Czym różni się szereg od ciągu?

Ciąg to lista liczb, a szereg to ich suma. Z ciągu (aₙ) tworzy się nowy ciąg sum częściowych Sₙ = a₁ + … + aₙ, i dopiero jego granica jest sumą szeregu. Dlatego całą teorię szeregów da się sprowadzić do granicy ciągu — tej samej, którą poznałeś przy ciągach.

Co to jest suma częściowa?

Skończona suma n pierwszych wyrazów, Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Sumy częściowe tworzą własny ciąg, a szereg nazywamy zbieżnym dokładnie wtedy, gdy ten ciąg ma granicę skończoną. Wartość tej granicy jest wtedy sumą szeregu.

Na czym polega warunek konieczny zbieżności?

Jeżeli szereg jest zbieżny, to jego wyrazy muszą dążyć do zera. Warunek działa jednak tylko w jedną stronę: gdy wyrazy nie dążą do zera, szereg na pewno jest rozbieżny, ale samo dążenie do zera niczego nie gwarantuje. Szereg harmoniczny jest tego najsłynniejszym kontrprzykładem.

Dlaczego szereg harmoniczny jest rozbieżny?

Bo jego wyrazy da się pogrupować w bloki, z których każdy waży co najmniej połowę. Po wyrazie 1/2 blok 1/3 + 1/4 przekracza 1/2, następny blok od 1/5 do 1/8 też, i tak dalej — na każdym podwojeniu liczby wyrazów suma rośnie o co najmniej 1/2. Nieskończenie wiele takich przyrostów nie może dać skończonej granicy.

Kiedy stosować kryterium d’Alemberta, a kiedy Cauchy’ego?

D’Alemberta, gdy w wyrazie stoi silnia albo iloczyn, bo iloraz kolejnych wyrazów wtedy pięknie się skraca. Cauchy’ego, gdy cały wyraz jest podniesiony do n-tej potęgi, bo pierwiastek stopnia n zdejmuje ją od razu. Oba dają tę samą odpowiedź, gdy oba działają — różnią się tylko wygodą rachunku.

Co znaczy, że kryterium nie rozstrzyga?

Że granica wyszła równa 1 i na jej podstawie nie da się nic orzec. Zarówno szereg 1/n (rozbieżny), jak i 1/n² (zbieżny) dają w obu kryteriach granicę 1, więc w takim przypadku trzeba sięgnąć po inne narzędzie — najczęściej po kryterium porównawcze.

Na czym polega kryterium Leibniza?

Jeżeli wyrazy szeregu naprzemiennego maleją co do wartości bezwzględnej i dążą do zera, to szereg jest zbieżny. To bardzo słabe wymaganie — dlatego szereg anharmoniczny 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … jest zbieżny (do ln 2), choć ten sam szereg bez naprzemiennych znaków jest rozbieżny.

Czym różni się zbieżność bezwzględna od warunkowej?

Szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów, i wtedy zbieżny jest także on sam. Zbieżny warunkowo to taki, który jest zbieżny, ale po odrzuceniu znaków już nie — jak szereg anharmoniczny. Różnica jest istotna, bo w szeregu zbieżnym warunkowo przestawianie wyrazów potrafi zmienić sumę.

