Czym jest ciąg arytmetyczny?

To ciąg, w którym różnica dwóch sąsiednich wyrazów jest stała i nazywa się różnicą ciągu, oznaczaną r. Wyrazy powstają przez dodawanie tej samej liczby: 3, 7, 11, 15 to ciąg arytmetyczny o r = 4. Jego n-ty wyraz opisuje wzór aₙ = a₁ + (n − 1)r.

Czym jest ciąg geometryczny?

To ciąg, w którym iloraz dwóch sąsiednich wyrazów jest stały i nazywa się ilorazem ciągu, oznaczanym q. Wyrazy powstają przez mnożenie przez tę samą liczbę: 3, 6, 12, 24 to ciąg geometryczny o q = 2. Jego n-ty wyraz opisuje wzór aₙ = a₁ · q do potęgi n − 1.

Dlaczego we wzorze na n-ty wyraz jest n − 1, a nie n?

Bo od wyrazu pierwszego do n-tego wykonuje się o jeden krok mniej, niż wynosi numer. Do a₄ dochodzi się trzema krokami, nie czterema. Ta sama poprawka siedzi w wykładniku wzoru geometrycznego: a₄ = a₁ · q³.

Jak obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego?

Wzorem Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n, czyli średnia z wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożona przez liczbę wyrazów. Jeżeli ostatni wyraz nie jest znany, podstaw go ze wzoru ogólnego — wychodzi wtedy Sₙ = (2a₁ + (n − 1)r) / 2 · n.

Jak obliczyć sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego?

Dla q różnego od 1 wzorem Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1). Gdy q = 1, ciąg jest stały i suma to zwyczajnie n · a₁ — dzielenie przez q − 1 byłoby wtedy dzieleniem przez zero, dlatego ten przypadek zawsze wymienia się osobno.

Co to znaczy, że wyraz jest średnią sąsiadów?

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz poza pierwszym jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. W geometrycznym zachodzi odpowiednik z mnożeniem: aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁. Obie własności służą do wstawiania brakującego wyrazu między dwa dane.

Czy iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny?

Tak — wtedy wyrazy na przemian zmieniają znak, jak w ciągu 2, −4, 8, −16 o q = −2. Nie może natomiast być zerem, bo dalsze wyrazy byłyby zerami i iloraz przestałby istnieć; z tego samego powodu żaden wyraz ciągu geometrycznego nie jest zerem.

Dlaczego procent składany jest ciągiem geometrycznym?

Bo po każdym okresie kapitał mnoży się przez ten sam czynnik 1 + p, gdzie p to stopa w postaci ułamka. Stan konta po kolejnych latach to więc a₁, a₁(1 + p), a₁(1 + p)², czyli ciąg geometryczny o ilorazie 1 + p. Odsetki proste dawałyby ciąg arytmetyczny — i po kilku latach wyraźnie mniej pieniędzy.

