Dlaczego podstawa funkcji wykładniczej nie może być równa 1?

Bo 1 do dowolnej potęgi daje 1, więc wykres byłby prostą poziomą — funkcja stała, nie wykładnicza. Podstawa musi też być dodatnia: dla ujemnej, na przykład (−2)^(1/2), wynik przestaje istnieć w liczbach rzeczywistych, więc dziedziną nie byłby już cały zbiór R.

Kiedy funkcja wykładnicza rośnie, a kiedy maleje?

Rośnie dla podstawy większej od 1 i maleje dla podstawy z przedziału od 0 do 1. To jedyny parametr, który o tym decyduje: y = 3ˣ rośnie, y = (1/3)ˣ maleje, a obie mają tę samą asymptotę poziomą y = 0 i obie przechodzą przez punkt (0, 1).

Jaki jest zbiór wartości funkcji wykładniczej?

Wszystkie liczby dodatnie, czyli przedział (0, ∞). Potęga o dodatniej podstawie nigdy nie da zera ani liczby ujemnej — bez względu na to, jak bardzo ujemny jest wykładnik, wynik tylko maleje w stronę zera. Dlatego prosta y = 0 jest asymptotą poziomą, a nie wartością przyjmowaną.

Jak rozwiązać równanie wykładnicze?

Sprowadzić obie strony do tej samej podstawy i porównać wykładniki. W równaniu 2^(x+1) = 32 zapisujemy 32 jako 2⁵, więc x + 1 = 5 i x = 4. Wolno tak zrobić, bo funkcja wykładnicza jest różnowartościowa: dwie równe potęgi o tej samej podstawie muszą mieć równe wykładniki.

Jak rozwiązać równanie logarytmiczne?

Skorzystać z definicji logarytmu: log_b(A) = k oznacza dokładnie A = b^k. Równanie log₂(3x − 1) = 4 zamienia się więc w 3x − 1 = 16, skąd x = 17/3. Na końcu trzeba sprawdzić założenie: argument musi być dodatni, a 3·(17/3) − 1 = 16 > 0, więc rozwiązanie zostaje.

Jaka jest dziedzina funkcji logarytmicznej?

Tylko liczby dodatnie. Logarytm odpowiada na pytanie „do której potęgi podnieść podstawę", a potęga dodatniej podstawy zawsze wychodzi dodatnia — nie ma więc wykładnika dającego zero ani liczbę ujemną. Przy złożeniach dziedzinę wyznacza nierówność: dla f(x) = log₂(2x − 6) trzeba 2x − 6 > 0, czyli x > 3.

Dlaczego wykresy y = bˣ i y = log_b x są swoimi odbiciami?

Bo są funkcjami wzajemnie odwrotnymi: jedna cofa to, co robi druga. Jeśli punkt (a, c) leży na wykresie funkcji wykładniczej, to punkt (c, a) leży na wykresie logarytmicznej — zamiana współrzędnych miejscami to właśnie odbicie względem prostej y = x. Stąd też ich asymptoty zamieniają się rolami: pozioma staje się pionową.

Czym różni się wzrost wykładniczy od liniowego?

Liniowy dodaje w każdym kroku tyle samo, wykładniczy mnoży przez tyle samo. Po dziesięciu krokach ciąg dodający 2 dojdzie od 1 do 21, a mnożący przez 2 — do 1024. Właśnie dlatego funkcja wykładnicza prędzej czy później przerasta każdą prostą i każdy wielomian, choćby na początku rosła wolniej.

