Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna

Za tydzień wyjazd i trzeba przewieźć 240 skrzynek. Jedna ciężarówka zabierze wszystkie, dwie — po 120, cztery — po 60. Iloczyn zostaje ten sam, choć oba czynniki się zmieniają. To jest proporcjonalność odwrotna.

Prosta czy odwrotna

Dwie wielkości mogą być powiązane na dwa przeciwne sposoby, a mylenie ich to najczęstszy błąd w zadaniach z treścią.

O proporcjach i skali mówi osobny temat; tutaj interesuje nas wyłącznie ten drugi wiersz — i funkcja, którą on opisuje.

Hiperbola y = a/x

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste poza zerem, bo dzielić przez zero się nie da. To jedno wykluczenie tłumaczy cały wygląd wykresu.

Krzywa ma dwie gałęzie, bo wykluczone zero rozcina oś argumentów na dwie części, między którymi nie ma przejścia. Dla $a > 0$ gałęzie leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce, dla $a < 0$ — w drugiej i czwartej.

Współczynnik z jednego punktu

Skoro $y = \tfrac{a}{x}$, to po przemnożeniu obu stron przez $x$:

Iloczyn współrzędnych każdego punktu hiperboli jest ten sam i równy $a$. Jeden punkt wystarczy więc, żeby wyznaczyć całą funkcję — inaczej niż przy prostej, która potrzebuje dwóch.

Asymptoty

Popatrz, co się dzieje z $y = \tfrac{6}{x}$, gdy argument maleje do zera:

Wartości rosną bez ograniczeń. Prosta $x = 0$ jest asymptotą pionową: krzywa przywiera do niej coraz ciaśniej, nigdy jej nie dotykając.

Z drugiej strony, przy dużych argumentach:

Wartości maleją do zera, ale zerem nie są. Prosta $y = 0$ jest asymptotą poziomą.

Asymptota to prosta, do której krzywa zbliża się dowolnie blisko, nigdy jej nie osiągając. Nie należy do wykresu — jest linią odniesienia, która mówi, dokąd wykres zmierza.

To samo pojęcie wraca później przy granicy funkcji, gdzie „dowolnie blisko" dostaje ścisłą definicję, oraz przy funkcjach wymiernych, gdzie dochodzi trzeci rodzaj asymptoty — ukośna.

Funkcja homograficzna

Hiperbolę można przesunąć jak każdy inny wykres:

Taką funkcję nazywamy homograficzną. Przesunięcie o wektor $[p,\, q]$ zabiera ze sobą asymptoty:

Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych poza $p$, bo dla $x = p$ mianownik się zeruje.

Postać kanoniczna

W zadaniach funkcja homograficzna zwykle przychodzi jako iloraz dwóch wyrażeń liniowych:

W tym zapisie asymptot nie widać. Żeby je odczytać, wydzielamy z licznika tyle mianownika, ile się da:

a potem dzielimy każdy składnik osobno:

Teraz obie liczby stoją wprost: asymptoty to $x = 2$ i $y = 3$.

Ogólnie:

Asymptota pozioma leży na wysokości współczynnika przy $x$ w liczniku, a pionowa — w miejscu zerowym mianownika.

Zwróć uwagę, że skracanie wspólnego czynnika w wyrażeniach wymiernych to co innego niż ten rachunek: tam upraszczamy ułamek, tutaj zmieniamy jego postać, nie zmieniając funkcji.

Gdzie to widać

Wszędzie tam, gdzie coś dzieli się na części albo gdzie iloczyn dwóch wielkości jest ustalony:

• $t = \dfrac{s}{v}$ — czas jazdy przy danej prędkości (temat: prędkość, droga, czas), a jeśli chcesz szybko przeliczyć jednostki, zrobi to konwerter prędkości;
• $p \cdot V = \text{const}$ — prawo Boyle'a i Mariotte'a dla gazu w stałej temperaturze;
• $I = \dfrac{U}{R}$ — natężenie prądu przy stałym napięciu;
• $\text{koszt na osobę} = \dfrac{\text{koszt całkowity}}{\text{liczba osób}}$.

We wszystkich czterech przypadkach wykres opada coraz wolniej — i to jest praktyczna treść asymptoty poziomej: dokładanie kolejnych jednostek przynosi coraz mniejszy zysk.

Zadania

Zestaw sprawdza cztery kroki tego tematu: współczynnik $k$ odczytany z jednego punktu, wartość funkcji homograficznej, zamianę ilorazu na postać kanoniczną oraz obie asymptoty naraz. Przy asymptotach wpisujesz dwie liczby — pionową jako $x$, poziomą jako $y$. Przy postaci kanonicznej sama przepisana treść zadania nie przejdzie: chodzi o zmianę zapisu, a nie o jego powtórzenie.

Częste błędy

• Mylenie proporcjonalności odwrotnej z prostą — sprawdź, co jest stałe: iloraz czy iloczyn.
• Wyznaczanie $a$ przez dzielenie współrzędnych — dla hiperboli $a = x \cdot y$, nie $\tfrac{y}{x}$.
• Rysowanie hiperboli jedną kreską przez zero — gałęzie są dwie i nic ich nie łączy.
• Uznanie asymptoty za część wykresu — to linia odniesienia, a nie punkty funkcji.
• Odczytanie asymptoty poziomej wprost z ilorazu $\tfrac{ax+b}{x-p}$ — trzeba najpierw sprowadzić do postaci kanonicznej; asymptotą jest $y = a$, a nie $y = b$.
• Zapominanie o dziedzinie — $x = p$ jest wykluczone i musi zostać wypisane w odpowiedzi.