Co to znaczy, że ciąg ma granicę?

Że jego wyrazy zbliżają się do jednej liczby g dowolnie blisko i już przy niej zostają. Ściśle: dla każdego, choćby najmniejszego epsilon większego od zera można wskazać taki numer N, że wszystkie wyrazy o numerach większych niż N różnią się od g o mniej niż epsilon. Taki ciąg nazywamy zbieżnym i piszemy, że jego granicą jest g.

Czym różni się ciąg zbieżny od rozbieżnego?

Zbieżny ma granicę będącą liczbą. Rozbieżny jej nie ma — albo rośnie nieograniczenie, jak aₙ = n², albo maleje nieograniczenie, albo w ogóle nie zmierza do niczego, jak aₙ = (−1)ⁿ skaczący między −1 a 1. Zapis, że granica wynosi nieskończoność, mówi o sposobie rozbieżności, a nie o tym, że granica istnieje.

Czy wyrazy ciągu muszą osiągnąć granicę?

Nie i najczęściej jej nie osiągają. Ciąg aₙ = 1/n ma granicę 0, ale żaden jego wyraz nie jest zerem. Granica to liczba, do której wyrazy się zbliżają, a nie liczba, którą przyjmują.

Jak obliczyć granicę ilorazu dwóch wielomianów?

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n występującą w mianowniku, a potem skorzystaj z tego, że każdy składnik z n w mianowniku dąży do zera. Wynik zależy od stopni: przy równych stopniach granicą jest iloraz współczynników wiodących, przy niższym stopniu licznika — zero, przy wyższym — ciąg jest rozbieżny.

Kiedy szereg geometryczny ma sumę?

Dokładnie wtedy, gdy wartość bezwzględna ilorazu jest mniejsza od 1. Wtedy q do potęgi n dąży do zera, sumy częściowe zbliżają się do a₁/(1 − q) i tę liczbę nazywamy sumą szeregu. Dla |q| większego lub równego 1 sumy częściowe nie zbiegają do żadnej liczby i suma nie istnieje.

Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?

Potraktować rozwinięcie jako szereg geometryczny. Zapis 0,(3) to 0,3 + 0,03 + 0,003 + …, czyli szereg o a₁ = 0,3 i q = 0,1, więc jego suma wynosi 0,3/(1 − 0,1) = 3/9 = 1/3. Ta sama droga daje 0,(12) = 12/99 = 4/33, a w skrócie: okres w liczniku, tyle dziewiątek w mianowniku, ile cyfr ma okres.

Czy 0,(9) naprawdę równa się 1?

Tak, i nie jest to przybliżenie. Szereg 0,9 + 0,09 + 0,009 + … ma a₁ = 0,9 i q = 0,1, więc jego suma to 0,9/(1 − 0,1) = 0,9/0,9 = 1. Zapisy 0,(9) i 1 są dwiema nazwami tej samej liczby, tak jak 1/2 i 0,5.

Poziom zaawansowany

Granica ciągu i szereg geometryczny

Q: Skąd bierze się liczba e?

Jest granicą ciągu (1 + 1/n) do potęgi n, a więc definiuje ją właśnie granica, a nie żaden skończony wzór. Kolejne wyrazy to 2, 2,25, 2,37, 2,44 i tak dalej, zbieżne do 2,718281828… Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego i opisuje kapitalizację ciągłą, czyli procent składany naliczany w każdej chwili.

