Co to jest szereg potęgowy?

Szereg, którego wyrazy zawierają kolejne potęgi zmiennej: suma aₙ(x − x₀)ⁿ. Dla ustalonego x jest to zwykły szereg liczbowy, więc można pytać o jego zbieżność — a ponieważ dla różnych x odpowiedź bywa różna, całość zachowuje się jak funkcja określona tam, gdzie szereg jest zbieżny.

Co to jest promień zbieżności?

Liczba R taka, że szereg jest zbieżny dla każdego x odległego od środka o mniej niż R i rozbieżny dla każdego odległego o więcej. Liczy się ją najczęściej kryterium d’Alemberta jako granicę ilorazu |aₙ/aₙ₊₁|. Przypadki skrajne też się zdarzają: R = 0 oznacza zbieżność tylko w środku, a R = ∞ zbieżność na całej prostej.

Czym różni się promień od przedziału zbieżności?

Promień podaje zasięg, a przedział podaje dokładny zbiór argumentów wraz z krańcami. Wewnątrz promienia zbieżność jest pewna, a poza nim rozbieżność, ale w obu krańcach kryterium milczy i każdy z nich trzeba zbadać osobno. Dla szeregu Σ xⁿ/n wychodzi przedział od −1 włącznie do 1 wyłącznie.

Skąd biorą się współczynniki szeregu Taylora?

Z pochodnych funkcji w punkcie, wokół którego rozwijamy. Jeśli funkcja jest sumą szeregu potęgowego, to zróżniczkowanie go n razy i podstawienie x = x₀ zostawia dokładnie n!·aₙ, skąd aₙ = f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!. Współczynniki nie są więc dobierane — są wymuszone przez samą funkcję.

Czym różni się szereg Taylora od Maclaurina?

Punktem, wokół którego rozwijamy. Szereg Maclaurina to po prostu szereg Taylora w punkcie x₀ = 0, więc rozwija się w potęgach samego x, a nie x − x₀. Wszystkie cztery kanoniczne rozwinięcia — eˣ, sinus, cosinus i logarytm — podaje się właśnie w tej wersji.

Dlaczego rozwinięcie sinusa ma tylko potęgi nieparzyste?

Bo sinus jest funkcją nieparzystą, a szereg musi tę własność odziedziczyć. Widać to też w rachunku: kolejne pochodne sinusa w zerze dają 0, 1, 0, −1, 0, 1, …, więc każdy współczynnik przy potędze parzystej wypada zerem. Cosinus, funkcja parzysta, ma z tego samego powodu wyłącznie potęgi parzyste.

Jak duży jest błąd przybliżenia wielomianem Taylora?

Ograniczony przez wyrażenie M·|x − x₀|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M ogranicza pochodną rzędu n + 1 na badanym odcinku. Praktyczny wniosek jest taki, że przybliżenie jest tym lepsze, im bliżej środka rozwinięcia jesteś — i że silnia w mianowniku sprawia, iż dołożenie jednego wyrazu potrafi poprawić wynik o rząd wielkości.

Czy każdą funkcję da się rozwinąć w szereg Taylora?

Nie. Funkcja musi mieć w punkcie rozwinięcia pochodne wszystkich rzędów, a nawet wtedy szereg nie musi być jej równy poza samym środkiem — istnieją funkcje gładkie, których szereg Maclaurina jest tożsamościowo zerowy, choć one same zerowe nie są. Rozwinięcia z tej lekcji są równe swoim funkcjom i to jest osobne twierdzenie, a nie oczywistość.

