Co dokładnie mierzy pochodna?

Tempo zmiany funkcji w danym punkcie — o ile zmienia się wartość na jednostkę zmiany argumentu. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w tym punkcie. Jeśli argumentem jest czas, a wartością droga, pochodną jest prędkość chwilowa.

Czym różni się iloraz różnicowy od pochodnej?

Iloraz różnicowy to nachylenie siecznej, czyli średnie tempo zmiany na całym odcinku od x₀ do x₀ + h. Pochodna powstaje z niego przez przejście graniczne h → 0: sieczna obraca się wokół punktu i w granicy staje się styczną. Iloraz różnicowy opisuje więc przedział, pochodna — pojedynczy punkt.

Dlaczego pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych?

Bo przy zmianie argumentu zmieniają się oba czynniki naraz, a zmiana iloczynu składa się z dwóch wkładów: zmiany pierwszego przy ustalonym drugim i odwrotnie. Stąd wzór f′g + fg′. Najprostszy kontrprzykład: dla f = g = x mamy (x · x)′ = 2x, podczas gdy iloczyn pochodnych to 1 · 1 = 1.

Czy każda funkcja ma pochodną?

Nie. Pochodna istnieje tam, gdzie granica ilorazu różnicowego istnieje i jest skończona — więc funkcja musi być w tym punkcie ciągła i nie mieć ostrza. Funkcja |x| jest ciągła w zerze, ale z lewej strony jej nachylenie wynosi −1, a z prawej +1, więc pochodnej w zerze nie ma.

Co oznacza, że pochodna w punkcie jest ujemna?

Że funkcja w tym miejscu maleje: przy wzroście argumentu wartość spada, a styczna opada. Pochodna dodatnia oznacza wzrost, a pochodna równa zero — styczną poziomą, czyli kandydata na ekstremum. To spostrzeżenie jest tematem następnej lekcji.

Jak liczyć pochodną pierwiastka i ułamka 1/x?

Zapisując je jako potęgi i stosując tę samą regułę: √x = x^(1/2) daje pochodną ½ · x^(−1/2), czyli 1/(2√x), a 1/x = x^(−1) daje −1 · x^(−2), czyli −1/x². Reguła potęgi działa dla dowolnego wykładnika, nie tylko dla naturalnego.

W jakim zapisie podaje się pochodną?

Najczęściej f′(x) (zapis Lagrange'a) albo dy/dx (zapis Leibniza) — oba znaczą to samo. Sam wynik można zapisać na wiele równoważnych sposobów: 2x + 3, 3 + 2x czy 2(x + 1) + 1 to ta sama funkcja. W zadaniach akceptowany jest każdy poprawny zapis, bo sprawdzamy równość funkcji, a nie napisu.

Poziom zaawansowany

Pochodna funkcji

Q: Jak rozpoznać, że trzeba użyć reguły łańcuchowej?

Po tym, że funkcja jest złożeniem: coś jest podstawione do czegoś innego, na przykład (2x + 1)⁵, √(3x − 4) albo sin(4x). Wtedy różniczkujemy funkcję zewnętrzną tak, jakby jej wnętrze było zwykłym x, i mnożymy wynik przez pochodną wnętrza. Pominięcie tego mnożenia jest najczęstszym błędem w całej lekcji.

Pochodna mierzy tempo zmiany funkcji w punkcie — jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu. Poznaj definicję przez iloraz różnicowy i sześć reguł, którymi liczy się ją bez granic.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Granica funkcjiGranica mówi, do czego zmierzają wartości funkcji, gdy argument zbliża się do danej liczby — nawet wtedy, gdy w samym tym punkcie funkcja nic nie przyjmuje. To pierwsze pojęcie analizy i fundament pochodnej.
PotęgiPotęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika. Poznaj podstawę i wykładnik, prawa działań na potęgach, potęgę iloczynu i ilorazu, wykładnik zerowy i ujemny, monotoniczność potęgowania oraz notację naukową.
Złożenie funkcji i funkcja odwrotnaDwie funkcje ustawione jedna za drugą i jedna funkcja puszczona wstecz. Zobacz, dlaczego f(g(x)) to nie to samo co g(f(x)), jak z monotoniczności składowych wynika monotoniczność złożenia, kiedy funkcję da się odwrócić i dlaczego wykres funkcji odwrotnej jest odbiciem względem prostej y = x.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Prędkość na zegarku biegowym
Zegarek nie ma czujnika prędkości — zna wyłącznie kolejne pozycje z GPS. Prędkość chwilową liczy jako iloraz różnicowy: w ciągu jednej sekundy pozycja przesunęła się o 3,1 m, czyli 3,1 m/s, po przeliczeniu 11,2 km/h i tempo 5:23 min/km. Im krótszy przedział, tym bliżej wartości „tu i teraz”, i dokładnie ta granica przy h dążącym do zera jest definicją pochodnej — a Ty widzisz jej wynik na nadgarstku co sekundę.
Przelicz w konwerterze: Prędkość
Koszt krańcowy w produkcji
Koszt wytworzenia x sztuk to K(x) = 0,02x² + 18x + 4000 zł. Pochodna K′(x) = 0,04x + 18 mówi, ile kosztuje jedna sztuka więcej: przy 500 sztukach 38 zł, przy 1500 już 78 zł. To nie jest to samo co koszt średni, który przy 500 sztukach wynosi 18 000/500 = 36 zł — i to pochodna, a nie średnia, rozstrzyga, czy przyjąć dodatkowe zamówienie po 45 zł za sztukę.
Wrażliwość raty kredytu
Rata kredytu 300 000 zł na 25 lat przy oprocentowaniu 6% wynosi 1933 zł, a przy 7% — 2120 zł. Pochodna raty względem stopy procentowej to w okolicy 6% około 187 zł na punkt procentowy. Ta jedna liczba mówi, ile kosztuje każdy ruch stóp, zanim on nastąpi, i jest sensowniejszym testem zdolności kredytowej niż sama wysokość dzisiejszej raty.