Nieskończenie wiele składników, a suma skończona — o ile iloraz jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od jedynki. Zobacz, co dokładnie znaczy, że ciąg dąży do granicy, jak liczy się granice ilorazu wielomianów, skąd bierze się liczba e i dlaczego 0,(3) to naprawdę jedna trzecia.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Odbicia piłki
Piłka spuszczona z wysokości 2 m po każdym odbiciu wraca na 60% poprzedniej wysokości. Wysokości odbić tworzą ciąg geometryczny o q = 0,6, a cała przebyta droga to 2 + 2 · (1,2 + 0,72 + 0,432 + …) = 2 + 2 · 1,2/(1 − 0,6) = 8 metrów. Odbić jest nieskończenie wiele, a droga — skończona, i to jest dokładnie sytuacja, którą opisuje szereg zbieżny.
Efekt mnożnikowy w gospodarce
Państwo wydaje 1 mld zł na inwestycję. Odbiorcy tych pieniędzy wydają dalej 80% tego, co dostali, kolejni znów 80% — powstaje szereg geometryczny o q = 0,8. Ekonomista sumuje go wzorem 1/(1 − 0,8) = 5, więc łączny wzrost popytu wynosi 5 mld zł, pięć razy więcej niż wydatek początkowy. Przy skłonności do konsumpcji 0,5 mnożnik spadłby do 2.
Metoda kolejnych przybliżeń
Kalkulator nie ma osobnego układu na pierwiastek: liczy go ciągiem aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2, zbieżnym do √2. Startując z a₁ = 2 dostajemy 1,5, potem 1,41666, potem 1,4142157 — po czterech krokach zgadza się już sześć cyfr po przecinku. Programista przerywa iterację, gdy |aₙ₊₁ − aₙ| spadnie poniżej zadanego epsilona, czyli dokładnie tak, jak mówi definicja granicy.
Fraktal w grafice
Płatek Kocha powstaje przez wielokrotne zastępowanie każdego boku czterema krótszymi. Obwód mnoży się za każdym razem przez 4/3, więc rośnie nieograniczenie — ciąg rozbieżny. Pole natomiast jest sumą szeregu zbieżnego i zatrzymuje się na 8/5 pola trójkąta wyjściowego, czyli 1,6-krotności. Grafik może więc renderować figurę o nieskończonym obwodzie i skończonej powierzchni.

Wszystkie wzory

Granica ciągu
$\lim_{n \to \infty} a_n = g$
ciąg zbieżny do liczby g
Definicja granicy
$\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists N \;\; \forall n > N : \; |a_n - g| < \varepsilon$
od pewnego miejsca wszystkie wyrazy leżą bliżej g niż epsilon
Granica podstawowa
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
z niej wyprowadza się granice ilorazów
Iloraz wielomianów
$\lim_{n \to \infty} \frac{a n^k + \ldots}{b n^k + \ldots} = \frac{a}{b}$
przy równych stopniach — iloraz współczynników wiodących
Liczba e
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}718281828$
granica, która jest definicją stałej
Suma szeregu geometrycznego
$S = \frac{a_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1$
tylko dla zbieżnego — poza tym suma nie istnieje

Nieskończenie wiele składników i skończona suma — brzmi jak sprzeczność, a jest zwykłym rachunkiem. Wszystko, czego do niego potrzeba, to jedno pojęcie: granica.

Ciąg zbieżny i ciąg rozbieżny

Popatrz na ciąg $a_n = 2 + \frac{1}{n}$ :

3, \quad 2{,}5, \quad 2{,}\overline{3}, \quad 2{,}25, \quad 2{,}2, \quad \ldots

Wyrazy schodzą coraz niżej, ale nigdy nie spadają poniżej $2$ — i nigdy tej dwójki nie osiągają. Mimo to mówimy, że dążą do $2$ .

Ciąg a(n) = 2 + 1/n i jego granica. Punkty schodzą do linii pomocniczej, nie dotykając jej — granica to liczba, do której wyrazy się zbliżają, a nie liczba, którą przyjmują.

Definicja

Zdanie „zbliżają się dowolnie blisko" trzeba zapisać tak, żeby dało się je sprawdzić. Robi to definicja:

\lim_{n \to \infty} a_n = g \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \;\; \exists N \;\; \forall n > N : \; |a_n - g| < \varepsilon

Czytana po ludzku brzmi tak: wybierz dowolnie mały promień $\varepsilon$ wokół liczby $g$ ; od pewnego numeru $N$ wszystkie dalsze wyrazy leżą już wewnątrz tego promienia. Poza nim może zostać co najwyżej skończenie wiele wyrazów początkowych.

Sprawdźmy to na naszym ciągu. Dla $\varepsilon = 0{,}01$ szukamy $N$ , po którym $|a_n - 2| = \frac{1}{n} < 0{,}01$ :

\frac{1}{n} < 0{,}01 \quad \Longleftrightarrow \quad n > 100

Wystarczy $N = 100$ . Dla $\varepsilon = 0{,}0001$ wyjdzie $N = 10\,000$ — i tak dla każdego $\varepsilon$ , choćby najmniejszego. To jest właśnie dowód, że granicą jest $2$ .

