Średnia arytmetyczna
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę
Suma ze średniej
$x_1 + x_2 + \dots + x_n = n \cdot \bar{x}$
stąd wyznaczamy brakującą wartość, gdy średnia jest znana
Mediana — nieparzyście wiele danych
$\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \quad (n \ \text{nieparzyste})$
po uporządkowaniu jest to dokładnie środkowa liczba
Mediana — parzyście wiele danych
$\mathrm{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \quad (n \ \text{parzyste})$
średnia dwóch środkowych wartości
Dominanta (moda)
$\mathrm{Mo} = \text{wartość o największej liczności}$
liczba, która występuje najczęściej — może jej nie być wcale
Średnia ważona
$\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k}$
każda wartość wchodzi tyle razy, ile wynosi jej waga

Wariancja i odchylenie

Rozstęp
$R = x_{\max} - x_{\min}$
najprostsza miara rozproszenia — patrzy tylko na dwie skrajne wartości
Odchylenie od średniej
$d_i = x_i - \bar{x}, \qquad d_1 + d_2 + \dots + d_n = 0$
suma odchyleń zawsze wynosi zero — dlatego samych odchyleń nie da się uśrednić
Wariancja
$\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$
średnia z kwadratów odchyleń od średniej
Odchylenie standardowe
$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
pierwiastek z wariancji — wraca do jednostek danych
Wzór skrócony
$\sigma^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2$
średnia kwadratów minus kwadrat średniej — szybszy w rachunku
Wariancja próbki
$s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n-1}$
dzielnik n − 1, gdy dane są próbką pobraną z większej populacji

Kombinatoryka

Reguła mnożenia
$N = k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots \cdot k_m$
wybór w kilku niezależnych krokach — liczby możliwości mnożymy
Silnia
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n, \qquad 0! = 1$
iloczyn kolejnych liczb naturalnych; 0! z definicji równa się 1
Permutacje
$P_n = n!$
liczba ustawień wszystkich n elementów w kolejności
Wariacje bez powtórzeń
$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\ldots(n-k+1)$
wybór k z n, kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń
Wariacje z powtórzeniami
$\overline{V}_n^k = n^k$
k razy wybieramy spośród tych samych n możliwości
Kombinacje
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}$
wybór k z n, kolejność NIE ma znaczenia
Symetria kombinacji
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
wybranie k elementów to to samo, co odrzucenie pozostałych n − k

Prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo klasyczne
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
liczba zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych
Zakres prawdopodobieństwa
$0 \leq P(A) \leq 1$
nigdy mniej niż 0 i nigdy więcej niż 1
Zdarzenie niemożliwe i pewne
$P(\varnothing) = 0, \qquad P(\Omega) = 1$
skrajne przypadki definicji, a nie wyniki rachunku
Zdarzenie przeciwne
$P(A') = 1 - P(A)$
często łatwiej policzyć „nie A" niż samo A
Zapis procentowy
$P(A) \cdot 100\%$
to samo prawdopodobieństwo wyrażone w procentach
Zdarzenia niezależne
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
iloczyn prawdopodobieństw — tylko gdy jedno nie wpływa na drugie

Powiązane artykuły

Świetliste słupki histogramu układające się w miękki dzwon rozkładu, jeden punkt odstający jaśniejszy od pozostałych, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Statystyka i prawdopodobieństwo

Człowiek średni nie istnieje

Cała statystyka opisowa opiera się na jednej transakcji: oddajesz informację o tłumie, dostajesz jedną liczbę. Transakcja bywa opłacalna, ale nigdy nie jest darmowa — i warto wiedzieć, co dokładnie w niej ginie. Od tablic śmiertelności z 1662 roku, przez „człowieka średniego" Queteleta, po samoloty, których nikt nie zobaczył.

15 min