Wszystkie wzory

Definicja pochodnej
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost maleje do zera
Reguła potęgi
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
wykładnik schodzi przed x i maleje o jeden
Stała i suma
$(c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'$
stałą przepisujemy, sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie
Reguła iloczynu
$(f \cdot g)' = f' g + f g'$
pochodna iloczynu NIE jest iloczynem pochodnych
Reguła ilorazu
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$
w liczniku różnica — kolejność ma znaczenie
Reguła łańcuchowa
$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
pochodna zewnętrznej razy pochodna wewnętrznej
Pierwiastek i odwrotność
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$
ta sama reguła potęgi dla wykładników ½ oraz −1
Funkcje trygonometryczne
$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x$
przy cosinusie pojawia się minus

Wykres funkcji rzadko jest prostą, więc pytanie „o ile rośnie" nie ma jednej odpowiedzi — w każdym punkcie rośnie inaczej. Pochodna jest narzędziem, które podaje to tempo dla pojedynczego punktu.

Iloraz różnicowy: średnie tempo zmiany

Zacznijmy od czegoś, co umiemy policzyć: nachylenia siecznej, czyli prostej przez dwa punkty wykresu.

Sieczna przez A(1, 1) i B(3, 9). Na odcinku od 1 do 3 wartość urosła o 8 przy przyroście argumentu o 2, więc średnie tempo zmiany wynosi 4.

Dla $f(x) = x^2$ , punktu $x_0 = 1$ i przyrostu $h = 2$ :

\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{9 - 1}{2} = 4

Ten ułamek nazywamy ilorazem różnicowym. Mówi on jednak tylko o całym odcinku — a nas interesuje tempo dokładnie w punkcie $1$ .

Od siecznej do stycznej

Zmniejszajmy więc $h$ . Punkt $B$ zsuwa się po krzywej w stronę $A$ , a sieczna obraca się wokół $A$ :

$h$	punkt $B$	iloraz różnicowy
$2$	$(3, 9)$	$4$
$1$	$(2, 4)$	$3$
$0{,}5$	$(1{,}5;\ 2{,}25)$	$2{,}5$
$0{,}1$	$(1{,}1;\ 1{,}21)$	$2{,}1$
$0{,}01$	$(1{,}01;\ 1{,}0201)$	$2{,}01$

Liczby zmierzają do $2$ — i to nie jest przypadek, bo iloraz różnicowy daje się uprościć:

\frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h

Przy $h \to 0$ zostaje samo $2$ . Sieczna przestaje być sieczną: dotyka wykresu w jednym punkcie i staje się styczną.

Granica siecznych: styczna do paraboli w punkcie (1, 1). Jej współczynnik kierunkowy wynosi 2 — tyle właśnie jest równa pochodna w tym punkcie.

Definicja

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego przy przyroście dążącym do zera. Zauważ, że dla $h = 0$ ułamek daje $\tfrac{0}{0}$ — bez granicy z poprzedniej lekcji ta definicja nie miałaby sensu.

Trzy odczyty tej samej liczby:

geometrycznie — współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$ ;
fizycznie — prędkość chwilowa, gdy argumentem jest czas, a wartością droga;
praktycznie — o ile zmieni się wartość, gdy argument urośnie o jednostkę (w przybliżeniu, dla małych przyrostów).

Gdy pytamy o pochodną w każdym punkcie naraz, dostajemy nową funkcję, oznaczaną $f'$ — i to ona jest zwykle celem rachunku.

Policz z definicji pochodną funkcji f(x) = x² + 3x w dowolnym punkcie x.

