Co to jest zmienna losowa?

To funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia przypisuje liczbę. Rzut dwiema kostkami ma za wyniki pary oczek, ale interesuje nas zwykle ich suma — i to właśnie ta suma jest zmienną losową. Nazwa myli: zmienna losowa nie jest ani zmienną w sensie algebraicznym, ani liczbą losową, tylko przepisem na przetłumaczenie zdarzenia na liczbę.

Czym jest rozkład zmiennej losowej?

Listą wszystkich wartości, jakie zmienna może przyjąć, wraz z prawdopodobieństwami ich przyjęcia. Dla zmiennej dyskretnej zapisuje się go tabelą o dwóch wierszach. Warunek poprawności jest jeden: prawdopodobieństwa muszą być nieujemne i sumować się dokładnie do jedynki, bo wyczerpują wszystkie możliwości.

Czym wartość oczekiwana różni się od średniej z próby?

Wartość oczekiwana jest własnością modelu i liczy się z rozkładu — z prawdopodobieństw, które zakładamy. Średnia arytmetyczna jest własnością danych i liczy się z tego, co faktycznie wypadło. Pierwsza jest jedna i stała, druga zmienia się z próby na próbę; przy dużej liczbie powtórzeń średnia zbliża się do wartości oczekiwanej, ale równa jej nie jest.

Czy wartość oczekiwana musi być jedną z możliwych wartości?

Nie, i to jest częste zaskoczenie. Wartość oczekiwana liczby oczek na kostce wynosi 3,5, choć kostka nigdy nie pokazuje 3,5. Jest to środek ciężkości rozkładu, a nie wynik, którego należy się spodziewać w pojedynczym doświadczeniu.

Do czego służy wariancja zmiennej losowej?

Do zmierzenia rozrzutu wartości wokół E(X). Dwie zmienne mogą mieć tę samą wartość oczekiwaną i zupełnie różne ryzyko — gra dająca zawsze 5 zł i gra dająca 0 albo 10 zł po połowie mają obie E(X) = 5, ale wariancję 0 i 25. Odchylenie standardowe, czyli pierwiastek z wariancji, wyraża ten rozrzut w tej samej jednostce co sama zmienna.

Dlaczego wariancję liczy się wzorem E(X²) − E(X)²?

Bo wymaga jednego przejścia po tabeli zamiast dwóch. Wzór z definicji potrzebuje najpierw E(X), a potem drugiego przebiegu po wszystkich odchyleniach. Wersja rachunkowa liczy obie sumy naraz i daje ten sam wynik — jest tożsamością, a nie przybliżeniem.

Co to jest dystrybuanta?

Funkcja F(x) = P(X ≤ x), czyli prawdopodobieństwo, że zmienna nie przekroczy podanej liczby. Dla zmiennej dyskretnej jest to funkcja schodkowa: stała między kolejnymi wartościami i skacząca o p w każdej z nich. Zawsze jest niemalejąca, dąży do 0 w minus nieskończoności i do 1 w plus nieskończoności.

Czym różni się zmienna ciągła od dyskretnej?

Zbiorem wartości. Dyskretna przyjmuje wartości, które da się wypisać, i każda z nich ma dodatnie prawdopodobieństwo. Ciągła — jak czas oczekiwania czy wzrost — przyjmuje wszystkie wartości z przedziału, a prawdopodobieństwo trafienia w konkretną liczbę wynosi zero. Sumę zastępuje wtedy całka z funkcji gęstości, a prawdopodobieństwo przedziału jest polem pod jej wykresem.

