Planowanie wyjazdu do pracy
Dziesięć zmierzonych przejazdów: 25, 26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 31 i 90 minut, bo raz trafił się wypadek na obwodnicy. Średnia to 340 : 10 = 34 minuty, mediana (28 + 28) : 2 = 28 minut. Mediana mówi, ile kosztuje zwykły poranek; średnia rozsmarowuje jedną stłuczkę po dziewięciu pozostałych dniach. Wyjeżdżasz według mediany i trzymasz osobny zapas na dzień, który się nie uda, zamiast codziennie rezerwować sześć minut na zdarzenie, które zdarzyło się raz.
Średnia, mediana i dominanta
Wybór firmy kurierskiej
Dwie firmy dowożą paczkę średnio w 3 dni. Pierwsza: 2, 3, 3, 3, 4 dni — wariancja (1 + 0 + 0 + 0 + 1) : 5 = 0,4, odchylenie 0,63 dnia. Druga: 1, 1, 3, 5, 5 dni — wariancja 16 : 5 = 3,2, odchylenie 1,79 dnia. Prezent, który ma dojść na konkretny dzień, wysyłasz pierwszą, choć cennik i reklama pokazują dla obu tę samą średnią.
Wariancja i odchylenie
Wykres w gazecie
Artykuł o sondażu pokazuje dwa słupki: 42 i 46 procent, oś pionowa zaczyna się od 40. Narysowane wysokości to 2 i 6 jednostek, więc słupek lidera jest trzy razy wyższy. Prawdziwy stosunek to 46 : 42, czyli przewaga o 9,5 procenta wartości — rysunek zawyża ją ponad trzydziestokrotnie. Jedno spojrzenie na liczbę przy dolnym końcu osi rozstrzyga, czy warto ufać temu obrazkowi.
Prezentacja danych
Siła hasła i PIN-u
Czterocyfrowy PIN to 10⁴ = 10 000 możliwości — telefon blokuje się po trzech próbach, ale wykradziona baza takich kodów pada w ułamku sekundy. Hasło z ośmiu małych liter to 26⁸ ≈ 209 miliardów kombinacji, a z ośmiu znaków wybieranych spośród 62 (małe litery, wielkie, cyfry) — 62⁸ ≈ 218 bilionów, czyli ponad tysiąc razy więcej. Każdy dołożony znak mnoży tę liczbę przez rozmiar alfabetu, a nie dodaje do niej.
Kombinatoryka Zobacz lekcję: Potęgi
Zakład w Lotto
Sześć liczb z 49 to C(49, 6) = 13 983 816 jednakowo możliwych zakładów, więc P(szóstka) = 1 : 13 983 816 ≈ 0,0000072%. Jeden zakład tygodniowo przez 50 lat to 2 600 losowań, a szansa trafienia kiedykolwiek w tym okresie — liczona przez zdarzenie przeciwne, czyli 1 minus prawdopodobieństwo 2 600 nietrafień — wynosi około 0,019%, mniej niż dwie na dziesięć tysięcy. Tej liczby nie ma na kuponie.
Prawdopodobieństwo klasyczne
Wynik testu przesiewowego
Test wykrywa chorobę u 99 na 100 chorych i myli się u 2 na 100 zdrowych, a choruje 1 osoba na 100. Wynik dodatni dostaje 0,01 · 0,99 = 0,0099 chorych i 0,99 · 0,02 = 0,0198 zdrowych, czyli razem 2,97 procenta badanych. Prawdopodobieństwo choroby po dodatnim wyniku wynosi 0,0099 / 0,0297, czyli dokładnie jedną trzecią — nie 99 procent. Dlatego dodatni wynik badania przesiewowego zawsze powtarza się testem potwierdzającym.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Kontrola jakości partii towaru