Poziom zaawansowany

Szeregi potęgowe i szereg Taylora

Wstaw do szeregu literę x, a przestanie być liczbą i stanie się funkcją. Okazuje się, że w ten sposób da się zapisać eˣ, sinus, cosinus i logarytm — jako nieskończone wielomiany. Ich skończone kawałki są tym, czym kalkulator liczy te funkcje naprawdę.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Szeregi liczboweSzereg to granica ciągu sum częściowych — i tylko w kilku szczęśliwych przypadkach da się tę granicę policzyć wprost. Dlatego zamiast sumy pyta się najpierw o coś skromniejszego: czy szereg w ogóle ma sumę. Odpowiadają na to kryteria: porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego i Leibniza.
Pochodna funkcjiPochodna mierzy tempo zmiany funkcji w punkcie — jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu. Poznaj definicję przez iloraz różnicowy i sześć reguł, którymi liczy się ją bez granic.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Jak kalkulator liczy sinus
Procesor nie ma w pamięci tablicy sinusów — sumuje kilka wyrazów szeregu. Dla x = 0,5 sam wielomian x − x³/6 + x⁵/120 daje 0,4794255, a prawdziwy sinus wynosi 0,4794255 — zgodność na siedmiu cyfrach po trzech wyrazach. Kolejny wyraz zmieniłby wynik o mniej niż 10⁻⁹, więc go się po prostu nie liczy.
Wahadło przy małych kątach
Wzór na okres wahadła T = 2π√(L/g) powstaje z zamiany sin θ na θ, czyli z obcięcia szeregu sinusa po pierwszym wyrazie. Dla wychylenia 5 stopni, czyli 0,0873 radiana, sinus wynosi 0,08716 — różnica to 0,15 procenta, więc wahadło o długości 1 metra ma okres 2,006 sekundy zamiast 2,007. Przy wychyleniu 30 stopni błąd rośnie już do 4,5 procenta i wzoru nie wolno użyć.
Oprocentowanie ciągłe lokaty
Lokata z nominalnym oprocentowaniem 3 procent kapitalizowanym w sposób ciągły rośnie w rok o czynnik e^0,03. Dwa pierwsze wyrazy szeregu dają 1 + 0,03 = 1,03, a trzeci dokłada 0,00045, czyli 1,03045 — realnie 3,045 procenta zamiast 3. Na 20 000 zł to 9 złotych różnicy, i dokładnie ten człon kwadratowy odróżnia oprocentowanie ciągłe od zwykłego.
Logarytmiczne stopy zwrotu
Analitycy liczą zmiany kursu jako ln(1 + r) zamiast r, bo takie zwroty wolno dodawać. Szereg logarytmu mówi, kiedy różnica jest bez znaczenia: dla wzrostu o 2 procent wychodzi 0,0198, czyli błąd 1 procent, ale dla wzrostu o 50 procent już 0,405 zamiast 0,5 — pomyłka o 19 procent. Pierwszy wyraz rozwinięcia jest dobrym przybliżeniem tylko blisko zera.

Wszystkie wzory

Szereg potęgowy
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$
funkcja swojego argumentu x
Promień zbieżności
$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
zbieżny dla |x − x_0| < R
Szereg Taylora
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(x - x_0)^n$
współczynniki to pochodne w punkcie x_0
Szereg Maclaurina
$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
szereg Taylora wokół zera
Rozwinięcie eˣ
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
zbieżne dla każdego x
Rozwinięcie sinusa
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
same potęgi nieparzyste
Rozwinięcie cosinusa
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
same potęgi parzyste
Rozwinięcie logarytmu
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$
tylko dla −1 < x ≤ 1
Błąd przybliżenia
$\big|R_n(x)\big| \leq \frac{M\,|x - x_0|^{n+1}}{(n+1)!}$
M ogranicza pochodną rzędu n+1

Wszystkie szeregi liczbowe z poprzedniej lekcji sumowały się do liczby. Wstawmy teraz w wyrazy zmienną:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \dots

Dla każdego ustalonego $x$ jest to zwykły szereg liczbowy — dla jednych argumentów zbieżny, dla innych nie. Szereg potęgowy jest więc funkcją swojego argumentu, określoną tam, gdzie się zbiega. Pierwszy przykład znasz od dawna: szereg geometryczny

1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{1}{1-x} \qquad \text{dla } |x| < 1

Po lewej nieskończenie wiele potęg, po prawej krótki wzór. Ta lekcja jest o tym, kiedy taka zamiana jest legalna i jak znaleźć potrzebne współczynniki.

Promień zbieżności

Dla szeregu geometrycznego warunek brzmiał $|x| < 1$ i nie był przypadkiem. Każdy szereg potęgowy zbiega się na przedziale symetrycznym wokół swojego środka, a jego zasięg nazywamy promieniem zbieżności:

R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|

$\lvert x - x_0 \rvert$	co się dzieje
mniejsze od $R$	szereg zbieżny (i to bezwzględnie)
większe od $R$	szereg rozbieżny
równe $R$	trzeba zbadać osobno, kraniec po krańcu

Wzór na $R$ to nic innego niż kryterium d’Alemberta zastosowane do $|a_n x^n|$ i rozwiązane względem $|x|$ .