Poziom zaawansowany

Zmienna losowa i wartość oczekiwana

Zmienna losowa przypisuje liczbę każdemu wynikowi doświadczenia — wygraną, czas oczekiwania, liczbę usterek. Jej rozkład zapisuje się tabelą, a dwie liczby streszczają całą tabelę: wartość oczekiwana mówi, wokół czego wyniki krążą, a wariancja — jak daleko od tego uciekają.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Los na loterii
Los kosztuje 5 zł. Główna wygrana 1000 zł trafia się z prawdopodobieństwem 1/2000, a pociesznie 50 zł z prawdopodobieństwem 1/200. Wartość oczekiwana wygranej wynosi 1000/2000 + 50/200 = 0,50 + 0,25 = 0,75 zł, więc oczekiwany wynik gracza to 0,75 − 5 = −4,25 zł na każdym losie. Przy stu losach rocznie daje to spodziewaną stratę 425 zł, i żadna seria szczęścia tego nie zmienia — zmienia tylko to, kiedy się to ujawni.
Wycena składki ubezpieczeniowej
Ubezpieczyciel szacuje, że szkoda zdarza się u 2 procent klientów rocznie, a jej średni koszt to 30 000 zł. Wartość oczekiwana wypłaty na jedną polisę wynosi 0,02 · 30 000 = 600 zł, więc składka 900 zł zostawia 300 zł na koszty i zysk. Cała aktuarialna wycena polisy jest liczeniem wartości oczekiwanej zmiennej losowej „wypłata”.
Ruletka europejska
Zakład 1 zł na jeden numer wypłaca 35 zł do 1, a numerów jest 37 razem z zerem. Wartość oczekiwana wynosi 35 · 1/37 − 1 · 36/37 = −1/37, czyli około −0,027 zł na każdą postawioną złotówkę. To jest przewaga kasyna: 2,7 procenta obrotu, niezależnie od strategii obstawiania i niezależnie od tego, ile razy się gra.
Ryczałt za serwis sprzętu
Serwis wie, że dana maszyna psuje się w ciągu roku z prawdopodobieństwem 0,15, a naprawa kosztuje 800 zł. Wartość oczekiwana kosztu to 0,15 · 800 = 120 zł na maszynę, więc ryczałtowa opłata 200 zł rocznie pokrywa koszt z zapasem. Klientowi opłaca się ona wtedy, gdy woli pewne 200 zł od loterii, w której z prawdopodobieństwem 15 procent zapłaci 800 zł — i to jest cała różnica między wartością oczekiwaną a ryzykiem.

Wszystkie wzory

Zmienna losowa
$X: \Omega \to \mathbb{R}$
funkcja przypisująca liczbę wynikowi doświadczenia
Rozkład zmiennej
$\sum_{i} p_i = 1, \qquad p_i = P(X = x_i)$
tabela wartości i ich prawdopodobieństw
Wartość oczekiwana
$E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i$
średnia ważona prawdopodobieństwami
Wariancja zmiennej
$\sigma^2(X) = \sum_{i} \big(x_i - E(X)\big)^2 p_i$
średni kwadrat odchylenia od E(X)
Wzór rachunkowy
$\sigma^2(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
jeden przebieg tabeli zamiast dwóch
Odchylenie standardowe
$\sigma(X) = \sqrt{\sigma^2(X)}$
w tej samej jednostce co X
Dystrybuanta
$F(x) = P(X \leq x)$
niemalejąca, od 0 do 1
Przekształcenie liniowe
$E(aX + b) = a\,E(X) + b, \qquad \sigma^2(aX + b) = a^2 \sigma^2(X)$
przesunięcie nie zmienia rozrzutu

Wynikiem rzutu dwiema kostkami jest para oczek, ale w zadaniu prawie zawsze chodzi o ich sumę. Wynikiem gry jest przebieg rozgrywki, ale interesuje nas wygrana. W obu przypadkach zdarzenie tłumaczymy na liczbę — i ten przepis tłumaczenia nazywa się zmienną losową.

Zmienna losowa to funkcja

Zmienną losową nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przypisuje liczbę:

X: \Omega \to \mathbb{R}

Nazwa myli podwójnie. To nie jest zmienna w sensie algebraicznym — nie stoi w równaniu i nie ma się jej wyznaczać. To też nie jest liczba losowa — funkcja jest całkowicie zdeterminowana, losowy jest tylko jej argument.

Dla rzutu dwiema kostkami $\Omega$ ma $36$ elementów, a $X$ = suma oczek przypisuje parze $(3, 4)$ liczbę $7$ . Zmienna „upraszcza" doświadczenie: zamiast $36$ par mamy $11$ liczb — ale za cenę tego, że nie są one już jednakowo prawdopodobne.

Rozkład jako tabela

Rozkładem zmiennej dyskretnej nazywamy listę jej wartości wraz z prawdopodobieństwami. Zapisuje się go tabelą:

$x_i$	$0$	$5$	$10$
$p_i$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{4}$

Warunek poprawności jest jeden i zawsze warto go sprawdzić:

p_i \geq 0, \qquad \sum_{i} p_i = 1

Tabela wyczerpuje wszystkie możliwości, więc prawdopodobieństwa muszą się sumować dokładnie do jedynki. Ten sam rozkład rysuje się słupkami:

Rozkład wygranej w grze A. Wysokości słupków sumują się do jedynki — to ta sama tabela, tylko narysowana.

