drogi.

Czy przy całce oznaczonej trzeba wracać do zmiennej x?

Nie, jeśli zmienisz granice całkowania. Podstawienie u = g(x) przenosi granice z a i b na g(a) i g(b), więc rachunek kończy się w zmiennej u i nic nie trzeba odwracać. Wracać do x trzeba tylko wtedy, gdy granic się nie zmieniło — a pomylenie tych dwóch dróg to najczęstsze źródło błędu w tym temacie.

Dlaczego przy podstawieniu liniowym dzieli się przez a?

Bo reguła łańcuchowa mnoży przez a, a całkowanie musi to odwrócić. Pochodną F(ax + b) jest a·f(ax + b), więc żeby dostać samo f(ax + b), trzeba funkcję pierwotną podzielić przez a. Stąd ∫sin(3x) dx = −cos(3x)/3, a nie −cos(3x).

Kiedy stosuje się całkowanie przez części dwa razy?

Gdy po pierwszym kroku w całce nadal stoi iloczyn — na przykład w ∫x²eˣ dx, gdzie pierwszy krok obniża kwadrat do pierwszej potęgi, a dopiero drugi ją zeruje. Wielomian stopnia n przy eksponencie albo przy funkcji trygonometrycznej wymaga dokładnie n kroków, bo każdy zbija stopień o jeden.

Skąd wiadomo, którą z dwóch technik wybrać?

Po tym, co widać w funkcji podcałkowej. Złożenie, którego pochodna wnętrza stoi obok jako czynnik, to podstawienie. Iloczyn funkcji różnych rodzajów — wielomian razy eksponenta, wielomian razy sinus, sam logarytm — to części. Gdy pasują obie, wybiera się tę, po której całka po prawej stronie jest krótsza.

Czy każdą całkę da się policzyć jedną z tych technik?

Nie. Techniki poszerzają tablicę, ale jej nie zamykają: całki ∫e^(−x²) dx nie da się zapisać żadnym skończonym wzorem złożonym z funkcji elementarnych, choć funkcja jest gładka i całkowalna. Wtedy zostaje rachunek przybliżony albo — jak przy funkcji błędu — nadanie tej całce własnej nazwy.

Poziom zaawansowany

Całkowanie przez części i podstawienie

Tablica całek kończy się na wielomianach, sinusie i cosinusie — a już ∫ x·eˣ dx nie ma w niej wiersza. Dwie techniki domykają lukę, bo obie są regułą różniczkowania przeczytaną od tyłu: wzór na pochodną iloczynu daje całkowanie przez części, a reguła łańcuchowa — całkowanie przez podstawienie.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Praca przy rozciąganiu ekspandera
Siła potrzebna do rozciągnięcia gumowego ekspandera nie jest stała, tylko narasta i wygasa: F(x) = 150(1 − e^(−4x)) niutonów. Praca to całka siły po drodze, więc rozciągnięcie o 0,5 metra daje 150·(0,5 + 0,25·e^(−2) − 0,25) ≈ 42,6 dżula. Członu z eksponentą nie ma w tablicy całek — bierze go podstawienie liniowe u = −4x.
Energia zużyta przez rozruch maszyny
Elektryk mierzy moc chwilową rozruchu jako P(t) = 40·t·e^(−t/2) kilowatów. Energia to pole pod tą krzywą, a iloczyn zmiennej i eksponenty nie ma wiersza w tablicy: całkowanie przez części daje funkcję pierwotną −2t·e^(−t/2) − 4e^(−t/2), więc przez pierwsze 4 godziny maszyna zjada 40·(4 − 12·e^(−2)) ≈ 95 kilowatogodzin.
Ile wody wypłynie ze zbiornika
Wypływ przez otwór słabnie razem z ciśnieniem: q(t) = 30·e^(−t/10) litrów na minutę. Objętość, która wypłynie przez 20 minut, to całka natężenia przepływu, czyli 300·(1 − e^(−2)) ≈ 259 litrów. Podstawienie u = −t/10 zamienia ją w całkę z eksponenty, którą już znasz.
Ekspozycja pacjenta na lek
Farmakolog liczy pole pod krzywą stężenia dla modelu C(t) = 8t·e^(−0,5t) miligramów na litr. Przez pierwsze 6 godzin całkowanie przez części daje 32·(1 − 4·e^(−3)) ≈ 25,6 mg·h/l — liczbę, którą porównuje się z ekspozycją po dawce wzorcowej. Ten sam iloczyn zmiennej i eksponenty, ta sama technika.

