Co to jest funkcja pierwotna?

Funkcja F, której pochodną jest dana funkcja f, czyli spełniająca warunek F′(x) = f(x). Dla f(x) = 2x pierwotną jest F(x) = x², bo różniczkowanie x² daje 2x. Szukanie funkcji pierwotnej to całkowanie — działanie odwrotne do różniczkowania.

Skąd bierze się stała C w całce nieoznaczonej?

Z tego, że pochodna stałej jest zerem. Jeśli F jest pierwotną f, to F + 5, F − 100 i każde inne przesunięcie w pionie też nią jest, bo wszystkie mają identyczną pochodną. Wynikiem całki nieoznaczonej jest więc cała rodzina funkcji, a C zapisuje tę dowolność.

Czym różni się całka nieoznaczona od oznaczonej?

Nieoznaczona jest FUNKCJĄ (z dokładnością do stałej) i odpowiada na pytanie „czego to jest pochodna". Oznaczona jest LICZBĄ: ma granice całkowania i liczy się ją jako F(b) − F(a). Geometrycznie ta liczba mierzy obszar między wykresem a osią na zadanym przedziale.

Dlaczego stała C nie ma znaczenia w całce oznaczonej?

Bo przy odejmowaniu się skraca: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Dlatego licząc całkę oznaczoną, wybieramy dowolną funkcję pierwotną — najwygodniej tę bez wyrazu wolnego — i nie martwimy się o stałą.

Jak całkuje się potęgi?

Odwrotnie niż się je różniczkuje: wykładnik ROŚNIE o jeden, a potem dzielimy przez ten nowy wykładnik. Stąd ∫x³ dx = x⁴/4 + C. Jedynym wyjątkiem jest n = −1, bo dzielenie przez zero nie ma sensu — całką z 1/x jest logarytm, którego ta lekcja nie obejmuje.

Czy całka oznaczona zawsze równa się polu?

Tylko wtedy, gdy funkcja na całym przedziale jest nieujemna. Fragmenty pod osią wchodzą do całki ze znakiem minus, więc dla f(x) = x − 2 na przedziale od 0 do 4 całka wynosi 0, choć obszar wcale nie jest pusty — jego pole to 4. Pole liczymy wtedy kawałkami, biorąc wartości bezwzględne.

Jak policzyć pole, gdy wykres przecina oś?

Najpierw znajdź miejsca zerowe wewnątrz przedziału, potem policz całkę osobno na każdym kawałku i dodaj wartości bezwzględne wyników. Dodawanie wyników bez modułu daje całkę, a nie pole — i to najczęstsza pułapka w zadaniach o obszar.

Jak sprawdzić, czy dobrze scałkowałem?

Zróżniczkować wynik. Jeśli pochodna otrzymanej funkcji jest równa funkcji podcałkowej, całka jest poprawna — a to sprawdzenie jest zwykle szybsze niż samo całkowanie. Warto je robić zawsze, bo błąd we współczynniku wychodzi natychmiast.

Poziom zaawansowany

Całka

Całkowanie jest odwrotnością różniczkowania: szukamy funkcji, której pochodną jest dana funkcja. Całka nieoznaczona daje wzór z dokładnością do stałej, oznaczona — liczbę, a ta liczba to pole pod krzywą.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Pochodna funkcjiPochodna mierzy tempo zmiany funkcji w punkcie — jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu. Poznaj definicję przez iloraz różnicowy i sześć reguł, którymi liczy się ją bez granic.

Wszystkie wzory

Funkcja pierwotna
$F'(x) = f(x)$
F jest pierwotną f, gdy różniczkowanie F daje f
Całka nieoznaczona
$\int f(x)\,dx = F(x) + C$
wynikiem jest cała RODZINA funkcji, stąd stała C
Reguła potęgi
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
wykładnik rośnie o jeden i dzielimy przez nowy wykładnik
Wzór Newtona–Leibniza
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
stała C znika przy odejmowaniu, więc nie ma znaczenia
Pole pod krzywą
$f(x) \geq 0 \ \text{w} \ \langle a; b \rangle \implies P = \int_a^b f(x)\,dx$
całka oznaczona równa polu tylko nad osią
Pole ogólnie
$P = \int_a^b |f(x)|\,dx$
gdy krzywa schodzi pod oś, pole liczymy kawałkami
Funkcje trygonometryczne
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$
minus wędruje na drugą stronę niż przy różniczkowaniu

Różniczkowanie odpowiada na pytanie „jak szybko to się zmienia". Całkowanie zadaje pytanie odwrotne: znam tempo zmian, jaka była wielkość? To działanie odwrotne do pochodnej — i jednocześnie sposób na mierzenie pól obszarów ograniczonych krzywą.

