Granica funkcji

Wielkości zwykle nie interesują nas w jednym punkcie, tylko w drodze do niego. Granica opisuje właśnie to: do jakiej liczby zmierzają wartości $f(x)$, gdy argument zbliża się do $x_0$ — przy czym samego punktu $x_0$ nigdy nie bierzemy pod uwagę.

Czytamy: „granica funkcji $f$ przy $x$ dążącym do $x_0$ równa się $g$". Zwróć uwagę, że w tym zdaniu nie pada słowo „wartość" — i to nie jest przypadek.

Gdy wystarczy podstawić

Dla funkcji ciągłej — a wielomian jest ciągły w każdym punkcie — granica jest po prostu wartością:

Dlatego $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x) = 9 - 6 = 3$: nie ma tu żadnej sztuczki, wykres nie ma w tym miejscu ani dziury, ani skoku, więc „dążenie do" i „bycie w" dają to samo. Tak liczy się większość granic, jakie spotkasz — i dlatego warto najpierw spróbować podstawić. Samo słowo „ciągła" definiujemy w tej lekcji dalej, bo definicja potrzebuje granic jednostronnych, których jeszcze nie mamy.

Kłopot zaczyna się dopiero wtedy, gdy podstawienie daje coś bez sensu.

Symbol nieoznaczony 0/0

Spójrz na funkcję

Dla $x = 2$ mianownik jest zerem, więc funkcja nie ma tam wartości — jej dziedziną są wszystkie liczby poza dwójką. Podstawienie daje $\tfrac{0}{0}$, czyli nic. A jednak wykres wygląda tak:

Bo dla każdego $x \neq 2$ wolno skrócić wspólny czynnik:

Granica nie zagląda do punktu $x_0$, więc to skrócenie jest w pełni legalne:

Symbol $\tfrac{0}{0}$ nazywamy nieoznaczonym dokładnie dlatego, że sam z siebie nic nie znaczy: inne dwie funkcje dające w tym punkcie $\tfrac{0}{0}$ mogą mieć granicę $0$, $-7$ albo żadną. To nie wynik, tylko informacja, że rachunek trzeba przeprowadzić inaczej.

Granice w nieskończoności

Drugie pytanie, jakie stawiamy funkcji, brzmi: co się z nią dzieje, gdy argument rośnie bez końca? Dla funkcji wymiernej rozstrzyga to porównanie stopni.

Asymptotę — pionową, poziomą i ukośną — wykłada temat o funkcjach wymiernych; tutaj patrzymy na nią od strony granicy, bo asymptota pozioma to nic innego niż granica funkcji w nieskończoności.

Przy równych stopniach liczy się tylko iloraz współczynników przy najwyższej potędze — reszta wyrazów rośnie za wolno, żeby cokolwiek zmienić:

Gdy stopień licznika jest niższy, mianownik rośnie szybciej i iloraz zanika:

Formalnie robimy to samo w obu przypadkach: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika i korzystamy z tego, że $\tfrac{1}{x} \to 0$.

Granice jednostronne

Do punktu można dojść z dwóch stron — i czasem to robi różnicę. Granica lewostronna bierze pod uwagę tylko argumenty mniejsze od $x_0$, prawostronna tylko większe:

Granica zwykła istnieje dokładnie wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są sobie równe:

Kiedy granicy nie ma

Najczystszy przykład to $f(x) = \tfrac{1}{x}$ w zerze:

Z prawej strony wartości rosną nieograniczenie, z lewej maleją nieograniczenie:

Takie granice nazywamy niewłaściwymi. Zapis z $\infty$ nie oznacza, że granicą jest jakaś liczba — to skrótowy opis zachowania „rośnie bez ograniczenia". A ponieważ obie strony uciekają w przeciwne strony, granica $\lim_{x \to 0} \tfrac{1}{x}$ nie istnieje.

Trzy typowe sytuacje, w których granicy nie ma:

• różne granice jednostronne — funkcja skacze, jak przy zmianie taryfy o północy;
• ucieczka w przeciwne nieskończoności — przypadek $\tfrac{1}{x}$ powyżej;
• oscylacja — wartości bez końca się wahają i nie ustalają kierunku.

Ciągłość w punkcie

Na początku lekcji padło zdanie: „dla funkcji ciągłej wystarczy podstawić". Teraz mamy już wszystko, żeby powiedzieć, co ono znaczy — bo ciągłość definiuje się przez granicę, a nie odwrotnie.

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy spełnia trzy warunki naraz:

1. ma w $x_0$ wartość, czyli $x_0$ należy do dziedziny;
2. ma w $x_0$ granicę, czyli obie granice jednostronne istnieją i są równe;
3. ta granica równa się wartości.

Krócej, jednym wierszem:

Warunki są trzy, bo każdy potrafi zawieść osobno — i każdy taki przypadek już w tej lekcji był:

• $\tfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ w punkcie $x_0 = 2$ łamie pierwszy: granica wynosi $4$, ale wartości nie ma wcale;
• cennik kuriera przy $30$ kg łamie drugi: wartość jest, tylko granice jednostronne się różnią;
• funkcja równa $x + 2$ wszędzie poza dwójką, w której z uporem przyjmuje $100$, łamie wyłącznie trzeci: i granica, i wartość istnieją, ale nie są sobie równe.

