Czym jest ciąg liczbowy?

To funkcja, której dziedziną są liczby naturalne. Każdemu numerowi n przypisuje dokładnie jedną liczbę, nazywaną n-tym wyrazem i zapisywaną aₙ zamiast a(n). Cała różnica wobec zwykłych funkcji leży w dziedzinie: argumentem może być 1, 2 albo 3, ale nie 2,5.

Dlaczego wykres ciągu to punkty, a nie krzywa?

Bo dziedziną są liczby naturalne, a między 3 a 4 nie ma żadnej liczby naturalnej. Nie istnieje więc wyraz, który dałoby się narysować pomiędzy trzecim a czwartym punktem. Połączenie punktów linią sugerowałoby wartości, których ciąg w ogóle nie ma.

Czym różni się wzór ogólny od rekurencyjnego?

Wzór ogólny podaje wyraz wprost z jego numeru: podstawiasz n = 100 i masz setny wyraz w jednym kroku. Wzór rekurencyjny podaje przepis na kolejny wyraz z poprzedniego, więc żeby dojść do setnego, trzeba policzyć wszystkie dziewięćdziesiąt dziewięć wcześniejszych. Oba mogą opisywać ten sam ciąg.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest rosnący?

Policz różnicę kolejnych wyrazów aₙ₊₁ − aₙ i zbadaj jej znak. Jeżeli jest dodatnia dla każdego n, ciąg jest rosnący; jeżeli ujemna dla każdego n — malejący. Sprawdzenie kilku pierwszych wyrazów niczego nie dowodzi, bo znak różnicy może się dalej zmienić.

Czy każdy ciąg jest rosnący albo malejący?

Nie. Ciąg aₙ = n² − 6n ma różnicę 2n − 5, która jest ujemna dla n = 1 i n = 2, a dodatnia od n = 3 — taki ciąg najpierw maleje, potem rośnie i nie jest monotoniczny. Ciąg aₙ = (−1)ⁿ skacze między −1 a 1 i również nie jest ani rosnący, ani malejący.

Od którego numeru zaczyna się ciąg?

Najczęściej od n = 1, i taką umowę przyjmujemy tutaj: pierwszy wyraz to a₁. Spotyka się też ciągi numerowane od zera — wtedy wyrazem pierwszym jest a₀. Numeracja jest kwestią zapisu, ale musi być podana, bo zmienia wartość każdego wyrazu wyliczonego ze wzoru ogólnego.

Czy ciąg może mieć skończenie wiele wyrazów?

Tak — ciąg skończony ma dziedzinę ograniczoną do numerów od 1 do k. Tak wygląda na przykład lista dwunastu miesięcznych odczytów licznika. Ciąg nieskończony ma za dziedzinę wszystkie liczby naturalne i tylko o takim ma sens pytanie o granicę.

Jak zapisać ciąg, którego wyrazy podano listą?

Trzeba znaleźć regułę, a potem sprawdzić ją na każdym podanym wyrazie. Dla listy 1, 4, 9, 16 regułą jest aₙ = n², dla 2, 4, 8, 16 — aₙ = 2ⁿ. Sama lista nigdy nie wyznacza wzoru jednoznacznie, dlatego w zadaniu podaje się wzór, a nie kilka pierwszych liczb.

Poziom średni

Ciągi liczbowe

Ciąg to funkcja, która każdej liczbie naturalnej przypisuje liczbę — i właśnie dlatego jego wykres składa się z osobnych punktów, a nie z krzywej. Zobacz, jak działa wzór ogólny, czym różni się od niego wzór rekurencyjny i jak jednym odejmowaniem sprawdzić, czy ciąg rośnie.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Pojęcie funkcjiFunkcja to jednoznaczne przyporządkowanie: każdemu argumentowi dokładnie jedna wartość. Poznaj zapis f(x), dziedzinę i zbiór wartości, cztery sposoby zadania funkcji oraz test pionowej prostej na wykresie.
Zbiory liczboweLiczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste — cztery rodziny, jedna wchodząca w drugą. Poznaj symbole ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, znaki należenia ∈ i ∉, zbiór pusty ∅, dowód niewymierności √2 i sposób zapisywania liczb parzystych i nieparzystych w dowodach podzielności.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Plan treningowy
Plan biegowy na dziesięć tygodni: w pierwszym tygodniu 20 minut wybiegania, w każdym kolejnym o 5 minut więcej. To ciąg o wzorze ogólnym aₙ = 15 + 5n, więc w tygodniu dziesiątym plan przewiduje 15 + 50 = 65 minut. Różnica kolejnych wyrazów wynosi stale 5 minut — jest dodatnia, więc obciążenie rośnie i żaden tydzień nie wypada lżejszy od poprzedniego.
Przelicz w konwerterze: Czas
Powitania na spotkaniu
Na spotkanie przychodzi n osób i każda podaje rękę każdej innej. Liczba uścisków to ciąg aₙ = n(n − 1)/2: dla 8 osób wychodzi 8 · 7 / 2 = 28, a dla 12 osób już 66. Przyrost nie jest stały — dziewiąta osoba dokłada 8 uścisków, a dwunasta aż 11, więc ten ciąg rośnie coraz szybciej.
Dawkowanie leku
Lek podawany raz na dobę: po 24 godzinach w organizmie zostaje 40% poprzedniej dawki, a pacjent przyjmuje kolejne 100 mg. To wzór rekurencyjny aₙ₊₁ = 0,4 · aₙ + 100 przy a₁ = 100 mg. Kolejne wartości to 100, 140, 156 i 162,4 mg — stężenie rośnie, ale coraz wolniej i nigdy nie przekracza 166,7 mg. Farmakolog liczy dokładnie ten ciąg, żeby sprawdzić, czy poziom nasycenia mieści się w oknie terapeutycznym.
Amortyzacja sprzętu
Księgowa wprowadza laptop za 6000 zł amortyzowany liniowo przez pięć lat, czyli po 1200 zł rocznie. Wartość księgowa po n latach to ciąg aₙ = 6000 − 1200n: po trzech latach 2400 zł, po pięciu — zero. Różnica kolejnych wyrazów wynosi −1200 zł, jest więc ujemna dla każdego n i ciąg jest malejący, co odpowiada temu, że sprzęt nigdy nie zyskuje na wartości księgowej.

