Prawdopodobieństwo klasyczne

Doświadczenie losowe to takie, którego wyniku nie da się przewidzieć, choć znamy zbiór wszystkich możliwości. Zbiór ten nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy $\Omega$, a każdy interesujący nas podzbiór $\Omega$ — zdarzeniem.

Dla rzutu kostką $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, a zdarzenie „wypadła liczba parzysta" to podzbiór $A = \{2, 4, 6\}$.

Wzór klasyczny

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo liczy się ilorazem:

W liczniku stoi liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$, w mianowniku liczba wszystkich możliwych wyników. Założenie o równych szansach jest tu istotne: dla kostki obciążonej albo dla urny z kulami różnej wielkości ten wzór po prostu nie obowiązuje.

Własności

Ze wzoru wynikają od razu trzy fakty, które warto traktować jak kontrolę rachunku:

Prawdopodobieństwo nigdy nie wychodzi ujemne ani większe od jedynki: zbiór sprzyjający jest częścią zbioru wszystkich możliwości. Jeśli wyszło inaczej, gdzieś policzyliśmy jakiś wynik dwa razy albo źle ustaliliśmy $\Omega$.

Skrajne wartości mają własne nazwy. Zdarzenie o prawdopodobieństwie $0$ jest niemożliwe (siedem oczek na jednej kostce), a o prawdopodobieństwie $1$ — pewne (mniej niż siedem oczek).

Kiedy trzeba policzyć Ω

Prawdziwa trudność zadań rzadko leży we wzorze, a prawie zawsze w policzeniu $|A|$ i $|\Omega|$ — czyli w kombinatoryce z poprzedniej lekcji.

Weźmy rzut dwiema kostkami. Wyników jest $6 \cdot 6 = 36$ (reguła mnożenia), a nie jedenaście, choć suma oczek przyjmuje tylko jedenaście wartości. Właśnie dlatego różne sumy nie są jednakowo prawdopodobne:

Sumę $7$ daje sześć par: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Sumę $12$ tylko jedna: $(6,6)$.

Zdarzenie przeciwne

Zdarzeniem przeciwnym do $A$ nazywamy zdarzenie „$A$ nie zaszło" i oznaczamy $A'$. Skoro razem wyczerpują wszystkie możliwości:

To najużyteczniejszy wzór całej lekcji, bo bardzo często zdarzenie przeciwne jest prostsze do policzenia niż samo zdarzenie. Sygnał ostrzegawczy w treści zadania brzmi zawsze tak samo: „co najmniej jeden".

Prawdopodobieństwo w procentach

Prawdopodobieństwo bywa wygodniej podać w procentach — wystarczy pomnożyć je przez $100\%$:

Prawdopodobieństwo $\tfrac{3}{20}$ to $0{,}15$, czyli $15\%$. W drugą stronę: $40\%$ to $0{,}4$, czyli $\tfrac{2}{5}$. Ta sama liczba, inny zapis — ułamek jest wygodniejszy w rachunku, procent w rozmowie.

Kombinatoryka w liczniku i mianowniku

Gdy doświadczenie polega na losowaniu kilku elementów naraz, obie liczby trzeba policzyć wzorami z poprzedniej lekcji.

Częstość to nie prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo mówi o modelu doświadczenia, a nie o tym, co akurat wypadło. Po trzydziestu rzutach kostką rozkład wyników prawie nigdy nie jest równy:

Słupek zerowej wysokości mówi coś zupełnie innego niż brak słupka: szóstka mogła wypaść, tylko akurat się nie zdarzyła. Prawdopodobieństwo pozostaje $\tfrac{1}{6}$ i przy tysiącu rzutów częstości zbliżyłyby się do niego wyraźnie — ale przy trzydziestu nie ma takiego obowiązku.

Zdarzenia niezależne

Dwa zdarzenia są niezależne, gdy zajście jednego nie zmienia szans drugiego. Wtedy — i tylko wtedy — prawdopodobieństwa się mnożą:

Kolejne rzuty monetą są niezależne, więc dwa orły mają prawdopodobieństwo $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$. Losowanie dwóch kul bez zwracania niezależne nie jest: po pierwszym losowaniu skład urny się zmienia, więc drugie prawdopodobieństwo trzeba policzyć na nowo, już w mniejszym zbiorze możliwości. Taki iloraz liczony wewnątrz zawężonego $\Omega$ nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym i zapisuje $P(A|B)$.

Z niezależnością wiąże się najpopularniejsze złudzenie w tym dziale: po pięciu orłach z rzędu reszka nie staje się bardziej prawdopodobna. Moneta nie pamięta poprzednich rzutów.

Ćwiczenia

Trzy typy pytań odpowiadają trzem częściom lekcji. Prompt $P(A)$ podaje liczbę zdarzeń sprzyjających $|A|$ i liczbę wszystkich $|\Omega|$ — odpowiedzią jest ułamek nieskracalny, więc pamiętaj o skróceniu. Prompt $P(A')$ podaje prawdopodobieństwo zdarzenia i pyta o zdarzenie przeciwne; tu również odpowiadamy ułamkiem w postaci nieskracalnej. Prompt zakończony strzałką i znakiem procentu prosi o zamianę prawdopodobieństwa na procenty — odpowiedzią jest liczba, na przykład 15 dla $\tfrac{3}{20}$.

Częste błędy

• Źle policzone $\Omega$ — przy dwóch kostkach wyników jest 36, a nie 11 ani 12.
• Nieskrócony ułamek — prawdopodobieństwo podaje się w postaci nieskracalnej.
• Liczenie „co najmniej jednego" wprost — prościej i bezpieczniej przez zdarzenie przeciwne.
• Podwójne liczenie wyników — zdarzenia sprzyjające trzeba wypisywać tak, by żaden nie pojawił się dwa razy.
• Mnożenie prawdopodobieństw zdarzeń zależnych — wzór $P(A)\cdot P(B)$ obowiązuje wyłącznie przy niezależności.
• Błąd hazardzisty — poprzednie wyniki nie zmieniają szans w kolejnym rzucie.
• Wzór klasyczny przy nierównych szansach — obciążona kostka nie spełnia założenia równoprawdopodobieństwa.