Co to jest funkcja wymierna?

Iloraz dwóch wielomianów, czyli f(x) = P(x)/Q(x), przy czym mianownik nie może być zerem. Wielomian jest szczególnym przypadkiem, gdy mianownik jest stałą różną od zera. Funkcja homograficzna to najprostszy nietrywialny przypadek: iloraz dwóch wyrażeń liniowych.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej?

Przyrównać mianownik do zera i wykluczyć znalezione liczby. Dla f(x) = (x + 1)/(x² − 9) rozwiązujemy x² − 9 = 0, czyli x = 3 i x = −3, więc dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych poza tymi dwiema. Licznik na dziedzinę nie wpływa w ogóle.

Czym różni się biegun od dziury w wykresie?

Tym, czy licznik też się zeruje. Jeśli mianownik ma miejsce zerowe, a licznik nie, powstaje asymptota pionowa — wartości uciekają w nieskończoność. Jeśli oba zerują się w tym samym punkcie i czynnik da się skrócić, zostaje tylko dziura: wykres wygląda normalnie, ale jednego punktu w nim brakuje, jak w f(x) = (x² − 4)/(x − 2) w punkcie x = 2.

Jak znaleźć asymptotę poziomą?

Porównać stopnie licznika i mianownika. Gdy stopień licznika jest niższy, asymptotą jest y = 0. Gdy stopnie są równe, asymptotą jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach — dla (3x² + 1)/(2x² − 5) to y = 3/2. Gdy stopień licznika jest wyższy, asymptoty poziomej nie ma.

Kiedy funkcja wymierna ma asymptotę ukośną?

Gdy stopień licznika jest dokładnie o jeden wyższy od stopnia mianownika. Wtedy dzielenie wielomianów daje iloraz będący funkcją liniową plus resztę zanikającą przy dużych argumentach, a ten iloraz jest właśnie równaniem asymptoty. Asymptota ukośna i pozioma nigdy nie występują razem — to ta sama rola grana przez jedną prostą.

Czy wykres może przeciąć swoją asymptotę?

Poziomą i ukośną tak, pionową nigdy. Funkcja f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) ma asymptotę poziomą y = 1 i przecina ją w punkcie x = −0,5. Asymptota opisuje zachowanie krzywej w nieskończoności, a nie zakaz przecięcia w skończonej odległości. Pionowej przeciąć się nie da, bo w tym punkcie funkcja nie ma wartości.

Ile asymptot pionowych może mieć funkcja wymierna?

Tyle, ile mianownik ma miejsc zerowych nieskracających się z licznikiem. Funkcja 1/(x² − 4) ma dwie, w x = −2 i x = 2, i jej wykres rozpada się na trzy gałęzie. Funkcja 1/(x² + 1) nie ma żadnej, bo mianownik nigdy się nie zeruje.

Po co w ogóle szukać asymptot?

Bo dają szkic wykresu bez liczenia dziesiątek punktów. Trzy proste — pionowe w biegunach i jedna pozioma lub ukośna — wyznaczają ramę, w której krzywa musi się zmieścić; dokłada się do tego miejsca zerowe i znak, i kształt jest gotowy. To ta sama informacja, którą później precyzyjnie opisuje granica funkcji.

Poziom zaawansowany

Funkcje wymierne i asymptoty

Iloraz dwóch wielomianów, kilka punktów wyrzuconych z dziedziny i trzy rodzaje prostych, do których krzywa dąży. Zobacz, kiedy w miejscu zerowym mianownika powstaje asymptota, a kiedy tylko dziura, jak porównanie stopni daje asymptotę poziomą i skąd bierze się asymptota ukośna.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Koszt jednostkowy w produkcji
Uruchomienie linii kosztuje 40 000 zł, a każda sztuka 12 zł, więc koszt jednej sztuki wynosi k(n) = (40000 + 12n)/n. Przy 500 sztukach to 92 zł, przy 5000 już 20 zł, a przy 50 000 — 12,80 zł. Asymptota pozioma y = 12 mówi, gdzie ta krzywa się zatrzymuje: poniżej kosztu materiału nie zejdzie się nigdy, choćby produkcja rosła bez końca.
Stężenie leku we krwi
Farmakolog modeluje stężenie wzorem C(t) = 5t/(t² + 4) mg/l. Po godzinie daje to 1 mg/l, po dwóch — maksimum 1,25 mg/l, po ośmiu tylko 0,59 mg/l. Stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika, więc asymptotą poziomą jest y = 0: lek prędzej czy później znika z organizmu, a krzywa opisuje, jak szybko.
Ogniskowa soczewki
Równanie soczewki 1/f = 1/x + 1/y po przekształceniu daje y = fx/(x − f) — funkcja wymierna z biegunem w x = f. Dla soczewki o ogniskowej 5 cm i przedmiotu w odległości 8 cm obraz powstaje w 13,3 cm. Im bliżej ogniska stawiamy przedmiot, tym dalej ucieka obraz: przy 5,1 cm jest już 255 cm, i to jest fizyczna treść asymptoty pionowej.
Średnia prędkość w obie strony
Kurier jedzie 60 km w jedną stronę z prędkością 80 km/h, a wraca z prędkością v. Średnia prędkość całej trasy to nie zwykła średnia, lecz v_śr = 160v/(80 + v). Przy powrocie 40 km/h wychodzi 53,3 km/h, a nie 60 km/h. Asymptota pozioma y = 160 pokazuje granicę absurdu: nawet powrót z prędkością nieskończoną nie da średniej większej niż 160 km/h, bo pierwsza połowa trasy i tak zajęła 45 minut.