Wszystkie wzory

Ciąg jako funkcja
$a_n = f(n), \qquad n \in \mathbb{N}_+$
dziedziną są liczby naturalne, więc wykresem jest zbiór punktów
Wzór ogólny
$a_n = 2n + 1$
podstawiasz numer i od razu masz wyraz
Wzór rekurencyjny
$a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = 2a_n - 1$
każdy wyraz z poprzedniego — trzeba przejść po kolei
Ciąg rosnący
$a_{n+1} - a_n > 0$
różnica kolejnych wyrazów dodatnia dla każdego n
Ciąg malejący
$a_{n+1} - a_n < 0$
ta sama różnica, ujemna dla każdego n
Ciąg stały
$a_{n+1} - a_n = 0$
wszystkie wyrazy równe

Zapis $a_1, a_2, a_3, \ldots$ wygląda jak zwykła lista liczb, ale kryje się za nim coś, co już znasz: funkcja. Tyle że o wyjątkowo oszczędnej dziedzinie.

Ciąg to funkcja o dziedzinie liczb naturalnych

Ciąg przypisuje każdej liczbie naturalnej dokładnie jedną liczbę. To jest definicja funkcji — zmienia się tylko to, co wolno wstawić za argument:

a_n = f(n), \qquad n \in \mathbb{N}_+

Zamiast $a(n)$ pisze się $a_n$ , a argument nazywa numerem wyrazu. Liczba $a_n$ to $n$ -ty wyraz ciągu, $a_1$ — wyraz pierwszy.

Dziedzina zawiera tylko liczby naturalne, a te są od siebie oddzielone: między $3$ a $4$ nie ma żadnej. Dlatego wykres ciągu składa się z osobnych punktów.

Wykres ciągu o wzorze a(n) = 2n + 1. Punkty leżą wprawdzie na jednej prostej, ale samej prostej nie rysujemy — ciąg nie ma wyrazu o numerze 2,5.

Punkty układają się tu wzdłuż prostej, bo wzór jest liniowy. To jednak nie znaczy, że wykresem jest prosta: wartości $a_{2{,}5}$ po prostu nie ma, więc nie ma czego narysować między drugim a trzecim punktem.

Wzór ogólny

Wzór ogólny podaje wyraz wprost z jego numeru. Wystarczy podstawić:

a_n = n^2 + 1

a_1 = 1^2 + 1 = 2, \quad a_2 = 2^2 + 1 = 5, \quad a_3 = 3^2 + 1 = 10, \quad a_4 = 17

Największa zaleta takiego zapisu: każdy wyraz jest w zasięgu jednego rachunku. Setny wyraz to $a_{100} = 100^2 + 1 = 10\,001$ — i nie trzeba do niego iść przez dziewięćdziesiąt dziewięć poprzednich.

Dany jest ciąg o wzorze aₙ = 3n² − 4n. Oblicz a₅ oraz a₁ + a₂.

Wzór rekurencyjny

Drugi sposób opisania ciągu nie mówi, ile wynosi $a_n$ , tylko jak z jednego wyrazu zrobić następny:

a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = 2a_n - 1

Taki przepis nazywa się wzorem rekurencyjnym i zawsze ma dwie części: wyraz startowy oraz regułę przejścia. Bez pierwszej części ciąg nie jest wyznaczony — reguła sama nie wie, od czego zacząć.