Ciąg, który ma granicę będącą liczbą, nazywamy zbieżnym. Każdy inny jest rozbieżny, przy czym rozbieżność ma trzy różne twarze:

ciąg	zachowanie	zapis
$a_n = 2 + \frac{1}{n}$	zbieżny do $2$	$\lim a_n = 2$
$a_n = n^2$	rośnie nieograniczenie	$\lim a_n = +\infty$
$a_n = (-1)^n$	skacze między $-1$ a $1$	granica nie istnieje

Zapis $\lim a_n = +\infty$ jest wygodnym skrótem opisującym sposób rozbieżności. Nieskończoność nie jest liczbą, więc taki ciąg nie jest zbieżny — mimo znaku równości.

Granice ilorazu wielomianów

Najczęstszy rachunek w tym temacie. Podstawowa granica, z której wszystko wynika, to

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

a wraz z nią $\frac{1}{n^2} \to 0$ , $\frac{1}{n^3} \to 0$ i tak dalej. Cała procedura sprowadza się do jednego ruchu: podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika.

Oblicz granicę ciągu aₙ = (3n² + 5n − 1)/(2n² + 7).

Wynik zależy wyłącznie od stopni obu wielomianów:

równe stopnie — granicą jest iloraz współczynników wiodących;
stopień licznika niższy — granicą jest $0$ , bo mianownik rośnie szybciej;
stopień licznika wyższy — ciąg jest rozbieżny do $+\infty$ albo $-\infty$ .

Oblicz granicę ciągu aₙ = (4n + 3)/(n² − 2).

Ta sama arytmetyka wraca później przy granicy funkcji w nieskończoności. Różnica jest w obiekcie, nie w rachunku: tam argument przebiega wszystkie liczby rzeczywiste, tutaj — tylko naturalne.

Liczba e

Jedna granica zasługuje na osobne miejsce, bo definiuje stałą:

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Wygląda niewinnie: podstawa dąży do $1$ , wykładnik do nieskończoności. Gdyby liczyć osobno, wyszłoby $1$ do potęgi nieskończonej — a to nie jest żaden wynik, tylko symbol nieoznaczony. Trzeba liczyć całość naraz:

$n$	$10$	$100$	$1000$	$100\,000$
$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$	$2{,}5937$	$2{,}7048$	$2{,}7169$	$2{,}71827$

e \approx 2{,}718281828

Liczba $e$ jest podstawą logarytmu naturalnego, a w finansach opisuje kapitalizację ciągłą — sytuację, w której odsetki dopisuje się nie co rok, lecz w każdej chwili.

Szereg geometryczny

Szereg to suma wszystkich wyrazów ciągu. Weźmy ciąg geometryczny o $a_1 = 1$ i $q = \frac{1}{2}$ i dodawajmy jego wyrazy po kolei:

S_1 = 1, \quad S_2 = 1{,}5, \quad S_3 = 1{,}75, \quad S_4 = 1{,}875, \quad S_5 = 1{,}9375, \; \ldots

Sumy częściowe szeregu 1 + 1/2 + 1/4 + … Każdy krok dokłada połowę tego, czego brakuje do 2, więc ciąg sum jest zbieżny.

Ciąg sum częściowych jest zbieżny do $2$ — i tę granicę nazywamy sumą szeregu.

Skąd bierze się wzór

Wystarczy wziąć wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów i przejść z $n$ do nieskończoności:

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}

Dla $|q| < 1$ potęga $q^n$ dąży do zera — bo mnożenie przez ułamek mniejszy od jedynki zmniejsza liczbę na każdym kroku. Zostaje:

S = \frac{a_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1

Warunek $|q| < 1$ jest częścią wzoru, a nie przypisem. Dla $q = 2$ sumy częściowe $1, 3, 7, 15, \ldots$ rosną nieograniczenie, a wzór dałby $\frac{1}{1-2} = -1$ — liczbę ujemną jako sumę samych dodatnich składników. Wzór wolno zastosować dopiero po sprawdzeniu warunku.