Z partii, w której wadliwe jest 5 procent sztuk, magazynier losuje 10 sztuk do sprawdzenia. Prawdopodobieństwo, że żadna nie okaże się wadliwa, wynosi 0,95 do potęgi dziesiątej, czyli 0,599 — a więc prawie 40 procent takich kontroli wykryje co najmniej jedną wadę. Gdyby wadliwych było 20 procent, próba dziesięciu sztuk przepuściłaby partię już tylko w 11 procentach przypadków, i to jest cała matematyka za doborem liczności próby.
Drzewa i schemat Bernoulliego
Los na loterii
Los kosztuje 5 zł. Główna wygrana 1000 zł trafia się z prawdopodobieństwem 1/2000, a pociesznie 50 zł z prawdopodobieństwem 1/200. Wartość oczekiwana wygranej wynosi 1000/2000 + 50/200 = 0,50 + 0,25 = 0,75 zł, więc oczekiwany wynik gracza to 0,75 − 5 = −4,25 zł na każdym losie. Przy stu losach rocznie daje to spodziewaną stratę 425 zł, i żadna seria szczęścia tego nie zmienia — zmienia tylko to, kiedy się to ujawni.
Zmienna losowa
Nadkomplet w samolocie
Linia sprzedaje 210 biletów na 200 miejsc, bo pasażer stawia się na lotnisku z prawdopodobieństwem 0,95. Liczba stawiających się ma rozkład dwumianowy o parametrach E(X) = 210 · 0,95 = 199,5 oraz wariancji 210 · 0,95 · 0,05 = 9,975, czyli odchyleniu standardowym 3,16 pasażera. Średnio zostaje pół wolnego miejsca, ale rozrzut trzech pasażerów oznacza, że nadkomplet zdarza się w kilkudziesięciu procentach lotów — i to jest liczba, którą linia świadomie kupuje.
Rozkład dwumianowy i Poissona
Tolerancja produkcyjna
Automat nasypuje do paczek średnio 500 g produktu z odchyleniem standardowym 2 g. Reguła trzech sigm mówi, że 99,7 procenta paczek mieści się między 494 a 506 g. Jeśli norma dopuszcza odchyłkę 5 g, czyli 2,5 sigmy, to poza tolerancją wypada 1,24 procenta produkcji — przy 20 000 paczek dziennie jest to 248 sztuk do odrzucenia, i to jest liczba, na której opiera się decyzja o przestawieniu maszyny.
Rozkład normalny
Sondaż z marginesem błędu
Pracownia bada 1067 osób i podaje poparcie 34 procent „z marginesem błędu 3 punkty procentowe". Ta liczba nie jest zwyczajowa: przy najgorszym możliwym rozrzucie odpowiedzi błąd standardowy wynosi √(0,25/1067) ≈ 0,0153, a margines na poziomie ufności 95 procent to 1,96 · 0,0153 ≈ 0,030, czyli 3,0 punktu. Przedział ufności biegnie więc od 31 do 37 procent — i dopiero on jest wynikiem sondażu.
Estymacja i przedziały ufności
Test A/B strony
Wariant A konwertuje na poziomie 4,0 procent. Wariant B dostaje 2500 odsłon i konwertuje 120 razy, czyli 4,8 procent. Przy hipotezie „nic się nie zmieniło" błąd standardowy wynosi √(0,04 · 0,96 / 2500) ≈ 0,0039, więc z = (0,048 − 0,040)/0,0039 ≈ 2,04. To przekracza 1,96, więc przy α = 0,05 odrzucamy hipotezę zerową — ale ledwie, i decyzja o wdrożeniu powinna to uwzględniać.
Testowanie hipotez
Cena mieszkania a metraż
Z 60 transakcji w jednej dzielnicy wychodzi prosta ŷ = 9,2x + 45, gdzie x to metraż w metrach kwadratowych, a ŷ cena w tysiącach złotych. Mieszkanie 50-metrowe model wycenia na 9,2 · 50 + 45 = 505 tysięcy. Współczynnik determinacji wynosi 0,78, więc metraż wyjaśnia 78 procent zmienności ceny — pozostałe 22 procent to piętro, stan, ekspozycja i to, jak bardzo sprzedającemu się spieszyło.
Korelacja i regresja

