Poziom zaawansowany

Zastosowania pochodnej

Znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje, a jej miejsca zerowe wskazują kandydatów na ekstrema. Naucz się pisać równanie stycznej, czytać tabelę znaków i znajdować wartość największą.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Wszystkie wzory

  • Równanie stycznej

    y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

    prosta o nachyleniu f′(x₀) przechodząca przez punkt styczności

  • Funkcja rosnąca

    f′(x)>0 w przedziale  ⟹  f rosnącaf'(x) > 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{rosnąca}

    dodatnia pochodna to wznosząca się styczna

  • Funkcja malejąca

    f′(x)<0 w przedziale  ⟹  f malejącaf'(x) < 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{malejąca}

    ujemna pochodna to opadająca styczna

  • Warunek konieczny ekstremum

    f′(x0)=0f'(x_0) = 0

    punkt krytyczny — kandydat, jeszcze nie ekstremum

  • Warunek wystarczający (maksimum)

    f′:+→− w x0  ⟹  maksimum w x0f' : + \to - \ \text{w} \ x_0 \implies \text{maksimum w} \ x_0

    pochodna musi ZMIENIĆ znak z plusa na minus

  • Warunek wystarczający (minimum)

    f′:−→+ w x0  ⟹  minimum w x0f' : - \to + \ \text{w} \ x_0 \implies \text{minimum w} \ x_0

    z minusa na plus — dołek zamiast garbu

Pochodna nie jest celem sama w sobie. Jej wartość mówi, jak stromo biegnie wykres, a jej znak — w którą stronę. Z tych dwóch informacji da się odczytać kształt funkcji, nie rysując jej.

Równanie stycznej

Styczna w punkcie x0x_0 jest prostą, więc do jej opisu wystarczą nachylenie i jeden punkt. Nachyleniem jest pochodna, a punktem — (x0, f(x0))(x_0,\ f(x_0)):

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
012345−20246810xyy = 2x − 4P(3, 2)f(x) = x² − 4x + 5
Styczna dotyka paraboli dokładnie w jednym punkcie i ma w nim to samo nachylenie co krzywa. Tutaj: f′(3) = 2, więc styczna wznosi się o 2 na każdą jednostkę w prawo.
Napisz równanie stycznej do wykresu f(x) = x² − 4x + 5 w punkcie o odciętej x₀ = 3.

Znak pochodnej a monotoniczność

Skoro pochodna jest nachyleniem stycznej, to jej znak mówi wprost, w którą stronę biegnie wykres:

f′(x)>0 w przedziale  ⟹  f rosnąca w tym przedzialef'(x) > 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{rosnąca w tym przedziale} f′(x)<0 w przedziale  ⟹  f malejąca w tym przedzialef'(x) < 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{malejąca w tym przedziale}

To zamienia pytanie o monotoniczność — które wcześniej odczytywaliśmy z rysunku — w nierówność. Zamiast oglądać wykres, rozwiązujemy f′(x)>0f'(x) > 0.

Zwróć uwagę na słowo „w przedziale". Monotoniczność jest własnością przedziału, nie punktu, więc odpowiedzią zawsze jest przedział, a nie liczba.

Punkty krytyczne

Między przedziałem, w którym funkcja rośnie, a takim, w którym maleje, musi być miejsce, gdzie przestaje robić jedno, a zaczyna drugie. Pochodna przechodzi tam przez zero:

f′(x0)=0f'(x_0) = 0

Taki argument nazywamy punktem krytycznym, a warunek — koniecznym dla istnienia ekstremum. Konieczny, ale niewystarczający: to dopiero lista kandydatów.

Kontrprzykład, który warto zapamiętać: dla f(x)=x3f(x) = x^3 pochodna 3x23x^2 zeruje się w zerze, ale po obu stronach jest dodatnia. Funkcja przez cały czas rośnie, a w zerze jedynie na chwilę się wypłaszcza — ekstremum tam nie ma.

Warunek wystarczający

Ekstremum wymaga, żeby pochodna zmieniła znak:

f′:+→− w x0  ⟹  maksimum lokalne w x0f' : + \to - \ \text{w} \ x_0 \implies \text{maksimum lokalne w} \ x_0 f′:−→+ w x0  ⟹  minimum lokalne w x0f' : - \to + \ \text{w} \ x_0 \implies \text{minimum lokalne w} \ x_0
−3−2−10123−3−2−10123xyf′(−1) = 0f′(1) = 0maksimumminimumf(x) = x³ − 3x
W obu punktach krytycznych styczna jest pozioma. Na lewo od x = −1 funkcja rośnie, między −1 a 1 maleje, dalej znowu rośnie — stąd garb i dołek.
Zbadaj monotoniczność i ekstrema funkcji f(x) = x³ − 3x.