Poziom zaawansowany

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Ziarno na szachownicy, kredyt, rozpad promieniotwórczy i skala decybelowa — wszystkie opisuje ta sama para funkcji. Zobacz, jak wygląda wykres y = bˣ i jego lustrzane odbicie y = log_b x, dlaczego rozwiązanie równania wykładniczego sprowadza się do porównania wykładników i skąd bierze się dziedzina logarytmu.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Datowanie węglem C-14
Okres połowicznego rozpadu węgla C-14 wynosi 5730 lat, więc N(t) = N₀·(1/2)^(t/5730). Archeolog mierzy w znalezisku 25% wyjściowej zawartości izotopu i rozwiązuje (1/2)^(t/5730) = 0,25, czyli t/5730 = 2 — próbka ma 11 460 lat. Przy 12,5% wyszłoby 17 190 lat: każde kolejne halvenie to jeden pełny okres.
Poziom hałasu w decybelach
Skala decybelowa jest logarytmiczna: L = 10·log₁₀(I/I₀). Rozmowa o natężeniu miliard razy większym od progu słyszalności daje 90 dB, a dwie takie rozmowy naraz — nie 180 dB, tylko 93 dB, bo podwojenie natężenia dodaje 10·log₁₀2 ≈ 3 dB. Akustyk projektujący halę liczy dokładnie ten logarytm, a szybkie przeliczenia robi [konwerter decybeli](/decybele).
Kapitalizacja ciągła w banku
Lokata 20 000 zł oprocentowana na 4% rocznie z kapitalizacją ciągłą rośnie według K(t) = 20000·e^(0,04t). Po 5 latach daje 24 428 zł, a pytanie „kiedy urośnie o połowę" to równanie e^(0,04t) = 1,5, czyli t = ln 1,5 / 0,04 ≈ 10,1 roku. Bez logarytmu tej odpowiedzi nie da się wyliczyć, można ją tylko zgadywać.
Odczyn pH roztworu
pH = −log₁₀[H⁺], więc roztwór o stężeniu jonów wodorowych 10⁻³ mol/l ma pH równe 3. Sok pomarańczowy o pH 3,5 jest dokładnie 10 razy mniej kwaśny niż ocet o pH 2,5, choć na skali dzieli je tylko jeden stopień — technolog żywności czyta z tej jedynki krotność, a nie różnicę.

Wszystkie wzory

Funkcja wykładnicza
$f(x) = b^x, \qquad b > 0,\ b \neq 1$
dziedzina: \mathbb{R}, zbiór wartości: (0,\ \infty)
Funkcja logarytmiczna
$f(x) = \log_b x, \qquad b > 0,\ b \neq 1$
dziedzina: (0,\ \infty), zbiór wartości: \mathbb{R}
Wzajemna odwrotność
$b^{\log_b x} = x, \qquad \log_b b^x = x$
jedna funkcja cofa to, co robi druga
Równanie wykładnicze
$b^{x_1} = b^{x_2} \iff x_1 = x_2$
różnowartościowość — stąd porównanie wykładników
Równanie logarytmiczne
$\log_b x_1 = \log_b x_2 \iff x_1 = x_2$
przy założeniu x_1 > 0 i x_2 > 0
Rozpad promieniotwórczy
$N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$
T — okres połowicznego rozpadu

Legenda o wynalazcy szachów mówi, że poprosił o ziarno: jedno na pierwszym polu, dwa na drugim, cztery na trzecim i tak dalej. Na sześćdziesiątym czwartym polu wypada $2^{63}$ ziaren — więcej, niż ludzkość wyprodukowała przez całą swoją historię. To nie przesada, tylko funkcja wykładnicza.

Funkcja wykładnicza

f(x) = b^x, \qquad b > 0, \; b \neq 1

Zmienna stoi w wykładniku, a nie w podstawie — i to odróżnia $2^x$ od $x^2$ . Warunki na podstawę nie są kaprysem:

$b > 0$ , bo dla ujemnej podstawy potęga o wykładniku wymiernym przestaje istnieć w liczbach rzeczywistych — $(-4)^{1/2}$ nie ma wartości;
$b \neq 1$ , bo $1^x = 1$ dla każdego $x$ , czyli wykres byłby prostą poziomą.