Poziom średni

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Dwa ciągi, które opisują niemal wszystko, co rośnie regularnie: jeden dodaje stale tyle samo, drugi stale tyle samo razy mnoży. Poznaj wzory na n-ty wyraz i na sumę początkowych wyrazów obu, własność średniej i powód, dla którego lokata bankowa jest ciągiem geometrycznym.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Ciągi liczboweCiąg to funkcja, która każdej liczbie naturalnej przypisuje liczbę — i właśnie dlatego jego wykres składa się z osobnych punktów, a nie z krzywej. Zobacz, jak działa wzór ogólny, czym różni się od niego wzór rekurencyjny i jak jednym odejmowaniem sprawdzić, czy ciąg rośnie.
PotęgiPotęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika. Poznaj podstawę i wykładnik, prawa działań na potęgach, potęgę iloczynu i ilorazu, wykładnik zerowy i ujemny, monotoniczność potęgowania oraz notację naukową.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Lokata bankowa
Wpłacasz 10 000 zł na lokatę oprocentowaną 4% rocznie z kapitalizacją roczną. Stan konta po kolejnych latach to ciąg geometryczny o ilorazie q = 1,04: po pięciu latach masz 10 000 · 1,04⁵ = 12 166,53 zł, czyli 2 166,53 zł odsetek — o 166,53 zł więcej, niż dałoby proste dodawanie 400 zł rocznie. Ta nadwyżka to właśnie odsetki od odsetek.
Zobacz lekcję: Procent składany
Widownia amfiteatru
Architekt projektuje widownię: w pierwszym rzędzie 14 miejsc, w każdym kolejnym o 3 więcej. To ciąg arytmetyczny o r = 3, więc w rzędzie dwunastym jest 14 + 11 · 3 = 47 miejsc, a cała widownia liczy S₁₂ = (14 + 47) / 2 · 12 = 366 miejsc. Dołożenie trzynastego rzędu to od razu 50 miejsc więcej — dlatego pojemność widowni rośnie szybciej niż liczba rzędów.
Kredyt z ratą malejącą
Kredyt 240 000 zł spłacany w 240 ratach kapitałowych po 1 000 zł, oprocentowanie 6% rocznie, czyli 0,5% miesięcznie. Pierwsza rata to 1 000 + 0,5% · 240 000 = 2 200 zł, a każda kolejna jest mniejsza o 0,5% z 1 000 zł, czyli o 5 zł — rata jest ciągiem arytmetycznym o r = −5 zł. Rata sześćdziesiąta wynosi 2 200 − 59 · 5 = 1 905 zł, a suma wszystkich rat to (2 200 + 1 005) / 2 · 240 = 384 600 zł.
Hodowla bakterii
Kolonia bakterii podwaja się co 20 minut, a próbka startowa liczy 500 komórek. Liczebność co 20 minut to ciąg geometryczny o q = 2, więc po trzech godzinach mija dziewięć podwojeń i mikrobiolog spodziewa się 500 · 2⁹ = 256 000 komórek. Ten sam wzór z ilorazem q = 0,5 opisuje rozpad promieniotwórczy: po każdym okresie połowicznego rozpadu zostaje połowa próbki.
Przelicz w konwerterze: Aktywność promieniotwórcza

Wszystkie wzory

Różnica ciągu arytmetycznego
$r = a_{n+1} - a_n$
ta sama dla każdej pary sąsiednich wyrazów
n-ty wyraz arytmetycznego
$a_n = a_1 + (n - 1)r$
wyraz pierwszy plus n − 1 kroków
Średnia arytmetyczna
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
każdy wyraz jest średnią swoich sąsiadów
Suma n wyrazów arytmetycznego
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
średnia skrajnych razy liczba wyrazów
Iloraz ciągu geometrycznego
$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$
ten sam dla każdej pary sąsiednich wyrazów
n-ty wyraz geometrycznego
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
wyraz pierwszy razy iloraz podniesiony do n − 1
Średnia geometryczna
$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$
kwadrat wyrazu równy iloczynowi sąsiadów
Suma n wyrazów geometrycznego
$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1$
dla q = 1 suma to po prostu n razy a₁

Wszystkie ciągi z poprzedniej lekcji miały jedną wspólną cechę: żadnej regularności nie musiały mieć. Dwa ciągi, o których jest ta lekcja, są dokładnie po drugiej stronie — powstają przez powtarzanie jednej i tej samej czynności.

Dwie regularności

Weź ciąg z poprzedniej lekcji i policz, co dzieje się między sąsiednimi wyrazami.

Jeżeli różnica $a_{n+1} - a_n$ jest stała, ciąg nazywamy arytmetycznym, a tę stałą — różnicą ciągu $r$ .
Jeżeli iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ jest stały, ciąg nazywamy geometrycznym, a tę stałą — ilorazem ciągu $q$ .

2, \; 5, \; 8, \; 11, \; 14 \quad (r = 3) \qquad\qquad 2, \; 4, \; 8, \; 16, \; 32 \quad (q = 2)

Oba startują z dwójki i oba na początku wyglądają podobnie. Dalej rozjeżdżają się bezpowrotnie.