Wartość oczekiwana

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywamy średnią jej wartości ważoną prawdopodobieństwami:

E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i

Fizycznie jest to środek ciężkości rozkładu: punkt, w którym rysunek ze słupkami dałby się podeprzeć palcem. Dla gry A:

E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \frac{1}{4} = 0 + 2{,}5 + 2{,}5 = 5

Dwie uwagi, obie ważniejsze niż sam rachunek.

Wartość oczekiwana nie musi być możliwa. Dla rzutu kostką $E(X) = \tfrac{1+2+\dots+6}{6} = 3{,}5$ , choć kostka nigdy nie pokazuje $3{,}5$ . To środek ciężkości, a nie prognoza pojedynczego wyniku.

Wartość oczekiwana to nie jest średnia z próby. Średnia arytmetyczna liczy się z tego, co wypadło, i zmienia się z próby na próbę. Wartość oczekiwana liczy się z modelu, czyli z prawdopodobieństw, i jest jedna. Po tysiącu rzutów kostką średnia będzie blisko $3{,}5$ , po dziesięciu może wyjść $2{,}8$ — a $E(X)$ w obu przypadkach nadal wynosi $3{,}5$ .

Los na loterii kosztuje 5 zł. Wygrana 1000 zł zdarza się z prawdopodobieństwem 1/2000, a 50 zł z prawdopodobieństwem 1/200. Czy warto grać?

Wariancja: to, czego wartość oczekiwana nie mówi

Sama $E(X)$ streszcza rozkład zbyt mocno. Porównajmy grę A z grą B, w której wygrana wynosi $4$ , $5$ albo $6$ zł z tymi samymi prawdopodobieństwami:

Gra B na tej samej skali co gra A. Ta sama wartość oczekiwana 5 zł, ale słupki stoją ciasno przy środku zamiast rozjeżdżać się na całą oś.

Obie gry mają $E(X) = 5$ , a różnią się wszystkim, co dla gracza istotne. Tę różnicę mierzy wariancja zmiennej:

\sigma^2(X) = \sum_{i} \big(x_i - E(X)\big)^2 p_i

W praktyce wygodniejszy jest wzór rachunkowy, wymagający jednego przejścia po tabeli zamiast dwóch:

\sigma^2(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2

Policz wariancję i odchylenie standardowe dla obu gier.

Uwaga na jednostki: wariancja jest w złotych do kwadratu, więc porównywalne z samą zmienną jest dopiero odchylenie standardowe $\sigma(X)$ . To ta sama zależność, która wystąpiła przy miarach rozrzutu zbioru danych — z tą różnicą, że tam wagi były licznościami, a tu są prawdopodobieństwami.

Przydają się jeszcze dwie własności przekształceń liniowych:

E(aX + b) = a\,E(X) + b, \qquad \sigma^2(aX + b) = a^2 \sigma^2(X)

Przesunięcie $b$ nie zmienia rozrzutu — przesuwa cały rozkład, nie rozciąga go. Dlatego w drugim wzorze $b$ w ogóle nie występuje.

Dystrybuanta

Zamiast pytać „ile wynosi $X$ ", często pytamy „czy $X$ nie przekroczy pewnej wartości". Odpowiada na to dystrybuanta:

F(x) = P(X \leq x)

Dla zmiennej dyskretnej jest to funkcja schodkowa: stała między wartościami, skacząca o $p_i$ w każdej z nich. Dla gry A:

przedział	$x < 0$	$0 \leq x < 5$	$5 \leq x < 10$	$x \geq 10$
$F(x)$	$0$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{3}{4}$	$1$

Dystrybuanta jest zawsze niemalejąca, zaczyna od $0$ i kończy na $1$ — bo prawdopodobieństwa się dokładają, a nie odejmują. Wygodna jest tym, że prawdopodobieństwo przedziału czyta się z niej odejmowaniem: $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ .

Wzmianka o zmiennej ciągłej

Wszystko powyżej zakładało, że wartości da się wypisać. Bywa inaczej: czas oczekiwania na autobus, wzrost losowo wybranej osoby czy błąd pomiaru przyjmują wszystkie wartości z przedziału.

Dla takiej zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo trafienia w konkretną liczbę wynosi zero — nie dlatego, że to niemożliwe, tylko dlatego, że możliwości jest nieskończenie wiele. Sensowne jest pytanie o przedział, a odpowiada na nie pole pod wykresem funkcji gęstości:

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx

Suma z tabeli zamienia się w całkę oznaczoną, a warunek „prawdopodobieństwa sumują się do jedynki" — w „pole pod całą gęstością wynosi jeden". Najważniejszą zmienną ciągłą, czyli rozkład normalny, poznasz dwie lekcje dalej.

