Całka

Różniczkowanie odpowiada na pytanie „jak szybko to się zmienia". Całkowanie zadaje pytanie odwrotne: znam tempo zmian, jaka była wielkość? To działanie odwrotne do pochodnej — i jednocześnie sposób na mierzenie pól obszarów ograniczonych krzywą.

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna funkcji $f$ to taka funkcja $F$, której pochodną jest $f$:

Dla $f(x) = 2x$ pierwotną jest $F(x) = x^2$, bo różniczkowanie $x^2$ daje $2x$. Ale $x^2 + 7$ też, i $x^2 - 100$ też — pochodna stałej jest zerem, więc każde przesunięcie wykresu w pionie zachowuje nachylenie w każdym punkcie.

Funkcji pierwotnych jest zatem nieskończenie wiele i różnią się wyłącznie stałą.

Całka nieoznaczona

Zapisujemy to tak:

Znak $\int$ to wydłużone „S" od sumy, a $dx$ mówi, po której zmiennej całkujemy. Stała całkowania $C$ nie jest ozdobnikiem: bez niej zapis oznaczałby jedną funkcję zamiast całej rodziny.

Reguła potęgi jest dokładnym odwróceniem tej znanej z różniczkowania — wykładnik rośnie o jeden, a potem dzielimy przez nowy wykładnik:

Zastrzeżenie $n \neq -1$ bierze się stąd, że dla $n = -1$ trzeba by dzielić przez zero. Ten jeden wykładnik — i funkcję wykładniczą, która w ogóle nie jest potęgą zmiennej — bierze na siebie następna sekcja.

Sumę całkujemy wyraz po wyrazie, a stały mnożnik przechodzi przez całkę tak samo jak przez pochodną.

Dwa wiersze spoza reguły potęgi

Dwa ostatnie wiersze tablicy dostajemy tak samo jak wszystkie poprzednie: odwracając pochodną, którą już znasz. Nowej techniki nie ma tu żadnej — jest tylko czytanie znanej równości od prawej do lewej.

Całka z $\tfrac{1}{x}$. Pochodną logarytmu naturalnego jest $\tfrac{1}{x}$, więc:

Wartość bezwzględna nie jest ozdobnikiem. Logarytm jest określony wyłącznie dla argumentów dodatnich, a $\tfrac{1}{x}$ ma sens także dla ujemnych — i tam funkcją pierwotną jest $\ln(-x)$, bo $(\ln(-x))' = \tfrac{-1}{-x} = \tfrac{1}{x}$. Zapis $\ln\lvert x \rvert$ obejmuje obie połowy dziedziny jednym wzorem. Sam logarytm jako działanie wykłada temat o logarytmach, a jego wykres — funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

To domyka regułę potęgi: dla każdego wykładnika $n \neq -1$ całką jest $\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$, a dla $n = -1$ — logarytm. Żadnej luki już nie ma.

Całka z $e^x$. Funkcja wykładnicza o podstawie $e$ jest własną pochodną, więc jest też własną funkcją pierwotną:

To jedyna funkcja o tej własności — poza mnożeniem przez stałą — i stąd bierze się rola liczby $e$ w całej analizie: przy każdej innej podstawie pochodna i całka wleką za sobą dodatkowy czynnik.

Całka oznaczona i wzór Newtona–Leibniza

Gdy do znaku całki dopiszemy granice całkowania, wynikiem przestaje być funkcja, a staje się liczba:

To wzór Newtona–Leibniza, jedno z najważniejszych twierdzeń matematyki: łączy różniczkowanie z mierzeniem pól. Rachunek ma trzy kroki — znajdź funkcję pierwotną, podstaw górną granicę, odejmij wartość dla dolnej.

Stała $C$ jest tu bez znaczenia, bo skraca się przy odejmowaniu:

Pole pod krzywą

Skąd w ogóle pola? Podzielmy obszar pod wykresem na wąskie pionowe paski. Każdy jest prawie prostokątem o polu $f(x) \cdot \Delta x$, a im węższe paski, tym mniejszy błąd. Przy przejściu granicznym — dokładnie takim, jakie poznaliśmy przy pochodnej — suma pól prostokątów staje się całką.

Dla funkcji nieujemnej na całym przedziale całka oznaczona jest po prostu polem:

Sprawdźmy to na rysunku powyżej. Pole trójkąta o podstawie $3$ i wysokości $6$ wynosi $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$, a całka:

Zgadza się — i to jest cała siła metody: przy prostej wynik znamy z geometrii, ale całka policzy tak samo obszar pod dowolną krzywą, dla której nie ma żadnego wzoru z podręcznika figur.