Oblicz sumę szeregu geometrycznego o a₁ = 6 i q = 1/3.

Ułamek okresowy to szereg

Rozwinięcie $0{,}(3)$ nie jest żadnym „prawie" — jest sumą szeregu:

0{,}(3) = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots

To szereg geometryczny o $a_1 = 0{,}3$ i $q = 0{,}1$ , a ponieważ $|0{,}1| < 1$ , ma sumę:

S = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}3}{0{,}9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Tak samo liczy się każdy inny okres — dla $0{,}(12)$ pierwszym wyrazem jest $0{,}12$ , a ilorazem $0{,}01$ :

S = \frac{0{,}12}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}12}{0{,}99} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

Stąd szkolny skrót: okres do licznika, tyle dziewiątek do mianownika, ile cyfr ma okres. Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły przestaje być regułą do zapamiętania, a staje się rachunkiem, który można wyprowadzić.

Ten sam rachunek rozstrzyga najsłynniejszy spór szkolnej matematyki:

0{,}(9) = \frac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}9}{0{,}9} = 1

$0{,}(9)$ i $1$ to dwa zapisy tej samej liczby — nie dwie liczby leżące bardzo blisko siebie.

Zadania

Zestaw sprawdza dwa rachunki: granicę ilorazu wielomianów (podziel przez najwyższą potęgę) i sumę zbieżnego szeregu geometrycznego (najpierw warunek $|q| < 1$ , potem wzór). Odpowiedzią bywa ułamek — wpisz go wtedy w postaci 3/4; równoważne zapisy tej samej liczby są przyjmowane. Ciągi rozbieżne i granice nieskończone zostają przy przykładach powyżej, bo ich odpowiedzią jest symbol, a nie liczba.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

lim(n → ∞) (n + 2)/(4n + 5) =

Częste błędy

Traktowanie $\infty$ jak liczby — zapis $\lim a_n = +\infty$ mówi, w jaki sposób ciąg jest rozbieżny, a nie że ma granicę.
Sumowanie szeregu bez sprawdzenia $|q| < 1$ — dla $q = 2$ wzór wydaje liczbę, która nie jest sumą niczego.
Uznanie, że wyrazy muszą osiągnąć granicę — ciąg $\frac{1}{n}$ ma granicę $0$ , choć żaden jego wyraz nie jest zerem.
Skracanie $\frac{n^2}{n^3}$ do jedynki — po podzieleniu przez $n^3$ zostaje $\frac{1}{n}$ , które dąży do zera.
Wyliczenie $1^\infty$ jako $1$ — to symbol nieoznaczony; granica ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ wynosi $e$ , a nie $1$ .
Zapis $0{,}(9) \approx 1$ — tu nie ma przybliżenia, obie postacie oznaczają tę samą liczbę.

Karta wzorów

Temat: Granica ciągu i szereg geometryczny

Granica ciągu
$\lim_{n \to \infty} a_n = g$
ciąg zbieżny do liczby g
Definicja granicy
$\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists N \;\; \forall n > N : \; |a_n - g| < \varepsilon$
od pewnego miejsca wszystkie wyrazy leżą bliżej g niż epsilon
Granica podstawowa
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
z niej wyprowadza się granice ilorazów
Iloraz wielomianów
$\lim_{n \to \infty} \frac{a n^k + \ldots}{b n^k + \ldots} = \frac{a}{b}$
przy równych stopniach — iloraz współczynników wiodących
Liczba e
$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}718281828$
granica, która jest definicją stałej
Suma szeregu geometrycznego
$S = \frac{a_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1$
tylko dla zbieżnego — poza tym suma nie istnieje

Ciąg a(n) = 2 + 1/n zbliża się do 2, nigdy jej nie osiągając. Pozioma linia pomocnicza to granica: od pewnego miejsca wszystkie punkty leżą już dowolnie blisko niej.

Sumy częściowe szeregu 1 + 1/2 + 1/4 + … Każda kolejna dokłada połowę tego, czego brakuje do 2 — i dlatego nieskończenie wiele składników daje sumę skończoną.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min