Funkcja jest ciągła na przedziale, gdy jest ciągła w każdym jego punkcie. Wielomiany są ciągłe w całym $\mathbb{R}$, funkcje wymierne wszędzie poza miejscami zerowymi mianownika, a sinus i cosinus wszędzie. I to jest cała treść zdania, od którego zaczęliśmy: dla takich funkcji granica jest podstawieniem, bo trzeci warunek mówi dokładnie tyle.

Rodzaje nieciągłości

Skoro warunki mogą zawieść na trzy sposoby, to i nieciągłości nie są wszystkie takie same. Nazwa mówi w każdym przypadku, co da się z nią zrobić.

Nieciągłość usuwalna — granica w punkcie istnieje, brakuje tylko wartości albo wartość jest inna. Wystarczy jedną liczbę dopisać lub poprawić, żeby funkcja stała się ciągła, i stąd nazwa. Na wykresie widać wtedy dziurę: jeden brakujący punkt, jak w $\tfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ w dwójce.

Nieciągłość skokowa — obie granice jednostronne istnieją, ale się różnią. Żadna wartość dopisana w punkcie tego nie naprawi, bo naprawić trzeba by dwie strony naraz. Wykres skacze, jak taryfa kuriera na trzydziestu kilogramach.

Nieciągłość drugiego rodzaju — co najmniej jedna granica jednostronna w ogóle nie istnieje: wartości uciekają do nieskończoności, jak $\tfrac{1}{x}$ w zerze, albo oscylują bez ustalonego kierunku.

Pierwszy i trzeci przypadek to dokładnie ta para, którą temat o funkcjach wymiernych rozróżnia jako dziurę i biegun: gdy wspólny czynnik licznika i mianownika się skraca, zostaje nieciągłość usuwalna; gdy nie ma czego skrócić, stoi tam asymptota pionowa.

Własność Darboux

Ciągłość nie jest tylko etykietą ułatwiającą rachunki — pociąga za sobą twierdzenie, którego nie widać z żadnego pojedynczego podstawienia.

Własność Darboux. Jeżeli $f$ jest ciągła na przedziale domkniętym $\langle a; b \rangle$, to przyjmuje każdą wartość pośrednią między $f(a)$ a $f(b)$.

Intuicja jest dosłownie rysunkowa: wykres funkcji ciągłej prowadzi się bez odrywania ołówka, więc przechodząc z wysokości $f(a)$ na wysokość $f(b)$, nie da się po drodze żadnej wysokości przeskoczyć.

Najczęściej korzystamy z wniosku dotyczącego jednej wartości pośredniej — zera:

Iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy wartości na końcach mają różne znaki — a wtedy zero leży między nimi.

Zwróć uwagę, czego to twierdzenie nie mówi. Nie podaje $c$, nie mówi, ile takich $c$ jest — może być wiele — i nie obowiązuje bez ciągłości: cennik kuriera przeskakuje z 22 zł na 68 zł i nie przyjmuje po drodze żadnej wartości pośredniej.

Po co nam granica

Bo jest jedynym narzędziem, które radzi sobie z pytaniem „ile wynosi zmiana w punkcie". Iloraz różnicowy — wyrażenie, z którego za chwilę powstanie pochodna — dla coraz mniejszych odstępów zmierza do $\tfrac{0}{0}$, więc bez granicy nie da się go policzyć w ogóle.

Dokładnie ten sam mechanizm sprawia, że pole pod krzywą można podzielić na coraz cieńsze paski i przejść do granicy — a wtedy suma pól prostokątów staje się całką. Obie kolejne lekcje tej ścieżki stoją więc na tym jednym pojęciu.

Ćwiczenia

Zadania obejmują trzy sytuacje z tej lekcji: granicę wielomianu (czyli zwykłe podstawienie), symbol $\tfrac{0}{0}$ wymagający skrócenia oraz granicę w nieskończoności. Wszystkie mają skończone wyniki, więc odpowiedzią jest zawsze liczba — przypadki z $\infty$ i „granica nie istnieje" rozstrzygasz rozumowaniem, nie wpisywaniem.

Częste błędy

• Traktowanie 0/0 jako wyniku — to symbol nieoznaczony, czyli polecenie „policz inaczej", a nie liczba.
• Mylenie granicy z wartością — funkcja może nie mieć w punkcie wartości, a mimo to mieć granicę.
• Podstawianie ∞ do wzoru — nieskończoność nie jest liczbą; porównujemy stopnie albo dzielimy przez najwyższą potęgę.
• Uznanie granicy za istniejącą po sprawdzeniu jednej strony — obie jednostronne muszą być równe.
• Skracanie bez rozkładu na czynniki — w $\tfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ nie wolno skrócić samych „x"; najpierw rozkład, potem skrócenie.
• Zapisanie granicy niewłaściwej jako liczby — $+\infty$ to opis zachowania, a nie wynik do wpisania w odpowiedzi.
• Mylenie istnienia granicy z ciągłością — granica może istnieć tam, gdzie funkcja nie ma wartości; ciągłość wymaga obu naraz i ich równości.
• Stosowanie własności Darboux do funkcji nieciągłej — twierdzenie zakłada ciągłość na całym przedziale; bez niej wykres wolno przeskoczyć oś i zera może nie być.