Wszystkie wzory

Całkowanie przez części
$\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx$
odwrócenie wzoru na pochodną iloczynu
Przez części, oznaczona
$\int_a^b u\,v'\,dx = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
człon uv liczymy w granicach, reszta zostaje całką
Całkowanie przez podstawienie
$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C$
odwrócenie reguły łańcuchowej
Zmiana granic
$\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$
granice też przechodzą przez podstawienie
Podstawienie liniowe
$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax+b) + C$
najczęstszy przypadek: dzielimy przez a
Całka z eksponenty
$\int e^x\,dx = e^x + C$
potrzebna w przykładach z całkowaniem przez części

Tablica całek z lekcji o całce kończy się na wielomianach, sinusie i cosinusie. Tymczasem $\int x e^x\,dx$ i $\int (2x+1)^5\,dx$ nie mają w niej wiersza — a obie są całkami z funkcji, które umiesz różniczkować. Stąd bierze się pomysł na obie techniki tej lekcji: każda z nich to jedna reguła różniczkowania przeczytana od tyłu.

reguła różniczkowania	technika całkowania
pochodna iloczynu $(uv)' = u'v + uv'$	całkowanie przez części
reguła łańcuchowa $\big(F(g(x))\big)' = f(g(x))\,g'(x)$	całkowanie przez podstawienie

Po drodze przyda się jeszcze jedna funkcja pierwotna spoza tablicy, wprost z lekcji o funkcji wykładniczej i logarytmicznej: skoro $(e^x)' = e^x$ , to

\int e^x\,dx = e^x + C

Całkowanie przez podstawienie

Reguła łańcuchowa mówi, że pochodną złożenia $F(g(x))$ jest $f(g(x)) \cdot g'(x)$ . Czytamy tę równość od prawej do lewej:

\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C

W praktyce nadaje się funkcji wewnętrznej nazwę. Podstawiamy $u = g(x)$ , a wtedy $du = g'(x)\,dx$ — i cała całka przechodzi na zmienną $u$ :

\int f(u)\,du = F(u) + C

Policz całkę ∫ 2x·cos(x²) dx.

Co podstawiać

Reguła jest jedna: podstawiaj funkcję wewnętrzną złożenia, jeżeli jej pochodna stoi w całce jako czynnik. Wolno przy tym różnić się o stałą — brakujący mnożnik przenosi się przed całkę.

całka	co podstawić	dlaczego
$\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$	$u = x^2+1$	$du = 2x\,dx$ , a $x\,dx$ już jest
$\int \dfrac{\ln x}{x}\,dx$	$u = \ln x$	$du = \tfrac{1}{x}\,dx$ , a $\tfrac{1}{x}$ już jest
$\int \sin^3 x \cos x\,dx$	$u = \sin x$	$du = \cos x\,dx$ , a $\cos x$ już jest
$\int (2x+1)^5\,dx$	$u = 2x+1$	$du = 2\,dx$ , czyli sama stała

Ostatni wiersz jest tak częsty, że ma własny skrót. Gdy wewnątrz stoi wyrażenie liniowe:

\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax+b) + C

Dzielenie przez $a$ jest nieuniknione: reguła łańcuchowa mnoży przez $a$ , więc całkowanie musi to cofnąć. Stąd $\int \sin 3x\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos 3x + C$ , a nie $-\cos 3x$ .

Całka oznaczona: granice też się podstawiają

Przy całce oznaczonej podstawienie zmienia nie tylko funkcję, ale i granice całkowania — bo zmienna, po której liczymy, jest już inna:

\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du

Policz ∫₀¹ (2x + 1)² dx, zmieniając granice całkowania.

Rysunki pokazują, co się właściwie stało: obszar zmienił kształt, ale nie pole.

Przed podstawieniem: wąski i wysoki obszar pod krzywą y = (2x + 1)² między x = 0 a x = 1.

Po podstawieniu: obszar rozciągnął się wszerz i spłaszczył, bo granice przeszły na 1 i 3, a funkcja na u²/2. Pole obu obszarów wynosi 13/3.

Całkowanie przez części

Druga technika odwraca wzór na pochodną iloczynu. Zaczynamy od niego i całkujemy obie strony:

\big(u\,v\big)' = u'v + u\,v' \quad \Longrightarrow \quad u\,v = \int u'v\,dx + \int u\,v'\,dx

Przenosimy jedną całkę na drugą stronę i mamy wzór:

\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx

Wzór nie liczy całki — zamienia ją na inną. Cały wysiłek idzie w to, żeby ta druga była łatwiejsza od pierwszej.

Wybór funkcji u

Za $u$ bierzemy czynnik, który po zróżniczkowaniu robi się prostszy; za $v'$ — ten, który umiemy scałkować.

funkcja podcałkowa	$u$	$v'$	co zyskujemy
$x\,e^x$	$x$	$e^x$	$u' = 1$ , iloczyn znika
$x\sin x$	$x$	$\sin x$	jak wyżej
$\ln x$	$\ln x$	$1$	logarytm przechodzi w $\tfrac{1}{x}$
$x^2 e^x$	$x^2$	$e^x$	stopień spada o jeden na krok

Policz całkę ∫ x·eˣ dx.

Policz całkę ∫ ln x dx.

Gdy trzeba dwa razy

Jeśli po pierwszym kroku w całce nadal stoi iloczyn, technikę stosuje się ponownie. Wielomian stopnia $n$ przy eksponencie wymaga dokładnie $n$ kroków — każdy zbija stopień o jeden.

Policz całkę ∫ x²·eˣ dx.

