Poziom podstawowy

Średnia, mediana i dominanta

Trzy sposoby na jedno pytanie: która liczba najlepiej opisuje cały zbiór danych. Średnia dzieli sumę po równo, mediana staje dokładnie pośrodku, a dominanta wskazuje wartość najczęstszą — i to, którą wybierzemy, potrafi zmienić wniosek.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Wszystkie wzory

  • Średnia arytmetyczna

    xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

    suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę

  • Suma ze średniej

    x1+x2+⋯+xn=n⋅xˉx_1 + x_2 + \dots + x_n = n \cdot \bar{x}

    stąd wyznaczamy brakującą wartość, gdy średnia jest znana

  • Mediana — nieparzyście wiele danych

    Me=x(n+12)(n nieparzyste)\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \quad (n \ \text{nieparzyste})

    po uporządkowaniu jest to dokładnie środkowa liczba

  • Mediana — parzyście wiele danych

    Me=x(n2)+x(n2+1)2(n parzyste)\mathrm{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \quad (n \ \text{parzyste})

    średnia dwóch środkowych wartości

  • Dominanta (moda)

    Mo=wartosˊcˊ o największej licznosˊci\mathrm{Mo} = \text{wartość o największej liczności}

    liczba, która występuje najczęściej — może jej nie być wcale

  • Średnia ważona

    xˉw=w1x1+w2x2+⋯+wkxkw1+w2+⋯+wk\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k}

    każda wartość wchodzi tyle razy, ile wynosi jej waga

Zbiór danych to zwykle długa lista liczb, a pytanie brzmi zawsze tak samo: jedną liczbą — jak to wygląda? Statystyka opisowa daje na to trzy odpowiedzi i każda mierzy coś innego. Warto poznać wszystkie trzy, bo różnica między nimi bywa całą treścią zadania.

Średnia arytmetyczna

Średnia to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę:

xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

Symbol xˉ\bar{x} czyta się „iks z kreską". Sens jest podziałowy: gdyby wszyscy mieli po równo, każdy miałby tyle, ile wynosi średnia.

Policz średnią zbioru 12, 7, 9, 8, 14.

Ze wzoru na średnią wynika od razu drugi, równie użyteczny — wystarczy pomnożyć obie strony przez nn:

x1+x2+⋯+xn=n⋅xˉx_1 + x_2 + \dots + x_n = n \cdot \bar{x}

Znając średnią, znamy więc sumę. To jedyne, czego potrzeba, żeby odtworzyć brakującą liczbę.

Średnia pięciu liczb wynosi 8. Cztery z nich to 6, 9, 10 i 5. Jaka jest piąta?

Diagram częstości

Zamiast wypisywać wszystkie dane, można pokazać, ile razy pojawia się każda wartość. Tak wygląda rozkład ocen z klasówki w klasie liczącej 24 osoby:

012345670246810ocenaliczba uczniów136842x̄ ≈ 3,71liczba ocen
Wysokość słupka to liczba uczniów z daną oceną. Pionowa prowadnica stoi tam, gdzie wypada średnia.

Średnią z takiego diagramu liczymy, mnożąc każdą ocenę przez jej liczność:

xˉ=1⋅1+2⋅3+3⋅6+4⋅8+5⋅4+6⋅224=8924≈3,71\bar{x} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2}{24} = \frac{89}{24} \approx 3{,}71

To już jest średnia ważona: wagami są liczności. Zapisujemy ją tak:

xˉw=w1x1+w2x2+⋯+wkxkw1+w2+⋯+wk\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k}

Zwykła średnia arytmetyczna jest jej szczególnym przypadkiem — tym, w którym wszystkie wagi są równe.

Zwróć uwagę na jedno: wynik 3,713{,}71 nie jest żadną realną oceną. Średnia nie musi należeć do zbioru danych i zwykle do niego nie należy.