Poziom zaawansowany

Szeregi liczbowe i kryteria zbieżności

Szereg to granica ciągu sum częściowych — i tylko w kilku szczęśliwych przypadkach da się tę granicę policzyć wprost. Dlatego zamiast sumy pyta się najpierw o coś skromniejszego: czy szereg w ogóle ma sumę. Odpowiadają na to kryteria: porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego i Leibniza.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Granica ciągu i szereg geometrycznyNieskończenie wiele składników, a suma skończona — o ile iloraz jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od jedynki. Zobacz, co dokładnie znaczy, że ciąg dąży do granicy, jak liczy się granice ilorazu wielomianów, skąd bierze się liczba e i dlaczego 0,(3) to naprawdę jedna trzecia.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Wieża z klocków wystająca poza krawędź stołu
Klocki układane jeden na drugim mogą wystawać poza stół tym dalej, im więcej ich jest: przy n klockach maksymalny zwis wynosi połowę n-tej sumy częściowej szeregu harmonicznego. Cztery klocki dają 1,04 długości klocka, a żeby przekroczyć dwie długości, trzeba ich aż 31. Zwis rośnie bez końca, bo szereg harmoniczny jest rozbieżny — tylko rośnie rozpaczliwie wolno.
Ile paczek na pełen album naklejek
Album ma 50 różnych naklejek, w paczce jest jedna losowa. Oczekiwana liczba paczek to 50 razy 50-ta suma częściowa szeregu harmonicznego, czyli 50·4,499 ≈ 225 paczek — cztery i pół razy więcej, niż wynosi liczba naklejek. Ostatnie kilka brakujących pozycji kosztuje więcej niż cała pierwsza połowa albumu.
Ile wyrazów zsumować w programie
Program ma policzyć sumę szeregu 1/n², która wynosi około 1,6449. Reszta po n wyrazach jest mniejsza niż 1/n, więc do dokładności 0,001 wystarczy zsumować tysiąc wyrazów, a do dokładności 0,000001 trzeba już miliona. Kryterium porównawcze mówi, że suma istnieje; oszacowanie reszty mówi, kiedy pętla może się zatrzymać.
Łączna liczba rozpadów izotopu
Licznik zlicza rozpady w kolejnych pełnych godzinach, a aktywność maleje wykładniczo: dla czasu połowicznego 6 godzin kolejne zliczenia tworzą szereg o ilorazie e^(−ln2/6) ≈ 0,891. Kryterium d’Alemberta daje granicę 0,891 < 1, więc szereg jest zbieżny, a przy pierwszym zliczeniu 2 miliony rozpadów łączna liczba wynosi 2·10⁶/0,109 ≈ 1,83·10⁷.

Wszystkie wzory

Suma częściowa
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$
skończona suma n pierwszych wyrazów
Suma szeregu
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n$
granica ciągu sum częściowych
Warunek konieczny
$\sum a_n \ \text{zbieżny} \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 0$
w drugą stronę nie działa
Kryterium porównawcze
$0 \leq a_n \leq b_n, \ \sum b_n \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
mniejszy od zbieżnego jest zbieżny
Kryterium d’Alemberta
$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = g < 1 \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
dla g > 1 rozbieżny, dla g = 1 nie rozstrzyga
Kryterium Cauchy’ego
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = g < 1 \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
dla g > 1 rozbieżny, dla g = 1 nie rozstrzyga
Kryterium Leibniza
$a_n \searrow 0 \implies \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \ \text{zbieżny}$
ciąg malejący do zera, znaki na przemian
Zbieżność bezwzględna
$\sum |a_n| \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
bezwzględna pociąga zwykłą, nie odwrotnie

Przy granicy ciągu policzyliśmy sumę jednego szeregu — geometrycznego. Zrobiliśmy to, bo dla niego istnieje wzór na sumę częściową, więc granicę dało się wziąć wprost. Dla większości szeregów takiego wzoru nie ma, i wtedy pytanie „ile wynosi suma” trzeba zastąpić skromniejszym: czy suma w ogóle istnieje. Cała ta lekcja jest o narzędziach do tego pytania.

Szereg to granica ciągu sum częściowych

Mając ciąg $(a_n)$ , budujemy z niego drugi ciąg — sum częściowych:

S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k

i definiujemy sumę szeregu jako granicę tego ciągu:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n

Nic więcej się w tej definicji nie kryje. Szereg nie jest nowym rodzajem obiektu — jest granicą ciągu, tego samego pojęcia, które masz już z poprzednich lekcji. Gdy granica jest skończona, szereg nazywamy zbieżnym; gdy jest nieskończona albo nie istnieje — rozbieżnym.

Szereg teleskopowy: przypadek, w którym widać wszystko

Policz sumę szeregu 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + …

Sumy częściowe pną się do prostej S = 1 i nigdy jej nie osiągają. Ta prosta jest sumą szeregu — czyli granicą ciągu punktów, a nie jednym z nich.

Teleskop jest jednak rzadkim luksusem. Zwykle wzoru na $S_n$ nie ma i trzeba rozstrzygać zbieżność bez znajomości sumy.

Warunek konieczny i jego pułapka

Jeżeli szereg jest zbieżny, to $S_n$ i $S_{n-1}$ mają tę samą granicę, a ich różnicą jest $a_n$ . Stąd natychmiast:

\sum a_n \ \text{zbieżny} \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 0

Ten warunek jest konieczny, ale nie wystarczający — i to rozróżnienie jest w tej lekcji najważniejsze. Użyteczny jest w wersji odwróconej: jeśli wyrazy nie dążą do zera, szereg jest rozbieżny. Szereg $\sum \tfrac{n}{n+1}$ ma wyrazy dążące do $1$ , więc odpada od razu, bez żadnego kryterium.

