Odczytywanie własności z wykresu

Wykres niesie całą informację o funkcji naraz. Zanim cokolwiek policzymy, można z niego odczytać sześć rzeczy: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, znak, przedziały monotoniczności i ekstremum.

Dziedzina i zbiór wartości

Obie odczytujemy jako cienie wykresu na osiach:

• dziedzina — rzut na oś poziomą: wszystkie argumenty, dla których cokolwiek narysowano;
• zbiór wartości — rzut na oś pionową: wszystkie wysokości, na których wykres się pojawia.

Parabola powyżej ciągnie się w lewo i w prawo bez końca, więc jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. W pionie zaczyna się natomiast dopiero na wysokości $-4$ i idzie w górę — poniżej przerywanej prowadnicy nie ma ani jednego punktu wykresu:

Miejsca zerowe

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość wynosi zero — na wykresie punkt przecięcia z osią $OX$:

Nasza parabola przecina oś poziomą w punktach $(-1, 0)$ i $(3, 0)$, więc miejscami zerowymi są liczby $-1$ i $3$. Zwróć uwagę, że miejscem zerowym jest odcięta, czyli sama liczba $-1$, a nie para $(-1, 0)$.

Znak funkcji

Znak odczytujemy z położenia wykresu względem osi poziomej:

• wykres nad osią $\Rightarrow f(x) > 0$;
• wykres pod osią $\Rightarrow f(x) < 0$;
• wykres na osi $\Rightarrow f(x) = 0$.

Granicami przedziałów znaku są zawsze miejsca zerowe — tylko tam wykres może przejść z jednej strony osi na drugą. Dla prostej powyżej mamy $f(x) > 0$ dla $x < 2$ i $f(x) < 0$ dla $x > 2$; przy funkcji rosnącej byłoby dokładnie odwrotnie.

Monotoniczność

Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy większemu argumentowi odpowiada w nim większa wartość:

i malejąca, gdy większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość:

Na rysunku wystarczy wodzić wzrokiem od lewej do prawej: gdzie wykres się wznosi, funkcja rośnie; gdzie opada, maleje. Nasza parabola maleje w przedziale $(-\infty, 1\rangle$ i rośnie w $\langle 1, +\infty)$ — granicą jest odcięta wierzchołka.

Dwie pułapki językowe. Po pierwsze, monotoniczność podaje się dla przedziału, nigdy dla pojedynczego punktu: pytanie „czy funkcja rośnie w punkcie $x = 4$" nie ma sensu przy tej definicji. Po drugie, „monotoniczna" nie znaczy „rosnąca" — funkcja malejąca też jest monotoniczna, bo cały czas zmienia się w jedną stronę.

Ekstremum

Ekstremum to punkt zwrotny: miejsce, w którym funkcja przestaje maleć i zaczyna rosnąć (minimum) albo odwrotnie (maksimum). Na wykresie to „dołek" albo „garb".

Wartością ekstremum jest wysokość tego punktu, a nie jego odcięta. Dla naszej paraboli minimum wynosi $-4$ i jest przyjmowane dla argumentu $1$ — to dwie różne liczby i mylenie ich jest najczęstszym błędem w tej lekcji.

Wartość i przeciwobraz

Dwa najczęstsze pytania „punktowe" czyta się z wykresu tą samą drogą, przebytą w dwie strony:

• wartość — od argumentu na osi poziomej pionowo do wykresu, potem poziomo do osi pionowej;
• przeciwobraz — od wartości na osi pionowej poziomo do wykresu, potem pionowo do osi poziomej.

Różnica jest istotna: wartość jest jedna (to definicja funkcji), ale tę samą wartość może przyjmować kilka argumentów. Na naszej paraboli wartość $0$ jest osiągana dwa razy, a wartość $-4$ tylko raz.

Dlaczego wykres, skoro można policzyć

Bo rachunek daje własności po kolei, a rysunek — wszystkie naraz. Liczbę miejsc zerowych, znak, kierunek zmian i położenie ekstremum widać jednym spojrzeniem, zanim policzymy deltę.

Wykres jest też najtańszym sprawdzeniem wyniku: jeśli z rachunku wyszło minimum $2$, a narysowana krzywa schodzi poniżej zera, to gdzieś jest błąd. Działa to w obie strony — dlatego warto szkicować wykres nawet wtedy, gdy zadanie o niego nie prosi.

Odczyt ma jednak granicę: rysunek pokazuje tylko ten fragment dziedziny, który zmieścił się w kadrze. Jeśli oś kończy się na $x = 5$, o zachowaniu funkcji dalej wykres nie mówi nic — i właśnie dlatego przy skrajnych wnioskach wracamy do wzoru.

Ćwiczenia

Zadania pytają o trzy własności, które w tej lekcji odczytujemy z rysunku, ale sprawdzić trzeba je rachunkiem: miejsca zerowe funkcji kwadratowej, wartość jej ekstremum oraz znak funkcji liniowej. Miejsca zerowe wpisuj po przecinku (-1, 3), a znak — jako nierówność z niewiadomą, na przykład x > 2.

Częste błędy

• Podawanie punktu zamiast miejsca zerowego — miejscem zerowym jest liczba $-1$, a nie para $(-1, 0)$.
• Mylenie wartości ekstremum z argumentem — minimum wynosi $-4$, a jest przyjmowane dla $x = 1$.
• Zamiana dziedziny ze zbiorem wartości — dziedzina to cień na osi poziomej, zbiór wartości na pionowej.
• Monotoniczność w punkcie — rosnąca i malejąca to własności przedziału.
• „Monotoniczna" jako synonim „rosnącej" — malejąca też jest monotoniczna.
• Odczyt znaku bez miejsc zerowych — to one wyznaczają granice przedziałów znaku.