Wzór na rysunku

Dla funkcji rosnącej, która startuje z zera, wzór na całkowanie przez części daje się narysować. Weźmy $y = x^2$ na przedziale $\langle 0;\, 1 \rangle$ i jej funkcję odwrotną $y = \sqrt{x}$ :

Krzywa y = x² rozcina kwadrat jednostkowy na dwie części. Zacieniowana leży pod nią, a druga — nad nią — jest zarazem obszarem pod krzywą odwrotną y = √x.

Pole pod parabolą to $\int_0^1 x^2\,dx = \tfrac{1}{3}$ , a pole nad nią to $\int_0^1 \sqrt{x}\,dx = \tfrac{2}{3}$ . Razem dają $1$ , czyli pole całego kwadratu — i to jest wzór na całkowanie przez części zapisany bez ani jednej litery:

\int_0^1 x^2\,dx + \int_0^1 \sqrt{x}\,dx = 1 \cdot 1

Którą technikę wybrać

Widzisz złożenie, a obok pochodną jego wnętrza? Podstawienie.
Widzisz iloczyn funkcji różnych rodzajów — wielomian razy eksponenta, wielomian razy sinus, sam logarytm? Części.
Widzisz obie możliwości naraz? Wybierz tę, po której całka po prawej stronie jest krótsza; jeśli po jednym kroku zrobiło się gorzej, wróć i spróbuj drugiej.
Nie widzisz żadnej? Spróbuj najpierw przekształcić funkcję podcałkową — rozbić ułamek, użyć tożsamości trygonometrycznej, wyciągnąć stałą przed całkę.

Warto pamiętać, po co to wszystko liczymy: praca zmiennej siły to całka $W = \int F(x)\,dx$ , a jej wynik wychodzi w dżulach — jednostce, którą przelicza konwerter energii.

Zadania

Zestaw miesza trzy umiejętności: podstawienie liniowe (wynik piszesz z dokładnością do stałej, więc samo $+\,C$ możesz pominąć), całkowanie przez części w trzech rodzinach ( $x e^x$ , $x\sin x$ , $\ln x$ ) oraz całkę oznaczoną liczoną podstawieniem, gdzie odpowiedzią jest liczba albo ułamek. Wynik całki nieoznaczonej wpisujesz jako wzór, np. (2x+1)^4/8 albo x*e^x-e^x.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

∫ (2x + 1)³ dx =

Samego wyboru techniki wraz z uzasadnieniem zestaw nie odpytuje: odpowiedzią na takie pytanie jest zdanie, a nie liczba. Ćwiczysz go, czytając cztery punkty powyżej i sprawdzając na każdej całce, który z nich pasuje.

Częste błędy

Zapomniana zmiana granic przy całce oznaczonej — po podstawieniu granice muszą być wartościami $u$ , a nie $x$ ; inaczej liczysz pole nad zupełnie innym przedziałem.
Podstawienie bez pochodnej wewnątrz — jeśli $g'(x)$ nie stoi w całce jako czynnik, po podstawieniu w wyrażeniu zostają dwie zmienne naraz i rachunku nie da się dokończyć.
Brak dzielenia przez $a$ przy podstawieniu liniowym — $\int\cos 5x\,dx$ to $\tfrac{1}{5}\sin 5x + C$ , a nie $\sin 5x + C$ .
Zły wybór $u$ przy częściach — jeśli po pierwszym kroku całka urosła, wybór był odwrotny; wróć i zamień role czynników.
Zgubiony minus we wzorze na części — po członie $uv$ stoi minus, a przy $v = -\cos x$ minusy jeszcze się mnożą, więc to tam błąd znaku zdarza się najczęściej.
Stała całkowania dopisana w środku rachunku — przy całkowaniu przez części $+\,C$ dopisuje się raz, na samym końcu.

Karta wzorów

Temat: Całkowanie przez części i podstawienie

Całkowanie przez części
$\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx$
odwrócenie wzoru na pochodną iloczynu
Przez części, oznaczona
$\int_a^b u\,v'\,dx = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
człon uv liczymy w granicach, reszta zostaje całką
Całkowanie przez podstawienie
$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C$
odwrócenie reguły łańcuchowej
Zmiana granic
$\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$
granice też przechodzą przez podstawienie
Podstawienie liniowe
$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax+b) + C$
najczęstszy przypadek: dzielimy przez a
Całka z eksponenty
$\int e^x\,dx = e^x + C$
potrzebna w przykładach z całkowaniem przez części

Obszar pod krzywą y = (2x + 1)² na przedziale od 0 do 1. Podstawienie u = 2x + 1 zamienia go na obszar z następnego rysunku — kształt się zmienia, pole nie.

Ten sam obszar po podstawieniu u = 2x + 1. Granice przeszły z 0 i 1 na 1 i 3, a funkcja podcałkowa spłaszczyła się do u²/2. Oba pola wynoszą 13/3.

Kwadrat jednostkowy rozcięty krzywą y = x². Pole pod nią wynosi 1/3, pole nad nią — czyli pod krzywą odwrotną y = √x — wynosi 2/3, a razem dają pole kwadratu. To jest wzór na całkowanie przez części zapisany rysunkiem.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min