W drugą stronę nic z niego nie wynika, a najsłynniejszym świadkiem jest szereg harmoniczny.

Wykaż, że szereg harmoniczny 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … jest rozbieżny.

Sumy częściowe szeregu harmonicznego w punktach n = 1, 2, 4, 8, …, 64, a pod nimi prosta 1 + k/2. Prosta rośnie bez końca i leży poniżej punktów, więc punkty również nie mają dokąd się zbiec.

Suma $64$ wyrazów to dopiero $4{,}74$ — rozbieżność jest tu wyjątkowo powolna, ale to nie ma znaczenia. Rozbieżność nie jest kwestią tempa, tylko kresu.

Kryterium porównawcze

Najprostsze narzędzie: przyrównaj swój szereg do takiego, o którym już wszystko wiadomo. Dla szeregów o wyrazach nieujemnych:

0 \leq a_n \leq b_n \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} \sum b_n \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny} \\ \sum a_n \ \text{rozbieżny} \implies \sum b_n \ \text{rozbieżny} \end{cases}

Wzorcami do porównań są dwa szeregi, które już znasz: geometryczny $\sum q^n$ , zbieżny dokładnie dla $|q| < 1$ , oraz harmoniczny $\sum \tfrac{1}{n}$ , rozbieżny. Trzecim jest rodzina $\sum \tfrac{1}{n^p}$ , zbieżna dla $p > 1$ .

Zbadaj zbieżność szeregu Σ 1/(n² + 3).

Kryterium d’Alemberta

Zamiast porównywać z wzorcem, można zbadać, jak szybko wyrazy maleją względem siebie:

g = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

$g$	wniosek
$g < 1$	szereg zbieżny
$g > 1$	szereg rozbieżny
$g = 1$	kryterium nie rozstrzyga

Idea jest prosta: gdy $g < 1$ , wyrazy w końcu maleją szybciej niż ciąg geometryczny o ilorazie $g$ , a taki szereg jest zbieżny. Kryterium sprowadza więc nieznany szereg do znanego.

Zbadaj zbieżność szeregu Σ 2ⁿ/n! kryterium d’Alemberta.

Przypadek $g = 1$ naprawdę niczego nie znaczy. Zarówno $\sum \tfrac{1}{n}$ (rozbieżny), jak i $\sum \tfrac{1}{n^2}$ (zbieżny) dają $g = 1$ . Wtedy trzeba wrócić do porównania.

Kryterium Cauchy’ego

Bliźniacze narzędzie, wygodne, gdy cały wyraz stoi pod n-tą potęgą:

g = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Wnioski są dokładnie te same co u d’Alemberta: $g < 1$ zbieżny, $g > 1$ rozbieżny, $g = 1$ nie rozstrzyga.

Zbadaj zbieżność szeregu Σ ((n + 1)/(3n))ⁿ.

Szereg naprzemienny i kryterium Leibniza

Gdy znaki wyrazów zmieniają się co krok, kolejne sumy częściowe skaczą raz nad, raz pod granicę — i to samo w sobie bardzo pomaga.

a_n \searrow 0 \quad \Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \ \text{jest zbieżny}

Wymagania są dwa i oba skromne: ciąg $(a_n)$ musi być malejący i dążyć do zera.

Zbadaj zbieżność szeregu anharmonicznego 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + …

Jest jeszcze premia praktyczna: w szeregu spełniającym warunki Leibniza błąd obcięcia jest mniejszy od pierwszego odrzuconego wyrazu. Sumując sto wyrazów szeregu anharmonicznego, mylimy się o mniej niż $\tfrac{1}{101}$ .

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Szereg nazywamy zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg $\sum |a_n|$ . Zachodzi wtedy

\sum |a_n| \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}

Implikacja nie działa w drugą stronę, a szereg anharmoniczny jest tego przykładem: sam jest zbieżny, a po odrzuceniu znaków staje się rozbieżny. Taki szereg nazywamy zbieżnym warunkowo.

szereg	$\sum a_n$	$\sum \lvert a_n \rvert$	rodzaj zbieżności
$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$	zbieżny	zbieżny	bezwzględna
$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$	zbieżny	rozbieżny	warunkowa
$\sum \frac{1}{n}$	rozbieżny	rozbieżny	brak

Różnica nie jest formalnością. W szeregu zbieżnym bezwzględnie wolno przestawiać wyrazy i suma się nie zmieni. W szeregu zbieżnym warunkowo — nie wolno: przestawiając wyrazy szeregu anharmonicznego, można uzyskać dowolną z góry zadaną sumę.