Oba ciągi startują z 2. Arytmetyczny dokłada 3 na każdym kroku, geometryczny podwaja — po sześciu wyrazach jeden ma 17, drugi 64.

Dodawanie daje wzrost równomierny, mnożenie — coraz szybszy. Na tej różnicy stoi połowa finansów i cała demografia.

Ciąg arytmetyczny

Skoro każdy krok dokłada $r$ , to od $a_1$ do $a_n$ wykonujemy $n - 1$ kroków:

a_n = a_1 + (n - 1)r

To $n - 1$ jest źródłem najczęstszej pomyłki w całym dziale. Do czwartego wyrazu dochodzi się trzema krokami: $a_4 = a_1 + 3r$ .

W ciągu arytmetycznym a₁ = −5 i r = 4. Oblicz a₁₂.

Wzór działa też w drugą stronę. Jeżeli znasz dwa wyrazy, różnicę wyliczysz z tego, ile kroków je dzieli:

a_7 - a_3 = 4r \qquad \Longrightarrow \qquad r = \frac{a_7 - a_3}{4}

Każdy wyraz jest średnią sąsiadów

Skoro po lewej stronie jest $a_n - r$ , a po prawej $a_n + r$ , to ich średnia daje z powrotem $a_n$ :

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Ta własność charakteryzuje ciąg arytmetyczny: jeżeli zachodzi dla każdego $n$ , ciąg jest arytmetyczny. Służy też do wstawiania brakującego wyrazu — liczby $8$ , $x$ , $20$ tworzą ciąg arytmetyczny tylko dla $x = 14$ .

Suma początkowych wyrazów

Legenda przypisuje ten pomysł dziesięcioletniemu Gaussowi, któremu kazano dodać liczby od $1$ do $100$ . Zamiast liczyć po kolei, zestawił je w pary od końców:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \ldots = 101 \cdot 50 = 5050

Każda para daje tyle samo, a par jest o połowę mniej niż liczb. Stąd wzór:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Gdy ostatniego wyrazu nie znasz, podstaw go ze wzoru ogólnego:

S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n

Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o a₁ = 3 i r = 5.

Ciąg geometryczny

Tu każdy krok mnoży przez $q$ , a $n - 1$ kroków to $q$ podniesione do $n - 1$ — czyli potęga z numerem wyrazu w wykładniku:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

a_1 = 3, \; q = 2 \quad \Longrightarrow \quad 3, \; 6, \; 12, \; 24, \; 48, \; \ldots

Dwa ograniczenia wynikają wprost z definicji: $q \neq 0$ i żaden wyraz nie jest zerem. Gdyby jakiś był, iloraz następnego przez niego nie istniałby.

Iloraz może być ujemny — wtedy wyrazy skaczą raz nad oś, raz pod nią:

Ciąg geometryczny o ilorazie q = −2. Znak zmienia się co wyraz, a odległość od zera i tak podwaja się na każdym kroku.

Taki ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący — a mimo to jest w pełni regularny. Regularność ciągu geometrycznego siedzi w ilorazie, nie w kierunku.

Średnia geometryczna

Odpowiednikiem własności średniej jest tu mnożenie:

a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \qquad \text{czyli} \qquad |a_n| = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}

Wartość bezwzględna nie jest ozdobnikiem: iloczyn $4 \cdot 9 = 36$ mają zarówno ciąg $4, 6, 9$ , jak i $4, -6, 9$ . Dlatego w zadaniu zawsze pada dodatkowy warunek — na przykład, że szukany wyraz jest dodatni.

Liczby 4, x, 25 tworzą ciąg geometryczny, przy czym x > 0. Wyznacz x.

Suma początkowych wyrazów

S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1

Zastrzeżenie $q \neq 1$ jest konieczne — inaczej w mianowniku pojawiłoby się zero. Dla $q = 1$ ciąg jest stały, a suma to po prostu $n \cdot a_1$ .

Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o a₁ = 3 i q = 2.