Wzrost i zanik. Obie krzywe przechodzą przez (0; 1), bo b⁰ = 1, i obie mają asymptotę poziomą y = 0 — wartości maleją do zera, ale zerem nigdy nie są.

własność	$b > 1$	$0 < b < 1$
dziedzina	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
zbiór wartości	$(0;\, \infty)$	$(0;\, \infty)$
monotoniczność	rosnąca	malejąca
punkt wspólny	$(0;\, 1)$	$(0;\, 1)$
asymptota	$y = 0$	$y = 0$

Zbiorem wartości są wyłącznie liczby dodatnie. Potęga dodatniej podstawy nigdy nie wyjdzie zerem ani liczbą ujemną — dla bardzo małych wykładników tylko maleje, zbliżając się do asymptoty poziomej $y = 0$ .

Przesunięcia

Wzór $y = a \cdot b^{x-p} + q$ czyta się jak każde inne przekształcenie wykresu: przesunięcie o wektor $[p,\, q]$ . Warto zapamiętać jedną konsekwencję: asymptota jedzie razem z wykresem i po przesunięciu leży na wysokości $y = q$ , a nie $y = 0$ .

Funkcja logarytmiczna

Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania — $\log_b x$ odpowiada na pytanie „do której potęgi podnieść $b$ , żeby dostać $x$ ". Zapisany jako funkcja daje:

f(x) = \log_b x, \qquad b > 0, \; b \neq 1

Dziedziną są wyłącznie liczby dodatnie, i wynika to wprost z poprzedniego akapitu: skoro potęga dodatniej podstawy jest zawsze dodatnia, to nie ma wykładnika, który dałby $0$ albo liczbę ujemną. Nie ma więc czego logarytmować.

Para wzajemnie odwrotna: y = 2ˣ i y = log₂ x, odbite względem prostej y = x. Asymptota pozioma jednej staje się asymptotą pionową drugiej, a punkt (0; 1) przechodzi na (1; 0).

Obie funkcje są wzajemnie odwrotne, co zapisujemy dwoma tożsamościami:

b^{\log_b x} = x \quad (x > 0), \qquad \log_b b^{\,x} = x

Odbicie względem prostej $y = x$ zamienia współrzędne miejscami — i to jest cała treść odwrotności, o której szerzej mówi temat o złożeniu i funkcji odwrotnej. Zamieniają się też role asymptot i zbiorów:

	$y = b^x$	$y = \log_b x$
dziedzina	$\mathbb{R}$	$(0;\, \infty)$
zbiór wartości	$(0;\, \infty)$	$\mathbb{R}$
punkt szczególny	$(0;\, 1)$	$(1;\, 0)$
asymptota	pozioma $y = 0$	pionowa $x = 0$

Równania wykładnicze

Podstawa programowa rozwiązuje je przez własności funkcji, a nie osobnym aparatem. Kluczowa własność to różnowartościowość:

b^{x_1} = b^{x_2} \iff x_1 = x_2

Dwie równe potęgi o tej samej podstawie muszą mieć równe wykładniki — bo funkcja wykładnicza jest ściśle monotoniczna, więc dwa różne argumenty nie mogą dać tej samej wartości. Cała metoda to zatem: sprowadź obie strony do tej samej podstawy i porównaj wykładniki.

Rozwiąż równanie 3^(2x − 1) = 81.

Gdy sprowadzenie do wspólnej podstawy nie wychodzi, sięga się po logarytm obu stron — i to jest właśnie moment, w którym para funkcji zaczyna pracować razem.

Równania logarytmiczne

Tutaj kluczem jest sama definicja logarytmu:

\log_b A = k \iff A = b^k

oraz — dokładnie jak wyżej — różnowartościowość, dzięki której $\log_b x_1 = \log_b x_2$ daje $x_1 = x_2$ .

Założenia dziedzinowe wypisuje się przed rozwiązywaniem, a nie po. Argument logarytmu musi być dodatni, więc rachunek zaczyna się od nierówności.

Rozwiąż równanie log₂(3x + 2) = 4.