Wszystkie wzory

Funkcja wymierna
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0$
iloraz dwóch wielomianów
Dziedzina
$D_f = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0\}$
miejsca zerowe mianownika są wykluczone
Biegun
$x = x_0 \ \text{— asymptota pionowa}$
gdy Q(x_0)=0 i P(x_0) \neq 0
Asymptota pozioma
$\deg P < \deg Q \implies y = 0$
mianownik rośnie szybciej
Asymptota pozioma
$\deg P = \deg Q \implies y = \frac{a_P}{a_Q}$
iloraz współczynników wiodących
Asymptota ukośna
$\deg P = \deg Q + 1 \implies y = ax + b$
iloraz z dzielenia wielomianów

Koszt wyprodukowania jednej sztuki spada, im więcej sztuk wyprodukujesz — ale nie spadnie poniżej kosztu materiału. Ta granica z dołu jest asymptotą, a wzór, który ją opisuje, to funkcja wymierna.

Definicja i dziedzina

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0

gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami. Cała osobliwość tej rodziny bierze się z jednego zakazu — nie wolno dzielić przez zero — więc miejsca zerowe mianownika wypadają z dziedziny:

D_f = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0\}

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = (2x + 5)/(x² − 3x − 10).

Biegun czy dziura

Miejsce zerowe mianownika nie zawsze daje asymptotę. Rozstrzyga to, czy licznik zeruje się razem z nim.

przypadek	co się dzieje	przykład
$Q(x_0) = 0$ , $P(x_0) \neq 0$	biegun — asymptota pionowa	$\dfrac{1}{x-2}$ w $x = 2$
$Q(x_0) = 0$ , $P(x_0) = 0$ , czynnik się skraca	dziura — brak jednego punktu	$\dfrac{x^2-4}{x-2}$ w $x = 2$

W drugim przypadku po skróceniu zostaje $x + 2$ , czyli zwykła prosta — ale punkt $x = 2$ nadal nie należy do dziedziny. Wykres wygląda jak prosta z wykłutym jednym punktem.

Skrócenie ułamka nie przywraca wykluczonego argumentu. Dziedzinę ustala się przed upraszczaniem, nigdy po.

Asymptota pionowa

W biegunie wartości funkcji rosną albo maleją bez ograniczeń. Dla $f(x) = \tfrac{1}{x-2}$ :

$x$	$2{,}1$	$2{,}01$	$2{,}001$	$1{,}999$	$1{,}99$
$f(x)$	$10$	$100$	$1000$	$-1000$	$-100$

Z prawej strony krzywa ucieka w górę, z lewej w dół — i to jest typowe zachowanie przy biegunie pojedynczym. Przy biegunie podwójnym, jak w $\tfrac{1}{(x-2)^2}$ , obie gałęzie uciekają w tę samą stronę.

Asymptota pionowa stoi w każdym miejscu zerowym mianownika, które nie skraca się z licznikiem. Bieguny mogą więc być dwa, trzy albo żaden.

Dwa bieguny, trzy gałęzie. Mianownik x² − 4 zeruje się w −2 i w 2, więc dziedzina rozpada się na trzy przedziały, a wykres — na trzy osobne kawałki.

Asymptota pozioma

Przy bardzo dużych argumentach o wartości ułamka decydują wyłącznie najwyższe potęgi — reszta wyrazów rośnie za wolno, żeby cokolwiek zmienić. Stąd cała reguła sprowadza się do porównania stopni:

stopnie	asymptota pozioma	przykład
$\deg P < \deg Q$	$y = 0$	$\dfrac{2x+1}{x^2-3} \to 0$
$\deg P = \deg Q$	$y = \dfrac{a_P}{a_Q}$	$\dfrac{3x^2+x}{2x^2-5} \to \dfrac{3}{2}$
$\deg P > \deg Q$	brak	$\dfrac{x^3}{x+1}$ rośnie bez ograniczeń

gdzie $a_P$ i $a_Q$ to współczynniki przy najwyższych potęgach.