Mediana

Mediana to wartość środkowa zbioru po uporządkowaniu. Porządkowanie jest częścią przepisu, nie ozdobnikiem — bez niego „środkowa" liczba nie znaczy nic.

Przy nieparzystej liczbie danych środek jest jeden:

Me=x(n+12)\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}

Przy parzystej środkowe są dwa, więc bierzemy ich średnią:

Me=x(n2)+x(n2+1)2\mathrm{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}
Policz medianę zbiorów 7, 2, 9, 4, 5 oraz 10, 3, 6, 8.

Dominanta

Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej. Na diagramie częstości jest widoczna od razu — to najwyższy słupek. W klasie z rysunku powyżej dominantą jest ocena 44: dostało ją osiem osób.

Dominanta jako jedyna z trzech miar nie zawsze istnieje:

  • gdy każda wartość pojawia się raz, dominanty nie ma;
  • gdy dwie wartości mają tę samą, największą liczność, dominanty są dwie (zbiór dwumodalny).

Ma za to jedną przewagę: działa również tam, gdzie dane nie są liczbami. Najczęstszy rozmiar buta czy najczęstszy kolor auta to dominanta, a średniej z kolorów nie policzy nikt.

Kiedy średnia kłamie

Rozważmy siedmioosobową firmę i jej zarobki w tysiącach złotych:

3, 4, 4, 5, 5, 6, 223,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 22
01234567804812162024osobatys. złx̄ = 7Me = 5zarobek
Jedna wartość skrajna wypycha średnią ponad zarobki sześciu z siedmiu osób. Mediana zostaje tam, gdzie naprawdę jest środek zbioru.

Policzmy obie miary:

xˉ=3+4+4+5+5+6+227=497=7,Me=5\bar{x} = \frac{3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 22}{7} = \frac{49}{7} = 7, \qquad \mathrm{Me} = 5

Zdanie „w tej firmie zarabia się średnio 7 tysięcy" jest prawdziwe i jednocześnie mylące: sześć osób na siedem zarabia mniej. Powód jest jeden — średnia wykorzystuje wielkość każdej liczby, więc jedna wartość skrajna przeciąga ją w swoją stronę. Mediana widzi tylko kolejność: gdyby szef zarabiał nie 22, lecz 220 tysięcy, mediana nadal wynosiłaby 5.

To jest cały powód, dla którego o zarobkach, cenach mieszkań i czasach oczekiwania mówi się medianą, a nie średnią.

Trzy miary na jednym rysunku

Widać to najlepiej na wykresie kropkowym, gdzie każda kropka to jedna obserwacja. Zbiór 2, 3, 3, 4, 132,\ 3,\ 3,\ 4,\ 13:

0246810121401234wartośćlicznośćMe = 3x̄ = 5dane
Cztery obserwacje leżą blisko siebie, piąta daleko. Mediana i dominanta zostają w gęstwinie, średnia odsuwa się w stronę wartości odstającej.

Dla tego zbioru:

xˉ=2+3+3+4+135=255=5,Me=3,Mo=3\bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 13}{5} = \frac{25}{5} = 5, \qquad \mathrm{Me} = 3, \qquad \mathrm{Mo} = 3

Rozjazd między średnią a medianą jest sam w sobie informacją: mówi, że zbiór jest niesymetryczny i że gdzieś siedzi wartość odstająca.

Którą miarę wybrać

miaraco mierzykiedy jest dobra
średniapoziom „po równo"dane symetryczne, bez wartości skrajnych
medianaśrodek uporządkowanego zbiorudane z wartościami odstającymi
dominantawartość najczęstszakategorie, dane niebędące liczbami

Najuczciwiej podać dwie miary naraz. Jeśli średnia i mediana są blisko siebie, zbiór jest w miarę symetryczny; jeśli daleko — pierwsza z nich sama z siebie niczego nie opisze.