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna funkcji $f$ to taka funkcja $F$ , której pochodną jest $f$ :

F'(x) = f(x)

Dla $f(x) = 2x$ pierwotną jest $F(x) = x^2$ , bo różniczkowanie $x^2$ daje $2x$ . Ale $x^2 + 7$ też, i $x^2 - 100$ też — pochodna stałej jest zerem, więc każde przesunięcie wykresu w pionie zachowuje nachylenie w każdym punkcie.

Funkcji pierwotnych jest zatem nieskończenie wiele i różnią się wyłącznie stałą.

Całka nieoznaczona

Zapisujemy to tak:

\int f(x)\,dx = F(x) + C

Znak $\int$ to wydłużone „S" od sumy, a $dx$ mówi, po której zmiennej całkujemy. Stała całkowania $C$ nie jest ozdobnikiem: bez niej zapis oznaczałby jedną funkcję zamiast całej rodziny.

Reguła potęgi jest dokładnym odwróceniem tej znanej z różniczkowania — wykładnik rośnie o jeden, a potem dzielimy przez nowy wykładnik:

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)

funkcja	całka
$k$ (stała)	$kx + C$
$x$	$\dfrac{x^2}{2} + C$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3} + C$
$\dfrac{k}{x^2}$	$-\dfrac{k}{x} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$

Zastrzeżenie $n \neq -1$ bierze się stąd, że dla $n = -1$ trzeba by dzielić przez zero. Całką z $\tfrac{1}{x}$ jest logarytm — poza zakresem tej lekcji.

Sumę całkujemy wyraz po wyrazie, a stały mnożnik przechodzi przez całkę tak samo jak przez pochodną.

Policz całkę nieoznaczoną ∫ (6x² − 4x + 5) dx i sprawdź wynik.

Całka oznaczona i wzór Newtona–Leibniza

Gdy do znaku całki dopiszemy granice całkowania, wynikiem przestaje być funkcja, a staje się liczba:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

To wzór Newtona–Leibniza, jedno z najważniejszych twierdzeń matematyki: łączy różniczkowanie z mierzeniem pól. Rachunek ma trzy kroki — znajdź funkcję pierwotną, podstaw górną granicę, odejmij wartość dla dolnej.

Stała $C$ jest tu bez znaczenia, bo skraca się przy odejmowaniu:

(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)

Policz całkę oznaczoną ∫ od 1 do 3 z (3x² − 4x + 1) dx.

Pole pod krzywą

Skąd w ogóle pola? Podzielmy obszar pod wykresem na wąskie pionowe paski. Każdy jest prawie prostokątem o polu $f(x) \cdot \Delta x$ , a im węższe paski, tym mniejszy błąd. Przy przejściu granicznym — dokładnie takim, jakie poznaliśmy przy pochodnej — suma pól prostokątów staje się całką.

Obszar pod prostą f(x) = 2x od 0 do 3. Tutaj wynik da się sprawdzić geometrią: to trójkąt o podstawie 3 i wysokości 6.

Dla funkcji nieujemnej na całym przedziale całka oznaczona jest po prostu polem:

f(x) \geq 0 \ \text{w} \ \langle a; b \rangle \implies P = \int_a^b f(x)\,dx

Sprawdźmy to na rysunku powyżej. Pole trójkąta o podstawie $3$ i wysokości $6$ wynosi $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ , a całka:

\int_0^3 2x\,dx = \big[x^2\big]_0^3 = 9 - 0 = 9

Zgadza się — i to jest cała siła metody: przy prostej wynik znamy z geometrii, ale całka policzy tak samo obszar pod dowolną krzywą, dla której nie ma żadnego wzoru z podręcznika figur.

Policz pole obszaru ograniczonego wykresem f(x) = x², osią OX i prostymi x = 0 oraz x = 2.

Gdy krzywa schodzi pod oś

Całka oznaczona liczy pole ze znakiem: fragmenty poniżej osi wchodzą do niej z minusem. Dlatego równość „całka = pole" obowiązuje tylko dla funkcji nieujemnych.