Wzory działu

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwo

Średnia, mediana i dominanta

Średnia arytmetyczna
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę
Suma ze średniej
$x_1 + x_2 + \dots + x_n = n \cdot \bar{x}$
stąd wyznaczamy brakującą wartość, gdy średnia jest znana
Mediana — nieparzyście wiele danych
$\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \quad (n \ \text{nieparzyste})$
po uporządkowaniu jest to dokładnie środkowa liczba
Mediana — parzyście wiele danych
$\mathrm{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \quad (n \ \text{parzyste})$
średnia dwóch środkowych wartości
Dominanta (moda)
$\mathrm{Mo} = \text{wartość o największej liczności}$
liczba, która występuje najczęściej — może jej nie być wcale
Średnia ważona
$\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k}$
każda wartość wchodzi tyle razy, ile wynosi jej waga

Wariancja i odchylenie

Rozstęp
$R = x_{\max} - x_{\min}$
najprostsza miara rozproszenia — patrzy tylko na dwie skrajne wartości
Odchylenie od średniej
$d_i = x_i - \bar{x}, \qquad d_1 + d_2 + \dots + d_n = 0$
suma odchyleń zawsze wynosi zero — dlatego samych odchyleń nie da się uśrednić
Wariancja
$\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$
średnia z kwadratów odchyleń od średniej
Odchylenie standardowe
$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
pierwiastek z wariancji — wraca do jednostek danych
Wzór skrócony
$\sigma^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2$
średnia kwadratów minus kwadrat średniej — szybszy w rachunku
Wariancja próbki
$s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n-1}$
dzielnik n − 1, gdy dane są próbką pobraną z większej populacji

Prezentacja danych

Suma liczności
$\sum_{i} n_i = n$
kontrola tabeli: liczności sumują się do liczebności próby
Częstość względna
$w_i = \frac{n_i}{n}$
udział klasy; po przemnożeniu przez 100 — procent
Kąt wycinka koła
$\alpha_i = 360^\circ \cdot \frac{n_i}{n}$
całe koło to 360°, więc kąt jest częstością w stopniach
Szerokość klasy histogramu
$h = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{k}$
k — liczba klas; rozstęp z lekcji o wariancji dzielony na równe kawałki
Gęstość liczności
$g_i = \frac{n_i}{h_i}$
wysokość słupka przy NIERÓWNYCH klasach — nie sama liczność
Pozorny stosunek na uciętej osi
$\frac{H_B}{H_A} = \frac{x_B - c}{x_A - c}$
c — początek osi; przy c = 0 wraca zwykłe x_B / x_A

Kombinatoryka

Reguła mnożenia
$N = k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots \cdot k_m$
wybór w kilku niezależnych krokach — liczby możliwości mnożymy
Silnia
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n, \qquad 0! = 1$
iloczyn kolejnych liczb naturalnych; 0! z definicji równa się 1
Permutacje
$P_n = n!$
liczba ustawień wszystkich n elementów w kolejności
Wariacje bez powtórzeń
$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\ldots(n-k+1)$
wybór k z n, kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń
Wariacje z powtórzeniami
$\overline{V}_n^k = n^k$
k razy wybieramy spośród tych samych n możliwości
Kombinacje
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}$
wybór k z n, kolejność NIE ma znaczenia
Symetria kombinacji
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
wybranie k elementów to to samo, co odrzucenie pozostałych n − k
Reguła trójkąta Pascala
$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$
każdy wyraz trójkąta jest sumą dwóch stojących nad nim
Dwumian Newtona
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
współczynniki rozwinięcia to n-ty wiersz trójkąta Pascala

Prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo klasyczne
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
liczba zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych
Zakres prawdopodobieństwa
$0 \leq P(A) \leq 1$
nigdy mniej niż 0 i nigdy więcej niż 1
Zdarzenie niemożliwe i pewne
$P(\varnothing) = 0, \qquad P(\Omega) = 1$
skrajne przypadki definicji, a nie wyniki rachunku
Zdarzenie przeciwne
$P(A') = 1 - P(A)$
często łatwiej policzyć „nie A" niż samo A
Zapis procentowy
$P(A) \cdot 100\%$
to samo prawdopodobieństwo wyrażone w procentach
Zdarzenia niezależne
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
iloczyn prawdopodobieństw — tylko gdy jedno nie wpływa na drugie

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
określone tylko dla P(B) > 0
Reguła mnożenia
$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$
definicja przemnożona przez P(B)
Wersja licznościowa
$P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$
gdy zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne
Prawdopodobieństwo całkowite
$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$
A₁, …, Aₙ rozbijają Ω na rozłączne przypadki
Twierdzenie Bayesa
$P(A_k|B) = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)}$
odwraca warunek: z P(B|A) robi P(A|B)
Niezależność
$P(A|B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
warunek nie zmienia szans zdarzenia A

Drzewa i schemat Bernoulliego

Mnożenie wzdłuż gałęzi
$P(\text{ścieżki}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n$
prawdopodobieństwo jednej ścieżki drzewa
Dodawanie po ścieżkach
$P(A) = \sum_{\text{ścieżki} \subset A} P(\text{ścieżki})$
zdarzenie to zbiór ścieżek, więc się je sumuje
Suma zdarzeń
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
część wspólna liczona dwa razy, więc raz odjęta
Zdarzenia rozłączne
$A \cap B = \varnothing \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
nie ma czego odejmować
Schemat Bernoulliego
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
k sukcesów w n niezależnych próbach
Co najmniej jeden sukces
$P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$
przez zdarzenie przeciwne, bez sumowania

Zmienna losowa

Zmienna losowa
$X: \Omega \to \mathbb{R}$
funkcja przypisująca liczbę wynikowi doświadczenia
Rozkład zmiennej
$\sum_{i} p_i = 1, \qquad p_i = P(X = x_i)$
tabela wartości i ich prawdopodobieństw
Wartość oczekiwana
$E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i$
średnia ważona prawdopodobieństwami
Wariancja zmiennej
$\sigma^2(X) = \sum_{i} \big(x_i - E(X)\big)^2 p_i$
średni kwadrat odchylenia od E(X)
Wzór rachunkowy
$\sigma^2(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
jeden przebieg tabeli zamiast dwóch
Odchylenie standardowe
$\sigma(X) = \sqrt{\sigma^2(X)}$
w tej samej jednostce co X
Dystrybuanta
$F(x) = P(X \leq x)$
niemalejąca, od 0 do 1
Przekształcenie liniowe
$E(aX + b) = a\,E(X) + b, \qquad \sigma^2(aX + b) = a^2 \sigma^2(X)$
przesunięcie nie zmienia rozrzutu

Rozkład dwumianowy i Poissona

Rozkład dwumianowy
$X \sim B(n, p), \qquad P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
wzór wyprowadzony w lekcji o schemacie Bernoulliego
Wartość oczekiwana
$E(X) = np$
liczba prób razy szansa sukcesu
Wariancja
$\sigma^2(X) = np(1-p)$
największa przy p = 1/2
Co najmniej jeden sukces
$P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$
przez zdarzenie przeciwne
Rozkład Poissona
$X \sim \text{Poiss}(\lambda), \qquad P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
model zdarzeń rzadkich w ustalonym oknie
Parametry Poissona
$E(X) = \sigma^2(X) = \lambda$
jedna liczba opisuje cały rozkład
Przejście graniczne
$\lambda = np$
n duże, p małe, iloczyn ustalony

