Pochodna funkcji

Wykres funkcji rzadko jest prostą, więc pytanie „o ile rośnie" nie ma jednej odpowiedzi — w każdym punkcie rośnie inaczej. Pochodna jest narzędziem, które podaje to tempo dla pojedynczego punktu.

Iloraz różnicowy: średnie tempo zmiany

Zacznijmy od czegoś, co umiemy policzyć: nachylenia siecznej, czyli prostej przez dwa punkty wykresu.

Dla $f(x) = x^2$, punktu $x_0 = 1$ i przyrostu $h = 2$:

Ten ułamek nazywamy ilorazem różnicowym. Mówi on jednak tylko o całym odcinku — a nas interesuje tempo dokładnie w punkcie $1$.

Od siecznej do stycznej

Zmniejszajmy więc $h$. Punkt $B$ zsuwa się po krzywej w stronę $A$, a sieczna obraca się wokół $A$:

Liczby zmierzają do $2$ — i to nie jest przypadek, bo iloraz różnicowy daje się uprościć:

Przy $h \to 0$ zostaje samo $2$. Sieczna przestaje być sieczną: dotyka wykresu w jednym punkcie i staje się styczną.

Definicja

Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego przy przyroście dążącym do zera. Zauważ, że dla $h = 0$ ułamek daje $\tfrac{0}{0}$ — bez granicy z poprzedniej lekcji ta definicja nie miałaby sensu.

Trzy odczyty tej samej liczby:

• geometrycznie — współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$;
• fizycznie — prędkość chwilowa, gdy argumentem jest czas, a wartością droga;
• praktycznie — o ile zmieni się wartość, gdy argument urośnie o jednostkę (w przybliżeniu, dla małych przyrostów).

Gdy pytamy o pochodną w każdym punkcie naraz, dostajemy nową funkcję, oznaczaną $f'$ — i to ona jest zwykle celem rachunku.

Reguła potęgi

Liczenie każdej pochodnej z definicji byłoby mordęgą. Na szczęście z definicji wyprowadza się reguły, które potem stosuje się mechanicznie. Najważniejsza z nich:

Wykładnik schodzi przed $x$ i maleje o jeden. Reguła działa dla dowolnego wykładnika — także ułamkowego i ujemnego, co załatwia pierwiastki i odwrotności:

Pochodna stałej jest zerem, bo funkcja stała się nie zmienia — jej wykres jest poziomy, a nachylenie prostej poziomej to $0$.

Stała, suma i wielomian

Dwie reguły, które pozwalają rozbić każdy wielomian na kawałki:

Stały mnożnik przechodzi przez pochodną bez zmian, a sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie. Razem z regułą potęgi daje to przepis na dowolny wielomian:

Każdy wyraz osobno, wyraz wolny znika.

Reguła iloczynu

Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — i warto to sprawdzić na najprostszym przykładzie. Dla $f = g = x$ mamy $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$, podczas gdy iloczyn pochodnych to $1 \cdot 1 = 1$.

Reguła ilorazu

W liczniku jest różnica, więc kolejność ma znaczenie — zamiana wyrazów miejscami zmienia znak całego wyniku. Mianownik podnosimy do kwadratu.

Reguła łańcuchowa

Gdy funkcja jest złożeniem — coś podstawiono do czegoś innego — różniczkujemy funkcję zewnętrzną tak, jakby jej wnętrze było zwykłym $x$, a potem mnożymy przez pochodną wnętrza. To mnożenie jest tym, o czym najłatwiej zapomnieć.

Ćwiczenia

Zadania idą po kolei przez wszystkie reguły z tej lekcji: potęgę o wykładniku niecałkowitym, wielomian, iloczyn, iloraz, złożenie oraz wartość pochodnej w punkcie. W pytaniach o $f'(x)$ odpowiedzią jest funkcja — wpisz ją w dowolnym poprawnym zapisie, bo sprawdzana jest równość funkcji, a nie napisu (6x^2 + 2x - 6 i 6x²+2x−6 przechodzą tak samo). Tylko ostatni typ pytania, o $f'(x_0)$, oczekuje liczby.

Częste błędy

• Pominięcie pochodnej wnętrza — $\big(\sin 3x\big)' = 3\cos 3x$, a nie $\cos 3x$.
• Mnożenie pochodnych zamiast reguły iloczynu — $(fg)' = f'g + fg'$, nigdy $f'g'$.
• Odwrócona kolejność w regule ilorazu — w liczniku najpierw $f'g$, potem odjęte $fg'$.
• Pochodna stałej równa stałej — funkcja stała się nie zmienia, więc jej pochodna to $0$.
• Zgubiony minus przy 1/x i cosinusie — $\left(\tfrac{1}{x}\right)' = -\tfrac{1}{x^2}$, $(\cos x)' = -\sin x$.
• Mylenie f′(x) z f′(x₀) — pierwsze jest funkcją, drugie liczbą: wartością tej funkcji w konkretnym punkcie.