Optymalizacja

Najbardziej praktyczne zastosowanie pochodnej: znaleźć wartość największą lub najmniejszą. Schemat jest zawsze ten sam — zapisz wielkość jako funkcję jednej zmiennej, przyrównaj pochodną do zera, sprawdź znakiem, czy to na pewno ten rodzaj ekstremum.

Piłka rzucona pionowo w górę ma wysokość h(t) = 20t − 5t² (metry, sekundy). Kiedy osiągnie najwyższy punkt i jak wysoko?

Ćwiczenia

Trzy pytania odpowiadają trzem krokom tej lekcji. W zadaniu o styczną wpisz prawą stronę równania y=…y = \ldots, czyli samo wyrażenie w rodzaju 2x - 4. W zadaniu o miejsca zerowe pochodnej podaj oba punkty krytyczne w osobnych polach x1x_1 i x2x_2. W zadaniu o ekstremum odpowiedzią jest jego wartość, czyli wysokość garbu lub dołka — nie argument, w którym jest przyjmowana.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
Styczna do wykresu: f(x) = 2x² + x + 6, x₀ = 2 → y

Częste błędy

  • Styczna bez punktu styczności — samo f′(x0)f'(x_0) daje nachylenie; prosta musi jeszcze przechodzić przez (x0, f(x0))(x_0,\ f(x_0)).
  • Ekstremum z samego f′(x₀) = 0 — to warunek konieczny; bez zmiany znaku ekstremum nie ma (przykład: x3x^3 w zerze).
  • Podanie argumentu zamiast wartości ekstremum — ekstremum to f(x0)f(x_0), a nie x0x_0.
  • Monotoniczność w punkcie — funkcja rośnie w przedziale, więc odpowiedzią jest przedział.
  • Mylenie ekstremum lokalnego z wartością największą — lokalne dotyczy tylko otoczenia.
  • Znak odczytany z jednej strony — do rozstrzygnięcia potrzebne są oba przedziały wokół punktu krytycznego.

Karta wzorów

Temat: Zastosowania pochodnej

  • Równanie stycznej

    y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

    prosta o nachyleniu f′(x₀) przechodząca przez punkt styczności

  • Funkcja rosnąca

    f′(x)>0 w przedziale  ⟹  f rosnącaf'(x) > 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{rosnąca}

    dodatnia pochodna to wznosząca się styczna

  • Funkcja malejąca

    f′(x)<0 w przedziale  ⟹  f malejącaf'(x) < 0 \ \text{w przedziale} \implies f \ \text{malejąca}

    ujemna pochodna to opadająca styczna

  • Warunek konieczny ekstremum

    f′(x0)=0f'(x_0) = 0

    punkt krytyczny — kandydat, jeszcze nie ekstremum

  • Warunek wystarczający (maksimum)

    f′:+→− w x0  ⟹  maksimum w x0f' : + \to - \ \text{w} \ x_0 \implies \text{maksimum w} \ x_0

    pochodna musi ZMIENIĆ znak z plusa na minus

  • Warunek wystarczający (minimum)

    f′:−→+ w x0  ⟹  minimum w x0f' : - \to + \ \text{w} \ x_0 \implies \text{minimum w} \ x_0

    z minusa na plus — dołek zamiast garbu

012345−20246810xyy = 2x − 4P(3, 2)f(x) = x² − 4x + 5
Styczna do paraboli f(x) = x² − 4x + 5 w punkcie P(3, 2). Jej równanie y = 2x − 4 powstaje z nachylenia f′(3) = 2 i współrzędnych punktu styczności.
−3−2−10123−3−2−10123xyf′(−1) = 0f′(1) = 0maksimumminimumf(x) = x³ − 3x
Wykres f(x) = x³ − 3x z dwiema poziomymi stycznymi. W punktach x = −1 i x = 1 pochodna zeruje się: pierwszy jest maksimum lokalnym o wartości 2, drugi minimum lokalnym o wartości −2.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie
Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min