Reguła potęgi

Liczenie każdej pochodnej z definicji byłoby mordęgą. Na szczęście z definicji wyprowadza się reguły, które potem stosuje się mechanicznie. Najważniejsza z nich:

(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Wykładnik schodzi przed $x$ i maleje o jeden. Reguła działa dla dowolnego wykładnika — także ułamkowego i ujemnego, co załatwia pierwiastki i odwrotności:

funkcja	zapis potęgowy	pochodna
$c$ (stała)	$c \cdot x^0$	$0$
$x$	$x^1$	$1$
$x^3$	$x^3$	$3x^2$
$\sqrt{x}$	$x^{1/2}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$x^{-1}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$x^{-2}$	$-\dfrac{2}{x^3}$
$\sin x$	—	$\cos x$
$\cos x$	—	$-\sin x$

Pochodna stałej jest zerem, bo funkcja stała się nie zmienia — jej wykres jest poziomy, a nachylenie prostej poziomej to $0$ .

Stała, suma i wielomian

Dwie reguły, które pozwalają rozbić każdy wielomian na kawałki:

(c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'

Stały mnożnik przechodzi przez pochodną bez zmian, a sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie. Razem z regułą potęgi daje to przepis na dowolny wielomian:

(4x^3 - 5x^2 + 7x - 9)' = 12x^2 - 10x + 7

Każdy wyraz osobno, wyraz wolny znika.

Reguła iloczynu

(f \cdot g)' = f' g + f g'

Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — i warto to sprawdzić na najprostszym przykładzie. Dla $f = g = x$ mamy $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$ , podczas gdy iloczyn pochodnych to $1 \cdot 1 = 1$ .

Policz pochodną funkcji f(x) = (2x + 1)(x² − 3).

Reguła ilorazu

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

W liczniku jest różnica, więc kolejność ma znaczenie — zamiana wyrazów miejscami zmienia znak całego wyniku. Mianownik podnosimy do kwadratu.

Policz pochodną funkcji f(x) = (3x + 2)/(x − 4).

Reguła łańcuchowa

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Gdy funkcja jest złożeniem — coś podstawiono do czegoś innego — różniczkujemy funkcję zewnętrzną tak, jakby jej wnętrze było zwykłym $x$ , a potem mnożymy przez pochodną wnętrza. To mnożenie jest tym, o czym najłatwiej zapomnieć.

\big((2x + 1)^5\big)' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4

\big(\sin 3x\big)' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x

\big(\sqrt{4x + 5}\big)' = \frac{1}{2\sqrt{4x + 5}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 5}}

Policz pochodną funkcji f(x) = (x² − 3)⁴ i wskaż, gdzie w wyniku widać pochodną wnętrza.

Ćwiczenia

Zadania idą po kolei przez wszystkie reguły z tej lekcji: potęgę o wykładniku niecałkowitym, wielomian, iloczyn, iloraz, złożenie oraz wartość pochodnej w punkcie. W pytaniach o $f'(x)$ odpowiedzią jest funkcja — wpisz ją w dowolnym poprawnym zapisie, bo sprawdzana jest równość funkcji, a nie napisu (6x^2 + 2x - 6 i 6x²+2x−6 przechodzą tak samo). Tylko ostatni typ pytania, o $f'(x_0)$ , oczekuje liczby.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

f(x) = 2/x → f′(x)

Częste błędy

Pominięcie pochodnej wnętrza — $\big(\sin 3x\big)' = 3\cos 3x$ , a nie $\cos 3x$ .
Mnożenie pochodnych zamiast reguły iloczynu — $(fg)' = f'g + fg'$ , nigdy $f'g'$ .
Odwrócona kolejność w regule ilorazu — w liczniku najpierw $f'g$ , potem odjęte $fg'$ .
Pochodna stałej równa stałej — funkcja stała się nie zmienia, więc jej pochodna to $0$ .
Zgubiony minus przy 1/x i cosinusie — $\left(\tfrac{1}{x}\right)' = -\tfrac{1}{x^2}$ , $(\cos x)' = -\sin x$ .
Mylenie f′(x) z f′(x₀) — pierwsze jest funkcją, drugie liczbą: wartością tej funkcji w konkretnym punkcie.

Karta wzorów

Temat: Pochodna funkcji

Definicja pochodnej
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost maleje do zera
Reguła potęgi
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
wykładnik schodzi przed x i maleje o jeden
Stała i suma
$(c \cdot f)' = c \cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g'$
stałą przepisujemy, sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie
Reguła iloczynu
$(f \cdot g)' = f' g + f g'$
pochodna iloczynu NIE jest iloczynem pochodnych
Reguła ilorazu
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$
w liczniku różnica — kolejność ma znaczenie
Reguła łańcuchowa
$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
pochodna zewnętrznej razy pochodna wewnętrznej
Pierwiastek i odwrotność
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$
ta sama reguła potęgi dla wykładników ½ oraz −1
Funkcje trygonometryczne
$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x$
przy cosinusie pojawia się minus

Sieczna przez punkty A(1, 1) i B(3, 9) paraboli y = x². Jej nachylenie 4 to iloraz różnicowy — średnie tempo zmiany na odcinku od 1 do 3.

Styczna do paraboli y = x² w punkcie (1, 1). Jej nachylenie 2 to wartość pochodnej: f′(1) = 2.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min