Jak dobrać kryterium

Czy wyrazy dążą do zera? Jeśli nie — koniec, szereg jest rozbieżny.
Czy w wyrazie stoi silnia albo potęga o wykładniku $n$ ? Silnia i iloczyny → d’Alembert; cały wyraz pod $n$ -tą potęgą → Cauchy.
Czy znaki zmieniają się na przemian? Wtedy Leibniz, a osobno warto sprawdzić, czy zbieżność jest bezwzględna.
Czy wyraz przypomina $\tfrac{1}{n^p}$ ? Wtedy kryterium porównawcze i rodzina wzorców.
Czy wyszło $g = 1$ ? Kryterium nie rozstrzyga — wróć do punktu 4.

Zadania

Zestaw miesza cztery rachunki: sumę częściową szeregu teleskopowego, sumę takiego szeregu w granicy oraz wartość granicy, którą liczy kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego. Odpowiedzią jest zawsze liczba albo ułamek, np. 3/4.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Suma częściowa szeregu: aₖ = 1/(k(k + 1)); S₄

Zauważ, o co zestaw nie pyta: o werdykt „zbieżny czy rozbieżny”. Werdykt jest jednym zdaniem wyciągniętym z liczby, którą właśnie policzyłeś — porównaj $g$ z jedynką i tabela wyżej mówi resztę. Dowód rozbieżności szeregu harmonicznego również zostaje treścią: jego odpowiedzią jest rozumowanie, a nie wynik.

Częste błędy

Uznanie, że skoro wyrazy dążą do zera, szereg jest zbieżny — to jest odwrócenie warunku koniecznego i szereg harmoniczny je obala.
Mylenie ciągu z szeregiem — ciąg $\tfrac{1}{n}$ jest zbieżny do zera, a szereg $\sum \tfrac{1}{n}$ jest rozbieżny. To dwa różne pytania o te same liczby.
Traktowanie wyniku $g = 1$ jako rozstrzygnięcia — to jedyny przypadek, w którym oba kryteria milczą; trzeba użyć innego narzędzia.
Porównywanie szeregów o wyrazach ujemnych — kryterium porównawcze wymaga wyrazów nieujemnych; przy zmiennych znakach bada się najpierw $\sum |a_n|$ .
Stosowanie kryterium Leibniza bez sprawdzenia monotoniczności — samo dążenie do zera nie wystarcza; ciąg musi także maleć.
Przestawianie wyrazów szeregu zbieżnego warunkowo — suma potrafi wtedy wyjść dowolna, więc taka operacja nie jest niewinnym przekształceniem.

Karta wzorów

Temat: Szeregi liczbowe

Suma częściowa
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$
skończona suma n pierwszych wyrazów
Suma szeregu
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n$
granica ciągu sum częściowych
Warunek konieczny
$\sum a_n \ \text{zbieżny} \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 0$
w drugą stronę nie działa
Kryterium porównawcze
$0 \leq a_n \leq b_n, \ \sum b_n \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
mniejszy od zbieżnego jest zbieżny
Kryterium d’Alemberta
$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = g < 1 \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
dla g > 1 rozbieżny, dla g = 1 nie rozstrzyga
Kryterium Cauchy’ego
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = g < 1 \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
dla g > 1 rozbieżny, dla g = 1 nie rozstrzyga
Kryterium Leibniza
$a_n \searrow 0 \implies \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n \ \text{zbieżny}$
ciąg malejący do zera, znaki na przemian
Zbieżność bezwzględna
$\sum |a_n| \ \text{zbieżny} \implies \sum a_n \ \text{zbieżny}$
bezwzględna pociąga zwykłą, nie odwrotnie

Sumy częściowe szeregu teleskopowego 1/(k(k+1)). Każda kolejna leży bliżej prostej S = 1 i żadna jej nie przekracza, bo Sₙ = 1 − 1/(n+1).

Sumy częściowe szeregu harmonicznego w punktach n = 2^k. Prosta 1 + k/2 jest oszacowaniem z dołu, którego nic nie zatrzymuje — dlatego ten szereg jest rozbieżny, choć jego wyrazy dążą do zera.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min