Zadania

Zestaw pyta o dwie liczby, obie liczone z tej samej tabeli rozkładu. Prompt $E(X)$ podaje pary „wartość → prawdopodobieństwo" i prosi o wartość oczekiwaną. Prompt $\sigma^2(X)$ podaje taką samą tabelę i prosi o wariancję zmiennej — czyli o $E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ .

Odpowiedzią jest tu liczba, a nie ułamek nieskracalny: wartość oczekiwana nie jest prawdopodobieństwem, tylko wielkością w skali samej zmiennej. Prawdopodobieństwa w tabelach są tak dobrane, że wynik ma najwyżej dwa miejsca po przecinku.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

E(X): 0 → 3/5, 2 → 1/5, 3 → 1/5

Generator nie prosi o podanie rozkładu — odpowiedzią byłaby cała tabela wraz z nazwami zdarzeń, a nie liczba. Nie pyta też o dystrybuantę, z tego samego powodu. Oba masz rozpisane w przykładach powyżej.

Częste błędy

Mylenie $E(X)$ ze średnią arytmetyczną danych — pierwsza jest własnością modelu i jest stała, druga własnością próby i zmienia się przy każdym powtórzeniu.
Oczekiwanie, że $E(X)$ jest jedną z możliwych wartości — $3{,}5$ oczka nie wypada nigdy, a mimo to jest poprawną wartością oczekiwaną.
Tabela, w której prawdopodobieństwa nie sumują się do jedynki — to nie jest rozkład i każda liczona z niego wielkość jest bez sensu. Warto zaczynać od tej kontroli.
Podnoszenie do kwadratu prawdopodobieństw zamiast wartości — we wzorze $E(X^2)$ kwadraty biorą $x_i$ , a wagi $p_i$ zostają nietknięte.
Porównywanie wariancji z samą zmienną — wariancja jest w jednostkach do kwadratu; porównywalne jest dopiero odchylenie standardowe.
Wniosek, że dwie zmienne o tej samej $E(X)$ są równoważne — gry A i B mają tę samą wartość oczekiwaną i dwadzieścia pięć razy różną wariancję, co dla grającego jest całą różnicą.

Karta wzorów

Temat: Zmienna losowa

Zmienna losowa
$X: \Omega \to \mathbb{R}$
funkcja przypisująca liczbę wynikowi doświadczenia
Rozkład zmiennej
$\sum_{i} p_i = 1, \qquad p_i = P(X = x_i)$
tabela wartości i ich prawdopodobieństw
Wartość oczekiwana
$E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i$
średnia ważona prawdopodobieństwami
Wariancja zmiennej
$\sigma^2(X) = \sum_{i} \big(x_i - E(X)\big)^2 p_i$
średni kwadrat odchylenia od E(X)
Wzór rachunkowy
$\sigma^2(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
jeden przebieg tabeli zamiast dwóch
Odchylenie standardowe
$\sigma(X) = \sqrt{\sigma^2(X)}$
w tej samej jednostce co X
Dystrybuanta
$F(x) = P(X \leq x)$
niemalejąca, od 0 do 1
Przekształcenie liniowe
$E(aX + b) = a\,E(X) + b, \qquad \sigma^2(aX + b) = a^2 \sigma^2(X)$
przesunięcie nie zmienia rozrzutu

Rozkład wygranej w grze A: 0 zł, 5 zł albo 10 zł z prawdopodobieństwami 1/4, 1/2 i 1/4. Słupki sumują się do jedynki, a środek ciężkości tej tabeli — wartość oczekiwana — leży w 5 zł.

Rozkład wygranej w grze B: 4 zł, 5 zł albo 6 zł z tymi samymi prawdopodobieństwami, narysowany na tej samej skali. Ta sama wartość oczekiwana 5 zł, wariancja dwadzieścia pięć razy mniejsza.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetliste słupki histogramu układające się w miękki dzwon rozkładu, jeden punkt odstający jaśniejszy od pozostałych, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Statystyka i prawdopodobieństwo

Człowiek średni nie istnieje

Cała statystyka opisowa opiera się na jednej transakcji: oddajesz informację o tłumie, dostajesz jedną liczbę. Transakcja bywa opłacalna, ale nigdy nie jest darmowa — i warto wiedzieć, co dokładnie w niej ginie. Od tablic śmiertelności z 1662 roku, przez „człowieka średniego" Queteleta, po samoloty, których nikt nie zobaczył.

15 min