Ćwiczenia

Pięć typów pytań odpowiada pięciu rzeczom, których uczy ta lekcja. Prompt zaczynający się od xˉ\bar{x} z dwukropkiem prosi o średnią zbioru wypisanego dalej. Prompt w postaci xˉ=8\bar{x} = 8 z literą x wewnątrz danych prosi o brakującą wartość — skorzystaj z sumy n⋅xˉn \cdot \bar{x}. Prompty Mediana i Dominanta dotyczą zbiorów podanych w kolejności losowej, więc pierwszym krokiem zawsze jest uporządkowanie danych. Odpowiedzią jest liczba; przy parzystej liczbie danych mediana może wyjść z połówką — wpisz ją, na przykład 6,5.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
x̄: 11, 10, 4, 17, 3

Częste błędy

  • Mediana bez porządkowania — środkowa liczba nieuporządkowanej listy nie jest medianą, tylko przypadkową wartością.
  • Zgubiona połówka — przy parzystej liczbie danych mediana bywa liczbą z połówką i nie wolno jej zaokrąglać do „ładniejszej".
  • Dzielenie przez złą liczbę — dzielimy przez liczbę danych, a nie przez liczbę różnych wartości.
  • Dominanta jako największa wartość — dominanta jest najczęstsza, a nie największa.
  • Mylenie miar — „średni" wynik w mowie potocznej często oznacza medianę; w zadaniu trzeba policzyć to, o co pyta treść.
  • Zaufanie samej średniej — w zbiorze z wartością odstającą średnia opisuje zbiór gorzej niż mediana.

Karta wzorów

Temat: Średnia, mediana i dominanta

  • Średnia arytmetyczna

    xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

    suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę

  • Suma ze średniej

    x1+x2+⋯+xn=n⋅xˉx_1 + x_2 + \dots + x_n = n \cdot \bar{x}

    stąd wyznaczamy brakującą wartość, gdy średnia jest znana

  • Mediana — nieparzyście wiele danych

    Me=x(n+12)(n nieparzyste)\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \quad (n \ \text{nieparzyste})

    po uporządkowaniu jest to dokładnie środkowa liczba

  • Mediana — parzyście wiele danych

    Me=x(n2)+x(n2+1)2(n parzyste)\mathrm{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \quad (n \ \text{parzyste})

    średnia dwóch środkowych wartości

  • Dominanta (moda)

    Mo=wartosˊcˊ o największej licznosˊci\mathrm{Mo} = \text{wartość o największej liczności}

    liczba, która występuje najczęściej — może jej nie być wcale

  • Średnia ważona

    xˉw=w1x1+w2x2+⋯+wkxkw1+w2+⋯+wk\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k}

    każda wartość wchodzi tyle razy, ile wynosi jej waga

012345670246810ocenaliczba uczniów136842x̄ ≈ 3,71liczba ocen
Diagram częstości ocen z klasówki: słupek nad każdą oceną pokazuje, ile osób ją dostało. Pionowa prowadnica stoi w miejscu średniej x̄ ≈ 3,71 — czyli tam, gdzie nie ma ani jednej realnej oceny.
01234567804812162024osobatys. złx̄ = 7Me = 5zarobek
Zarobki siedmiu osób w tysiącach złotych. Średnia (7) leży wyżej niż zarobki sześciu z siedmiu osób, bo podnosi ją jedna wartość skrajna; mediana (5) opisuje tę firmę uczciwiej.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetliste słupki histogramu układające się w miękki dzwon rozkładu, jeden punkt odstający jaśniejszy od pozostałych, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Statystyka i prawdopodobieństwo

Człowiek średni nie istnieje

Cała statystyka opisowa opiera się na jednej transakcji: oddajesz informację o tłumie, dostajesz jedną liczbę. Transakcja bywa opłacalna, ale nigdy nie jest darmowa — i warto wiedzieć, co dokładnie w niej ginie. Od tablic śmiertelności z 1662 roku, przez „człowieka średniego" Queteleta, po samoloty, których nikt nie zobaczył.

15 min