Złożenie funkcji i funkcja odwrotna

Automat do kawy działa dwuetapowo: najpierw mieli ziarna, potem parzy. Wsyp ziarno, dostaniesz napój — ale kolejności nie da się zamienić i nie da się z kubka odzyskać ziaren. Składanie funkcji i funkcja odwrotna to dokładnie te dwa pytania.

Złożenie funkcji

Wynik jednej funkcji może być argumentem drugiej:

Zapis czyta się od środka: najpierw działa $g$, potem $f$. Funkcję $g$ nazywamy wewnętrzną, a $f$ — zewnętrzną.

Wzór złożenia

Zamiast liczyć punkt po punkcie, można podstawić całą funkcję wewnętrzną w miejsce argumentu:

Dwa różne wielomiany — i to jest formalne potwierdzenie, że składanie nie jest przemienne:

Reguła łańcuchowa z lekcji o pochodnej różniczkuje właśnie takie wyrażenia — i dopiero teraz wiadomo, czym one są.

Dziedzina złożenia

To miejsce, w którym najłatwiej o błąd. Do dziedziny $f \circ g$ należą te argumenty $x$, dla których:

1. $x$ należy do dziedziny $g$, oraz
2. wartość $g(x)$ należy do dziedziny $f$.

Drugi warunek potrafi zawęzić dziedzinę mocno. Dla $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = x - 3$ funkcja $g$ jest określona wszędzie, ale złożenie $\sqrt{x-3}$ wymaga $x - 3 \ge 0$, więc dziedziną jest $\langle 3;\, \infty)$.

Monotoniczność złożenia

Złożenie dziedziczy monotoniczność po składowych — i dowód jest krótki, bo cały mieści się w definicji.

Twierdzenie. Jeżeli $g$ jest rosnąca i $f$ jest rosnąca, to $f \circ g$ jest rosnąca.

Dowód. Weźmy dowolne $x_1 < x_2$ z dziedziny złożenia.

Nierówność między argumentami przeszła nietknięta przez obie funkcje, czyli $(f \circ g)(x_1) < (f \circ g)(x_2)$. To jest dokładnie definicja funkcji rosnącej. $\blacksquare$

Ten sam schemat, prowadzony z odwróconymi nierównościami, daje pozostałe trzy przypadki:

Ostatni wiersz zaskakuje, ale działa jak mnożenie liczb ujemnych: dwa odwrócenia znoszą się nawzajem.

Funkcja różnowartościowa

Żeby funkcję dało się cofnąć, każda wartość musi pochodzić od dokładnie jednego argumentu:

Taką funkcję nazywamy różnowartościową. Na wykresie sprawdza się to testem prostej poziomej: jeśli jakakolwiek pozioma prosta przecina wykres więcej niż raz, funkcja różnowartościowa nie jest.

Funkcja $y = x^2$ na całej prostej testu nie przechodzi — prosta $y = 4$ trafia w nią dwa razy. Każda funkcja ściśle monotoniczna przechodzi go zawsze, bo raz obrany kierunek już się nie zmienia.

Funkcja odwrotna

Dla funkcji różnowartościowej istnieje funkcja $f^{-1}$, która cofa działanie $f$:

Dziedzina i zbiór wartości zamieniają się przy tym rolami: to, co było wyjściem, staje się wejściem.

Uwaga na zapis. $f^{-1}$ nie oznacza $\tfrac{1}{f}$. Dla $f(x) = 2x$ mamy $f^{-1}(x) = \tfrac{x}{2}$, a $\tfrac{1}{f(x)} = \tfrac{1}{2x}$ — dwie zupełnie różne funkcje.

Jak wyznaczyć wzór

Trzy kroki, zawsze te same:

1. zapisz $y = f(x)$;
2. wyznacz $x$ z tego równania;
3. zamień nazwy zmiennych.

Wykres

Skoro $f$ przypisuje $a \mapsto b$, to $f^{-1}$ przypisuje $b \mapsto a$. Punkt $(a;\, b)$ przechodzi więc na $(b;\, a)$, a zamiana współrzędnych to odbicie względem prostej $y = x$.

Kiedy trzeba zawęzić dziedzinę

Funkcja, która testu prostej poziomej nie przechodzi, wcale nie jest stracona — wystarczy odciąć jej część.

Ten sam zabieg stoi za trzema innymi parami, które już znasz albo poznasz:

• $y = x^2$ dla $x \ge 0$ i pierwiastek $y = \sqrt{x}$;
• $y = b^x$ i logarytm $y = \log_b x$ — tu zawężenie nie jest potrzebne, bo funkcja wykładnicza jest różnowartościowa na całej prostej;
• $y = \sin x$ zawężony do $\left\langle -\tfrac{\pi}{2};\, \tfrac{\pi}{2} \right\rangle$ i funkcje cyklometryczne, czyli arcus sinus i jego rodzeństwo.

Ostatni przypadek jest najlepszym sprawdzianem tej lekcji: sinus powtarza się co $2\pi$, więc równanie $\sin x = \tfrac{1}{2}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dopiero zawężenie dziedziny do jednego pełnego przebiegu sprawia, że funkcja jest różnowartościowa i można ją odwrócić — a wykres $\arcsin$ jest odbiciem tego zawężonego sinusa względem prostej $y = x$, dokładnie tak jak na rysunku wyżej.

Zadania

Zestaw sprawdza cztery umiejętności: wartość złożenia $f(g(x))$ w punkcie (licz od środka), wzór złożenia po podstawieniu, wzór funkcji odwrotnej oraz jej wartość w punkcie — tę ostatnią da się policzyć bez wyznaczania wzoru, wystarczy zapytać „dla którego $x$ funkcja daje tę wartość". Wzory wpisujesz w dowolnej równoważnej postaci: (x−3)/2 i 0,5x−1,5 są przyjmowane tak samo. Dowód monotoniczności złożenia zostaje przy twierdzeniu powyżej — jego odpowiedzią jest ciąg rozumowania, a nie liczba.

Częste błędy

• Czytanie $f(g(x))$ od lewej — zawsze zaczyna się od funkcji wewnętrznej, czyli od $g$.
• Zakładanie przemienności — $f \circ g$ i $g \circ f$ to na ogół dwie różne funkcje.
• Pomijanie dziedziny złożenia — samo „$g$ jest określone wszędzie" nie wystarcza; wartość $g(x)$ musi trafić w dziedzinę $f$.
• Traktowanie $f^{-1}$ jak $\tfrac{1}{f}$ — to funkcja odwrotna, nie odwrotność liczby.
• Odwracanie funkcji, która nie jest różnowartościowa — bez zawężenia dziedziny funkcja odwrotna nie istnieje.
• Zapominanie o trzecim kroku — po wyznaczeniu $x$ trzeba zamienić nazwy zmiennych, żeby argument znów nazywał się $x$.