Rozkład normalny

Gęstość rozkładu normalnego
$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
pole pod całą krzywą wynosi 1
Zapis
$X \sim N(\mu, \sigma)$
μ przesuwa krzywą, σ ją rozszerza
Standaryzacja
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
o ile odchyleń x leży od średniej
Rozkład standardowy
$Z \sim N(0, 1)$
jeden rozkład zamiast nieskończonej rodziny
Reguła jednej sigmy
$P(|X - \mu| < \sigma) \approx 0{,}68$
dwie trzecie populacji
Reguła trzech sigm
$P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 0{,}95, \qquad P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 0{,}997$
poza trzema sigmami leżą 3 przypadki na 1000
Centralne twierdzenie graniczne
$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} N(0, 1)$
średnia z próby dąży do rozkładu normalnego
Przybliżenie dwumianowego
$B(n, p) \approx N\big(np,\ \sqrt{np(1-p)}\big)$
stosowalne, gdy np(1 − p) ≥ 10

Estymacja i przedziały ufności

Estymator punktowy średniej
$\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
jedna liczba policzona z próby
Nieobciążoność estymatora
$E(\hat{\theta}) = \theta$
nie myli się systematycznie — myli się losowo
Wariancja z próby
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
dzielnik n − 1 to poprawka na nieobciążoność
Błąd standardowy średniej
$\mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
rozrzut samej średniej, nie danych
Przedział ufności dla średniej
$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
z = 1,64 · 1,96 · 2,58 dla 90 · 95 · 99 procent
Margines błędu
$d = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
połowa szerokości przedziału
Wymagana liczebność próby
$n = \left(\frac{z\sigma}{d}\right)^{2}$
ten sam wzór czytany od strony d

Testowanie hipotez

Hipoteza zerowa i alternatywna
$H_0: \mu = \mu_0 \qquad H_1: \mu \neq \mu_0$
H₀ zawsze zawiera równość — to ją da się policzyć
Statystyka testowa dla średniej
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
o ile błędów standardowych próba odbiega od hipotezy
Reguła decyzyjna (test dwustronny)
$|z| > z_{\alpha/2} \;\Longrightarrow\; \text{odrzucamy } H_0$
z_{α/2} = 1,96 dla α = 0,05
p-wartość
$p = P\big(|Z| \geq |z| \;\big|\; H_0\big)$
prawdopodobieństwo TAKICH danych przy H₀ — nie H₀ przy danych
Błąd I rodzaju
$\alpha = P(\text{odrzucić } H_0 \mid H_0 \text{ prawdziwa})$
fałszywy alarm; ustalany z góry
Błąd II rodzaju
$\beta = P(\text{nie odrzucić } H_0 \mid H_1 \text{ prawdziwa})$
przeoczenie realnego efektu
Moc testu
$1 - \beta$
szansa wykrycia efektu, który naprawdę istnieje

Korelacja i regresja

Suma iloczynów odchyleń
$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
dodatnia, gdy odchylenia idą w tę samą stronę
Współczynnik korelacji Pearsona
$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$
zawsze między −1 a 1; bez jednostki
Prosta najmniejszych kwadratów
$a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b = \bar{y} - a\bar{x}$
prosta zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ)
Wartość dopasowana
$\hat{y} = ax + b$
predykcja modelu dla danego x
Reszty
$e_i = y_i - \hat{y}_i, \qquad \sum_{i=1}^{n} e_i = 0$
to ich kwadraty minimalizuje metoda
Współczynnik determinacji
$r^{2}$
ułamek zmienności y wyjaśniony przez model
Test na istotność korelacji
$t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}$
rozkład t o n − 2 stopniach swobody

Powiązane artykuły

Świetliste słupki histogramu układające się w miękki dzwon rozkładu, jeden punkt odstający jaśniejszy od pozostałych, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Statystyka i prawdopodobieństwo

Człowiek średni nie istnieje

Cała statystyka opisowa opiera się na jednej transakcji: oddajesz informację o tłumie, dostajesz jedną liczbę. Transakcja bywa opłacalna, ale nigdy nie jest darmowa — i warto wiedzieć, co dokładnie w niej ginie. Od tablic śmiertelności z 1662 roku, przez „człowieka średniego" Queteleta, po samoloty, których nikt nie zobaczył.

15 min