Dziedzina bywa też samodzielnym pytaniem. Dla $f(x) = \log_3(2x - 8)$ szukamy $2x - 8 > 0$ , czyli $x > 4$ : dziedziną jest przedział $(4;\, \infty)$ . Uwaga na znak — przy ujemnym współczynniku nierówność się odwraca.

Dlaczego to jest wszędzie

Wzrost wykładniczy pojawia się zawsze tam, gdzie przyrost jest proporcjonalny do stanu: pieniądze na procencie składanym, populacja bakterii, liczba zarażonych na początku epidemii. Zanik wykładniczy — tam, gdzie ubytek jest proporcjonalny do tego, co zostało: rozpad promieniotwórczy, stygnięcie kawy, spadek stężenia leku we krwi.

N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

gdzie $T$ to okres połowicznego rozpadu — czas, po którym zostaje połowa. Po dwóch takich okresach zostaje ćwiartka, po trzech — jedna ósma.

Logarytm z kolei służy do ściskania skali: decybele, pH, magnitudo trzęsienia ziemi i wielkość gwiazdowa to wszystko skale logarytmiczne. Dzięki nim tysiąckrotna różnica natężenia mieści się w trzech kreskach zamiast w tysiącu.

Zadania

Zestaw sprawdza trzy umiejętności: równanie wykładnicze (sprowadź do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki), równanie logarytmiczne (zastosuj definicję, potem sprawdź założenie) oraz dziedzinę logarytmu, którą wpisujesz jako nierówność, np. x > 3. Samo obliczanie wartości potęgi i logarytmu ćwiczy dział liczb — tutaj chodzi o funkcje, a nie o pojedyncze działanie.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

3^(x − 2) = 9

Częste błędy

Mylenie $2^x$ z $x^2$ — w pierwszej zmienna jest w wykładniku, w drugiej w podstawie, i rosną zupełnie inaczej.
Szukanie miejsca zerowego funkcji wykładniczej — nie ma go; $b^x$ jest zawsze dodatnie, a $y = 0$ to asymptota.
Logarytmowanie liczby ujemnej albo zera — dziedziną logarytmu są wyłącznie liczby dodatnie.
Pomijanie założeń w równaniu logarytmicznym — rachunek potrafi wydać liczbę, która nie należy do dziedziny; trzeba ją odrzucić.
Odwracanie nierówności przy dodatnim współczynniku — w $\log_2(3x - 6)$ warunek to $x > 2$ , a nie $x < 2$ ; znak odwraca się dopiero przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
Uznanie, że wykres $y = 2^{x} + 3$ ma asymptotę $y = 0$ — przesunięcie w górę zabiera asymptotę ze sobą, więc leży ona na wysokości $y = 3$ .

Karta wzorów

Temat: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcja wykładnicza
$f(x) = b^x, \qquad b > 0,\ b \neq 1$
dziedzina: \mathbb{R}, zbiór wartości: (0,\ \infty)
Funkcja logarytmiczna
$f(x) = \log_b x, \qquad b > 0,\ b \neq 1$
dziedzina: (0,\ \infty), zbiór wartości: \mathbb{R}
Wzajemna odwrotność
$b^{\log_b x} = x, \qquad \log_b b^x = x$
jedna funkcja cofa to, co robi druga
Równanie wykładnicze
$b^{x_1} = b^{x_2} \iff x_1 = x_2$
różnowartościowość — stąd porównanie wykładników
Równanie logarytmiczne
$\log_b x_1 = \log_b x_2 \iff x_1 = x_2$
przy założeniu x_1 > 0 i x_2 > 0
Rozpad promieniotwórczy
$N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$
T — okres połowicznego rozpadu

Funkcja wykładnicza y = 2ˣ i logarytmiczna y = log₂ x. Każda jest odbiciem drugiej względem prostej y = x: to, co jedna liczy, druga cofa.

Wzrost i zanik: y = 2ˣ rośnie, y = (1/2)ˣ maleje. Obie krzywe mają tę samą asymptotę poziomą y = 0 i obie przechodzą przez punkt (0; 1), bo każda liczba do potęgi zerowej daje jeden.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min