Asymptotę poziomą wolno przeciąć. Funkcja $f(x) = \tfrac{x^2 - 2x}{x^2+1}$ dąży do $y = 1$ , a po drodze tę prostą przecina — asymptota mówi o zachowaniu w nieskończoności, a nie o zakazie w skończonej odległości. To odróżnia ją od asymptoty hiperboli z lekcji o proporcjonalności odwrotnej, której przeciąć się nie da.

Asymptota ukośna

Gdy stopień licznika jest dokładnie o jeden wyższy, wykres w nieskończoności upodabnia się nie do prostej poziomej, lecz do skośnej. Znajduje się ją dzieleniem wielomianów.

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}

Dzielimy każdy składnik osobno:

f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}

Składnik $\tfrac{1}{x}$ dąży do zera, więc dla dużych $|x|$ funkcja zachowuje się jak $y = x$ .

Asymptota pionowa w zerze i ukośna y = x. Im dalej od początku układu, tym ciaśniej krzywa przywiera do skośnej prostej — różnica między nimi wynosi dokładnie 1/x.

Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji f(x) = (x² + 3x − 4)/(x − 1).

Wyznacz asymptoty funkcji f(x) = (2x² − x + 3)/(x + 1).

Szkic wykresu w czterech krokach

Dziedzina — miejsca zerowe mianownika.
Skrócenie — czy któreś z nich jest dziurą, a nie biegunem.
Asymptoty — pionowe w biegunach, a do tego pozioma albo ukośna, nigdy obie.
Miejsca zerowe i znak — tam, gdzie zeruje się licznik.

Cztery kroki dają ramę, w której krzywa musi się zmieścić, bez rysowania tabeli wartości. To samo zachowanie opisuje później ściśle granica funkcji: asymptota pozioma to granica w nieskończoności, a pionowa — granica nieskończona w punkcie.

Zadania

Zestaw sprawdza trzy rodzaje asymptot osobno: pionową (miejsce zerowe mianownika, które nie skraca się z licznikiem), poziomą (porównanie stopni) i ukośną (dzielenie wielomianów). Pionową i poziomą wpisujesz jako liczbę — prosta jest nazwana w poleceniu — a ukośną jako wzór prostej, np. x+3. Dziedziny nie odpytujemy tutaj: ćwiczy ją dział algebry, przy wyrażeniach wymiernych, gdzie wykłada się jej regułę.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Asymptota pionowa x: f(x) = (x − 4)/(x − 3)

Częste błędy

Szukanie asymptoty pionowej bez sprawdzenia skrócenia — jeśli licznik zeruje się razem z mianownikiem, zostaje dziura, a nie biegun.
Ustalanie dziedziny po uproszczeniu ułamka — skrócenie nie przywraca wykluczonego argumentu.
Odczytywanie asymptoty poziomej z wyrazów wolnych — liczą się współczynniki przy najwyższych potęgach.
Podawanie asymptoty poziomej i ukośnej naraz — funkcja ma co najwyżej jedną z nich.
Uznanie, że wykres nie może przeciąć asymptoty — poziomą i ukośną może; pionowej nie, bo tam nie ma wartości.
Szukanie asymptoty ukośnej przy różnicy stopni większej niż jeden — wtedy nie ma jej wcale, a wykres rośnie szybciej niż każda prosta.

Karta wzorów

Temat: Funkcje wymierne i asymptoty

Funkcja wymierna
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0$
iloraz dwóch wielomianów
Dziedzina
$D_f = \{x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0\}$
miejsca zerowe mianownika są wykluczone
Biegun
$x = x_0 \ \text{— asymptota pionowa}$
gdy Q(x_0)=0 i P(x_0) \neq 0
Asymptota pozioma
$\deg P < \deg Q \implies y = 0$
mianownik rośnie szybciej
Asymptota pozioma
$\deg P = \deg Q \implies y = \frac{a_P}{a_Q}$
iloraz współczynników wiodących
Asymptota ukośna
$\deg P = \deg Q + 1 \implies y = ax + b$
iloraz z dzielenia wielomianów

Funkcja f(x) = (x² + 1)/x. W zerze stoi asymptota pionowa, a przy dużych argumentach krzywa przywiera do prostej y = x — to jest asymptota ukośna, wynik dzielenia licznika przez mianownik.

Funkcja f(x) = 1/(x² − 4) ma dwa bieguny, w x = −2 i x = 2, więc jej wykres składa się z trzech gałęzi. Asymptota pozioma to y = 0, bo stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min