Gdy krzywa schodzi pod oś

Całka oznaczona liczy pole ze znakiem: fragmenty poniżej osi wchodzą do niej z minusem. Dlatego równość „całka = pole" obowiązuje tylko dla funkcji nieujemnych.

Policzmy oba wyniki. Funkcją pierwotną jest $F(x) = \tfrac{x^2}{2} - 2x$, więc:

Pole natomiast liczymy kawałkami, biorąc wartości bezwzględne:

Ogólnie:

Przepis jest prosty: znajdź miejsca zerowe wewnątrz przedziału, policz całkę na każdym kawałku osobno i dodaj wartości bezwzględne wyników.

Pole między dwiema krzywymi

Dotąd drugą granicą obszaru była zawsze oś, czyli prosta $y = 0$. Nic nie zmusza nas do takiego wyboru: obszar równie dobrze może być zamknięty między dwiema krzywymi.

Rachunek jest ten sam, co poprzednio, tylko pasek jest krótszy. Wąski pionowy pasek nad punktem $x$ sięga od dolnej krzywej do górnej, więc jego wysokość wynosi $f(x) - g(x)$, a pole to suma pól pasków:

Zwróć uwagę, że nie ma tu żadnego założenia o znaku: obie krzywe mogą leżeć pod osią, a różnica $f - g$ i tak jest nieujemna. Znaczenie ma wyłącznie kolejność — od górnej odejmujemy dolną.

Bardzo często przedziału nie ma w treści zadania, bo obszar jest zamknięty samymi krzywymi. Wtedy granice całkowania wyliczamy: to punkty przecięcia, czyli rozwiązania równania $f(x) = g(x)$.

Policzmy to pole. Punkty przecięcia:

więc $a = -2$ i $b = 1$. Na tym przedziale parabola leży wyżej, więc całkujemy $f - g$:

Gdy krzywe zamieniają się miejscami

Wzór zakłada, że na całym przedziale ta sama krzywa jest górna. Jeśli krzywe przecinają się wewnątrz przedziału, założenie przestaje obowiązywać i trzeba postąpić dokładnie tak jak z krzywą przecinającą oś: rozbić przedział w punkcie przecięcia i dodać pola kawałków.

Dwa pytania, dwie odpowiedzi

Warto zapamiętać, czym różnią się trzy rzeczy, które łatwo pomylić:

• całka nieoznaczona — funkcja (rodzina funkcji), odpowiedź na pytanie „czego to jest pochodna";
• całka oznaczona — liczba, wynik odejmowania $F(b) - F(a)$, może być ujemna;
• pole — liczba nieujemna, równa całce tylko wtedy, gdy krzywa nie schodzi pod oś.

Ta ostatnia różnica jest najczęstszym źródłem błędnych odpowiedzi w zadaniach o obszar.

Ćwiczenia

Trzy typy pytań odpowiadają trzem częściom lekcji. Przy całce nieoznaczonej wpisz funkcję pierwotną — stałą C możesz dopisać albo pominąć, bo odpowiedź sprawdzana jest z dokładnością do stałej. Przy całce oznaczonej odpowiedzią jest liczba, która może wyjść ujemna. Przy polu pod wykresem odpowiedź jest zawsze nieujemna, a w trudniejszych zadaniach krzywa przecina oś wewnątrz przedziału — wtedy pole liczy się kawałkami.

Częste błędy

• Pominięcie stałej C — w całce nieoznaczonej wynikiem jest rodzina funkcji, więc $+\,C$ należy do odpowiedzi.
• Całkowanie jak różniczkowanie — przy całce wykładnik rośnie, a potem dzielimy przez nowy wykładnik.
• Utożsamianie całki z polem — pod osią całka jest ujemna, a pole nigdy.
• Sumowanie kawałków bez modułu — daje z powrotem całkę, a nie pole.
• Odjęcie w złej kolejności — jest $F(b) - F(a)$, czyli od górnej granicy odejmujemy dolną.
• Dodawanie stałej C w całce oznaczonej — i tak się skraca, więc tylko zaśmieca rachunek.
• Odejmowanie w złej kolejności między krzywymi — całkujemy górną minus dolną; odwrotnie wychodzi pole ze znakiem minus.
• Pominięcie modułu w $\int \tfrac{1}{x}\,dx$ — $\ln x$ jest pierwotną tylko dla $x > 0$; dla ujemnych argumentów potrzebny jest $\ln\lvert x \rvert$.