Wyznacz promień i przedział zbieżności szeregu Σ xⁿ/n.

Przedział zbieżności szeregu Σ xⁿ/n. Kółko pełne w −1 i puste w 1 to wynik dwóch osobnych rachunków, których promień sam z siebie nie rozstrzyga.

Dwa przypadki skrajne warto znać:

$\sum \tfrac{x^n}{n!}$ ma $R = \lim \tfrac{(n+1)!}{n!} = \infty$ — jest zbieżny dla każdego $x$ ;
$\sum n!\,x^n$ ma $R = \lim \tfrac{n!}{(n+1)!} = 0$ — jest zbieżny wyłącznie w $x = 0$ , więc jako funkcja jest bezużyteczny.

Skąd biorą się współczynniki

Załóżmy, że funkcja $f$ jest sumą pewnego szeregu potęgowego wokół zera:

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots

Podstawienie $x = 0$ zabija wszystko poza pierwszym wyrazem, więc $a_0 = f(0)$ . Zróżniczkujmy teraz obie strony:

f'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots \quad \Longrightarrow \quad a_1 = f'(0)

f''(x) = 2a_2 + 6a_3 x + \dots \quad \Longrightarrow \quad a_2 = \frac{f''(0)}{2}

Za każdym razem zostaje stała $n!\,a_n$ , więc ogólnie $a_n = \tfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ . Stąd wzór Taylora, w wersji wokół dowolnego punktu $x_0$ :

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(x - x_0)^n

Wersję z $x_0 = 0$ nazywa się szeregiem Maclaurina i to jej używa się najczęściej. Zwróć uwagę, że współczynników się nie dobiera — są wymuszone przez pochodne funkcji.

Cztery rozwinięcia

Wyznacz szereg Maclaurina funkcji eˣ.

Sinus i cosinus liczy się tak samo, tyle że ich pochodne w zerze chodzą w kółko po ciągu $0, 1, 0, -1$ (dla sinusa) i $1, 0, -1, 0$ (dla cosinusa) — stąd w jednym rozwinięciu zostają same potęgi nieparzyste, a w drugim same parzyste.

funkcja	rozwinięcie Maclaurina	$R$
$e^x$	$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dots$	$\infty$
$\sin x$	$x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dots$	$\infty$
$\cos x$	$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dots$	$\infty$
$\ln(1+x)$	$x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dots$	$1$

Ostatni wiersz różni się od pozostałych i to nie przypadek: $\ln(1+x)$ nie istnieje dla $x \leq -1$ , więc żaden szereg nie ma prawa go tam przedstawiać. Promień $1$ jest dokładnie odległością od środka rozwinięcia do tej przeszkody.

Przybliżanie wielomianem

Obcięcie szeregu po wyrazie stopnia $n$ daje wielomian Taylora $T_n$ — i to on jest praktycznym pożytkiem z całej teorii.

T_1 = x, \qquad T_3 = x - \frac{x^3}{6}, \qquad T_5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}

Sinus i trzy jego wielomiany Maclaurina. Wszystkie startują z tego samego punktu i tym dłużej trzymają się krzywej, im wyższy mają stopień — a potem każdy z nich odpada, bo wielomian nie potrafi się wahać bez końca.

Rysunek pokazuje dwie rzeczy naraz. Blisko zera każdy z wielomianów przylega do sinusa, i to jest treść wzoru Taylora. Daleko od zera każdy odpada — bo wielomian rośnie do nieskończoności, a sinus wiecznie oscyluje między $-1$ a $1$ . Rozwinięcie jest lokalne z natury, nawet gdy promień zbieżności jest nieskończony.

Błąd przybliżenia

Ile dokładnie tracimy, obcinając szereg? Odpowiada na to oszacowanie reszty:

\big|R_n(x)\big| \leq \frac{M\,|x - x_0|^{n+1}}{(n+1)!}

gdzie $M$ jest ograniczeniem pochodnej rzędu $n+1$ na badanym odcinku. Kluczowa jest silnia w mianowniku: dołożenie jednego wyrazu potrafi poprawić wynik o rząd wielkości.

Oszacuj błąd przybliżenia sin 0,5 wielomianem T₃ i porównaj z rzeczywistością.