Wyrazy liczy się po kolei:

a_2 = 2 \cdot 3 - 1 = 5, \qquad a_3 = 2 \cdot 5 - 1 = 9, \qquad a_4 = 2 \cdot 9 - 1 = 17

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_n$	$3$	$5$	$9$	$17$	$33$

I tu jest cała różnica wobec wzoru ogólnego: do $a_{100}$ nie ma skrótu. Trzeba policzyć wszystkie wcześniejsze wyrazy, jeden po drugim. W zamian rekurencja świetnie opisuje procesy, w których kolejny stan naprawdę powstaje z poprzedniego — saldo konta po dopisaniu odsetek, stężenie leku po kolejnej dawce, populacja po kolejnym sezonie.

Dany jest ciąg a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ + 1. Oblicz a₄.

Monotoniczność: jedno odejmowanie

Ciąg jest rosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Zamiast oglądać liczby, bada się znak różnicy:

a_{n+1} - a_n

różnica dodatnia dla każdego $n$ — ciąg rosnący;
różnica ujemna dla każdego $n$ — ciąg malejący;
różnica równa zeru — ciąg stały.

Dla $a_n = 2n + 1$ liczymy raz i mamy odpowiedź dla wszystkich wyrazów naraz:

a_{n+1} - a_n = \bigl(2(n+1) + 1\bigr) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2 > 0

Różnica wyszła stała i dodatnia, więc ciąg rośnie — i to zawsze, nie tylko na początku.

Ciąg malejący o wzorze b(n) = 10 − 2n. Różnica kolejnych wyrazów wynosi −2, więc punkty schodzą w dół o tyle samo na każdym kroku.

Uwaga, na której wykłada się najwięcej osób: sprawdzenie kilku pierwszych wyrazów nie jest dowodem. Weź $a_n = n^2 - 6n$ :

a_{n+1} - a_n = \bigl((n+1)^2 - 6(n+1)\bigr) - (n^2 - 6n) = 2n - 5

Dla $n = 1$ i $n = 2$ różnica jest ujemna, a od $n = 3$ dodatnia. Ciąg najpierw maleje ( $-5, -8, -9$ ), potem rośnie ( $-8, -5, 0$ ) — nie jest monotoniczny, choć pierwsze trzy wyrazy sugerowały coś innego.

Zbadaj monotoniczność ciągu o wzorze aₙ = 7 − 4n.

Ciągi o stałej różnicy kolejnych wyrazów — jak $2n + 1$ czy $7 - 4n$ — mają własną nazwę i własne wzory na sumę. To materiał kolejnej lekcji, o ciągu arytmetycznym i geometrycznym.

Zadania

Zadania sprawdzają dwie procedury z tej lekcji: wyliczenie wyrazu ze wzoru ogólnego (podstaw numer) i wyliczenie wyrazu z rekurencji (przejdź po kolei od wyrazu pierwszego). Odpowiedzią jest liczba całkowita, także ujemna. Monotoniczności tutaj nie odpytujemy — jej odpowiedzią jest słowo, a nie liczba, więc ćwiczysz ją na przykładach powyżej.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

aₙ = 3n; a₅ =

Częste błędy

Połączenie punktów wykresu linią — ciąg nie ma wyrazów o numerach ułamkowych, więc między punktami nie ma czego rysować.
Podstawienie numeru do wzoru rekurencyjnego — w $a_{n+1} = 2a_n - 1$ w miejsce $a_n$ wstawia się poprzedni wyraz, a nie liczbę $n$ .
Rekurencja bez wyrazu startowego — sama reguła przejścia nie wyznacza ciągu; $a_1$ jest częścią wzoru.
Uznanie ciągu za rosnący po obejrzeniu trzech wyrazów — rozstrzyga dopiero znak różnicy $a_{n+1} - a_n$ dla każdego $n$ .
Mylenie numeru z wartością — $a_5 = -12$ jest w porządku: naturalny musi być numer, a nie wyraz.
Pomyłka o jeden przy numeracji — jeżeli ciąg zaczyna się od $a_1$ , to $a_1$ jest wyrazem pierwszym, a nie zerowym.

Karta wzorów

Temat: Ciągi liczbowe

Ciąg jako funkcja
$a_n = f(n), \qquad n \in \mathbb{N}_+$
dziedziną są liczby naturalne, więc wykresem jest zbiór punktów
Wzór ogólny
$a_n = 2n + 1$
podstawiasz numer i od razu masz wyraz
Wzór rekurencyjny
$a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = 2a_n - 1$
każdy wyraz z poprzedniego — trzeba przejść po kolei
Ciąg rosnący
$a_{n+1} - a_n > 0$
różnica kolejnych wyrazów dodatnia dla każdego n
Ciąg malejący
$a_{n+1} - a_n < 0$
ta sama różnica, ujemna dla każdego n
Ciąg stały
$a_{n+1} - a_n = 0$
wszystkie wyrazy równe

Ciąg o wzorze a(n) = 2n + 1 dla n od 1 do 7. Wykres ciągu to zbiór osobnych punktów — między nimi nie ma nic, bo między 3 a 4 nie ma liczby naturalnej.

Ciąg o wzorze b(n) = 10 − 2n. Punkty schodzą w dół o tyle samo na każdym kroku, więc ciąg jest malejący.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min