Dwa zacieniowane trójkąty mają identyczne pole 2, ale leżą po przeciwnych stronach osi. Całka je odejmuje i daje 0; pole obszaru wynosi 4.

Policzmy oba wyniki. Funkcją pierwotną jest $F(x) = \tfrac{x^2}{2} - 2x$ , więc:

\int_0^4 (x - 2)\,dx = (8 - 8) - 0 = 0

Pole natomiast liczymy kawałkami, biorąc wartości bezwzględne:

P = \left| \int_0^2 (x - 2)\,dx \right| + \left| \int_2^4 (x - 2)\,dx \right| = |-2| + |2| = 4

Ogólnie:

P = \int_a^b |f(x)|\,dx

Przepis jest prosty: znajdź miejsca zerowe wewnątrz przedziału, policz całkę na każdym kawałku osobno i dodaj wartości bezwzględne wyników.

Dwa pytania, dwie odpowiedzi

Warto zapamiętać, czym różnią się trzy rzeczy, które łatwo pomylić:

całka nieoznaczona — funkcja (rodzina funkcji), odpowiedź na pytanie „czego to jest pochodna";
całka oznaczona — liczba, wynik odejmowania $F(b) - F(a)$ , może być ujemna;
pole — liczba nieujemna, równa całce tylko wtedy, gdy krzywa nie schodzi pod oś.

Ta ostatnia różnica jest najczęstszym źródłem błędnych odpowiedzi w zadaniach o obszar.

Ćwiczenia

Trzy typy pytań odpowiadają trzem częściom lekcji. Przy całce nieoznaczonej wpisz funkcję pierwotną — stałą C możesz dopisać albo pominąć, bo odpowiedź sprawdzana jest z dokładnością do stałej. Przy całce oznaczonej odpowiedzią jest liczba, która może wyjść ujemna. Przy polu pod wykresem odpowiedź jest zawsze nieujemna, a w trudniejszych zadaniach krzywa przecina oś wewnątrz przedziału — wtedy pole liczy się kawałkami.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

∫ (2x + 6) dx =

Częste błędy

Pominięcie stałej C — w całce nieoznaczonej wynikiem jest rodzina funkcji, więc $+\,C$ należy do odpowiedzi.
Całkowanie jak różniczkowanie — przy całce wykładnik rośnie, a potem dzielimy przez nowy wykładnik.
Utożsamianie całki z polem — pod osią całka jest ujemna, a pole nigdy.
Sumowanie kawałków bez modułu — daje z powrotem całkę, a nie pole.
Odjęcie w złej kolejności — jest $F(b) - F(a)$ , czyli od górnej granicy odejmujemy dolną.
Dodawanie stałej C w całce oznaczonej — i tak się skraca, więc tylko zaśmieca rachunek.

Karta wzorów

Temat: Całka

Funkcja pierwotna
$F'(x) = f(x)$
F jest pierwotną f, gdy różniczkowanie F daje f
Całka nieoznaczona
$\int f(x)\,dx = F(x) + C$
wynikiem jest cała RODZINA funkcji, stąd stała C
Reguła potęgi
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
wykładnik rośnie o jeden i dzielimy przez nowy wykładnik
Wzór Newtona–Leibniza
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
stała C znika przy odejmowaniu, więc nie ma znaczenia
Pole pod krzywą
$f(x) \geq 0 \ \text{w} \ \langle a; b \rangle \implies P = \int_a^b f(x)\,dx$
całka oznaczona równa polu tylko nad osią
Pole ogólnie
$P = \int_a^b |f(x)|\,dx$
gdy krzywa schodzi pod oś, pole liczymy kawałkami
Funkcje trygonometryczne
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$
minus wędruje na drugą stronę niż przy różniczkowaniu

Zacieniowany obszar pod prostą f(x) = 2x na przedziale ⟨0; 3⟩. To trójkąt o podstawie 3 i wysokości 6, więc jego pole wynosi 9 — dokładnie tyle, ile daje całka oznaczona.

Obszar między prostą f(x) = x − 2 a osią na przedziale ⟨0; 4⟩. Dwa trójkąty o polu 2 leżą po przeciwnych stronach osi: całka wynosi 0, a pole 4.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min