Ten sam rachunek stoi za wzorem na okres wahadła: zamiana $\sin\theta$ na $\theta$ to obcięcie szeregu po pierwszym wyrazie i wolno ją zrobić tylko przy małych kątach — a wyrażonych w radianach, bo cała teoria opiera się na tym, że pochodną sinusa jest cosinus, co w stopniach przestaje być prawdą. Wartość w stopniach zamieni ci na radiany konwerter kątów.

Zadania

Zestaw pyta o cztery rzeczy: promień zbieżności (liczba albo ułamek), współczynnik przy xⁿ w rozwinięciu Maclaurina (ułamek, także zero — brak potęgi to pełnoprawna odpowiedź), sam wielomian Maclaurina zadanego stopnia (wpisujesz jako wzór, np. 1+x+x^2/2) oraz wartość przybliżoną liczoną tym wielomianem, zaokrągloną do czterech miejsc.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Promień zbieżności: Σ(n = 1 … ∞) xⁿ/3ⁿ

Zestaw losuje wyłącznie szeregi o skończonym promieniu, a o sam przedział zbieżności nie pyta: jego odpowiedź to para krańców wraz z informacją, który jest otwarty, a to nie jest liczba. Oba przypadki masz wyłożone w przykładach powyżej.

Częste błędy

Mylenie promienia z przedziałem — promień to jedna liczba, przedział to zbiór wraz z krańcami; krańce trzeba zbadać osobno i potrafią dać różne odpowiedzi.
Zapominanie o krańcach — kryterium d’Alemberta milczy przy $|x - x_0| = R$ , więc pominięcie tych dwóch punktów zostawia zadanie nieskończone.
Uznanie, że skoro $R = \infty$ , wielomian Taylora jest dobry wszędzie — zbieżny jest cały szereg, a jego skończone obcięcie i tak odpada daleko od środka.
Rozwijanie $\ln x$ zamiast $\ln(1+x)$ — logarytm nie ma wartości w zerze, więc rozwija się jego przesuniętą wersję; to nie jest kosmetyka zapisu.
Zgubiona silnia w mianowniku — współczynnik to $f^{(n)}(x_0)/n!$ , a nie sama pochodna; przy $n = 5$ różnica to czynnik 120.
Przybliżanie daleko od środka rozwinięcia — błąd rośnie jak $|x - x_0|^{n+1}$ , więc przy podwojeniu odległości potrafi urosnąć kilkudziesięciokrotnie.

Karta wzorów

Temat: Szeregi potęgowe i Taylora

Szereg potęgowy
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$
funkcja swojego argumentu x
Promień zbieżności
$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
zbieżny dla |x − x_0| < R
Szereg Taylora
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(x - x_0)^n$
współczynniki to pochodne w punkcie x_0
Szereg Maclaurina
$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
szereg Taylora wokół zera
Rozwinięcie eˣ
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
zbieżne dla każdego x
Rozwinięcie sinusa
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
same potęgi nieparzyste
Rozwinięcie cosinusa
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
same potęgi parzyste
Rozwinięcie logarytmu
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$
tylko dla −1 < x ≤ 1
Błąd przybliżenia
$\big|R_n(x)\big| \leq \frac{M\,|x - x_0|^{n+1}}{(n+1)!}$
M ogranicza pochodną rzędu n+1

Sinus i jego trzy wielomiany Maclaurina. Każdy kolejny trzyma się krzywej dłużej: prosta y = x tylko przy zerze, wielomian stopnia 5 już na całym widocznym garbie.

Przedział zbieżności szeregu Σ xⁿ/n. Promień wynosi 1, więc wewnątrz przedziału (−1; 1) szereg jest zbieżny na pewno; o obu krańcach rozstrzyga się osobno i wychodzą różne odpowiedzi.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlista parabola i prosta przecinające się nad delikatną siatką układu współrzędnych, wierzchołek paraboli rozbłyskuje jak gwiazda, w tle kosmiczna mgławica w fiolecie i magencie

Funkcje i analiza

Dlaczego wykres funkcji nie może zawrócić

Cała definicja funkcji mieści się w jednym słowie: jednoznaczność. Jeden argument, jedna wartość — i ani jednej więcej. To pozornie drobne zastrzeżenie rozstrzyga, dlaczego okrąg nie jest wykresem funkcji, dlaczego prosta i parabola wystarczają do opisu ogromnej części świata i dlaczego cztery zbiory danych o identycznych statystykach mogą wyglądać zupełnie inaczej.

12 min