Procent składany to ciąg geometryczny

Lokata oprocentowana na $p$ w skali okresu mnoży kapitał co okres przez ten sam czynnik $1 + p$ . To jest dokładnie definicja ciągu geometrycznego o ilorazie $q = 1 + p$ :

a_n = a_1 \cdot (1 + p)^{n-1}

Dla $10\,000$ zł przy $4\%$ rocznie stan konta po pięciu latach to

10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 12\,166{,}53 \text{ zł}

Odsetki proste — czyli $4\%$ liczone wciąż od wkładu początkowego — dałyby ciąg arytmetyczny o $r = 400$ zł i po pięciu latach $12\,000$ zł. Różnica $166{,}53$ zł to odsetki od odsetek; przy dłuższym horyzoncie rośnie ona lawinowo, bo jeden ciąg dodaje, a drugi mnoży. Rachunek na procentach i całą jego mechanikę rozwija osobna lekcja o procencie składanym.

Zadania

Zestaw miesza osiem pytań: dla obu ciągów wyraz o zadanym numerze, parametr ( $r$ albo $q$ ) odczytany z dwóch danych wyrazów, wyraz wstawiony między dwa sąsiednie oraz suma $n$ początkowych wyrazów. Prawie wszystkie odpowiedzi są liczbami całkowitymi; przy średniej geometrycznej na najtrudniejszym poziomie odpowiedź bywa dokładna, w postaci pierwiastka — wpisz ją wtedy jako np. 6√2.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Ciąg arytmetyczny: a₁ = −3, r = −2; a₉ =

Częste błędy

Wzór z $n$ zamiast $n - 1$ — do $a_{10}$ prowadzi dziewięć kroków, więc $a_{10} = a_1 + 9r$ , a nie $a_1 + 10r$ .
Mylenie różnicy z ilorazem — $r$ się dodaje, $q$ mnoży; ciąg $2, 6, 18$ ma $q = 3$ , a nie $r = 4$ .
Dzielenie przez zero we wzorze na sumę geometryczną — przypadek $q = 1$ liczy się osobno, jako $n \cdot a_1$ .
Pominięcie drugiego znaku przy średniej geometrycznej — z $x^2 = 36$ wynika $x = 6$ lub $x = -6$ ; wybór rozstrzyga warunek z treści zadania.
Uznanie ciągu o ujemnym ilorazie za nieregularny — $2, -4, 8, -16$ jest geometryczny, tylko nie jest monotoniczny.
Sumowanie wyrazów zamiast użycia wzoru — przy dwudziestu wyrazach to droga do pomyłki rachunkowej, a nie oszczędność.

Karta wzorów

Temat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Różnica ciągu arytmetycznego
$r = a_{n+1} - a_n$
ta sama dla każdej pary sąsiednich wyrazów
n-ty wyraz arytmetycznego
$a_n = a_1 + (n - 1)r$
wyraz pierwszy plus n − 1 kroków
Średnia arytmetyczna
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
każdy wyraz jest średnią swoich sąsiadów
Suma n wyrazów arytmetycznego
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
średnia skrajnych razy liczba wyrazów
Iloraz ciągu geometrycznego
$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$
ten sam dla każdej pary sąsiednich wyrazów
n-ty wyraz geometrycznego
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
wyraz pierwszy razy iloraz podniesiony do n − 1
Średnia geometryczna
$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$
kwadrat wyrazu równy iloczynowi sąsiadów
Suma n wyrazów geometrycznego
$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1$
dla q = 1 suma to po prostu n razy a₁

Ciąg arytmetyczny a(n) = 3n − 1 i geometryczny b(n) = 2 do potęgi n na jednym układzie. Pierwszy dokłada 3 na każdym kroku, drugi za każdym razem podwaja — i po sześciu wyrazach jeden ma 17, a drugi 64.

Ciąg geometryczny o ilorazie ujemnym: q = −2 przerzuca wyrazy raz nad oś, raz pod nią, a ich odległość od zera i tak rośnie.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min