Co to jest rozkład dwumianowy?

To rozkład zmiennej losowej liczącej sukcesy w schemacie Bernoulliego. Zapisuje się go B(n, p), gdzie n to liczba prób, a p prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie. Sam wzór na P(X = k) jest dokładnie wzorem Bernoulliego z poprzedniej lekcji — nowe jest to, że patrzymy na całą rodzinę tych prawdopodobieństw naraz, jak na rozkład jednej zmiennej.

Skąd bierze się wzór E(X) = np?

Z rozbicia zmiennej na sumę. Każda pojedyncza próba to zmienna przyjmująca 1 z prawdopodobieństwem p i 0 z prawdopodobieństwem 1 − p, a jej wartość oczekiwana wynosi po prostu p. Sukcesów jest suma tych n zmiennych, a wartość oczekiwana sumy jest sumą wartości oczekiwanych — stąd np, bez żadnego rachunku na symbolach Newtona.

Jak zmiana p wpływa na kształt rozkładu?

Przesuwa go i zmienia jego symetrię. Szczyt leży w okolicy np, więc rośnie razem z p; przy p = 1/2 rozkład jest symetryczny, przy p mniejszym od połowy ma dłuższy ogon w prawo, a przy p większym — w lewo. Liczba prób n odpowiada natomiast za szerokość: im więcej prób, tym rozkład szerszy w wartościach bezwzględnych, ale węższy względem swojej średniej.

Co to jest rozkład Poissona?

Rozkład liczby zdarzeń rzadkich zachodzących niezależnie w ustalonym oknie — czasu, długości albo powierzchni. Opisuje go jedna liczba λ, będąca średnią liczbą zdarzeń w tym oknie. Awarie w miesiącu, zgłoszenia w godzinę, literówki na stronie i rodzynki w cieście to standardowe przykłady.

Jak rozkład Poissona wynika z dwumianowego?

Przez przejście graniczne, w którym liczba prób n rośnie do nieskończoności, prawdopodobieństwo p maleje do zera, a ich iloczyn np pozostaje ustalony i równy λ. Symbol Newtona i potęgi zbiegają wtedy do wyrażenia λ do potęgi k razy e do minus λ, podzielonego przez k silnia. Praktycznie przybliżenie jest już bardzo dobre dla n rzędu kilkudziesięciu i p rzędu setnych.

Dlaczego w rozkładzie Poissona średnia równa się wariancji?

Bo obie wychodzą z przejścia granicznego z tych samych wzorów dwumianowych. Wartość oczekiwana np jest z definicji równa λ, a wariancja np(1 − p) dąży do np, gdy p maleje do zera — czynnik 1 − p zbiega wtedy do jedynki. Stąd praktyczna wskazówka: jeżeli w danych rozrzut jest wyraźnie większy od średniej, model Poissona do nich nie pasuje.

Czy liczba zdarzeń w rozkładzie Poissona ma górną granicę?

Nie. Rozkład dwumianowy kończy się na n, bo tyle jest prób, ale rozkład Poissona przypisuje dodatnie prawdopodobieństwo każdej liczbie naturalnej. Prawdopodobieństwa te maleją bardzo szybko — dla λ = 2 wartość przy k = 10 to już mniej niż 4 na 100 000 — ale zerem nie stają się nigdy.

Poziom zaawansowany

Rozkład dwumianowy i rozkład Poissona

Q: Kiedy wariancja rozkładu dwumianowego jest największa?

Przy p = 1/2. Iloczyn p(1 − p) osiąga wtedy swoje maksimum 1/4, więc wariancja wynosi n/4. Ma to prosty sens: najtrudniej przewidzieć wynik wtedy, gdy sukces i porażka są jednakowo prawdopodobne, a przy p bliskim 0 lub 1 wynik jest niemal pewny i rozrzut maleje do zera.

Liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego jest zmienną losową, a jej rozkład nazywa się dwumianowym. Ma dwa parametry i dwa krótkie wzory na średnią i rozrzut. Gdy prób jest bardzo dużo, a sukces bardzo rzadki, rozkład ten przechodzi w rozkład Poissona — model awarii, zgłoszeń i literówek.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Nadkomplet w samolocie
Linia sprzedaje 210 biletów na 200 miejsc, bo pasażer stawia się na lotnisku z prawdopodobieństwem 0,95. Liczba stawiających się ma rozkład dwumianowy o parametrach E(X) = 210 · 0,95 = 199,5 oraz wariancji 210 · 0,95 · 0,05 = 9,975, czyli odchyleniu standardowym 3,16 pasażera. Średnio zostaje pół wolnego miejsca, ale rozrzut trzech pasażerów oznacza, że nadkomplet zdarza się w kilkudziesięciu procentach lotów — i to jest liczba, którą linia świadomie kupuje.
Awarie serwera w miesiącu
Jeśli serwer psuje się średnio 3 razy w miesiącu, liczba awarii ma rozkład Poissona z λ = 3. Miesiąc bez żadnej awarii zdarza się z prawdopodobieństwem e do potęgi minus trzy, czyli 0,0498 — niespełna 5 procent miesięcy. Co najwyżej dwie awarie mają prawdopodobieństwo 0,0498 · (1 + 3 + 4,5) = 0,423, więc w ponad połowie miesięcy będą co najmniej trzy.
Literówki w książce
Korektor ocenia, że po jego pracy zostaje średnio 0,5 literówki na stronę. Liczba literówek na losowej stronie ma rozkład Poissona z λ = 0,5, więc strona bez błędu zdarza się z prawdopodobieństwem e do potęgi minus pół, czyli 0,6065. W książce liczącej 300 stron da to około 300 · 0,3935 = 118 stron z co najmniej jedną literówką — i to jest realistyczna prognoza, a nie pesymizm.
Kupony rabatowe z nagrodą
Pod nakrętką napój ukrywa nagrodę z prawdopodobieństwem 1/50. Kupując 20 napojów, nie wygrywasz nic z prawdopodobieństwem 0,98 do potęgi dwudziestej, czyli 0,668, więc szansa na co najmniej jedną nagrodę wynosi 33 procent. Żeby przekroczyć połowę, trzeba kupić 35 sztuk — bo 0,98 do potęgi trzydziestej piątej to już 0,493.

Wszystkie wzory

Rozkład dwumianowy
$X \sim B(n, p), \qquad P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
wzór wyprowadzony w lekcji o schemacie Bernoulliego
Wartość oczekiwana
$E(X) = np$
liczba prób razy szansa sukcesu
Wariancja
$\sigma^2(X) = np(1-p)$
największa przy p = 1/2
Co najmniej jeden sukces
$P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$
przez zdarzenie przeciwne
Rozkład Poissona
$X \sim \text{Poiss}(\lambda), \qquad P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
model zdarzeń rzadkich w ustalonym oknie
Parametry Poissona
$E(X) = \sigma^2(X) = \lambda$
jedna liczba opisuje cały rozkład
Przejście graniczne
$\lambda = np$
n duże, p małe, iloczyn ustalony

W schemacie Bernoulliego liczyliśmy prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach. Poprzednia lekcja dała nam pojęcie zmiennej losowej. Wystarczy je złożyć: liczba sukcesów jest zmienną losową, a zbiór jej prawdopodobieństw — jej rozkładem.

Rozkład dwumianowy

Zmienną $X$ liczącą sukcesy w schemacie Bernoulliego nazywamy zmienną o rozkładzie dwumianowym i zapisujemy

X \sim B(n, p), \qquad P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Wzoru nie wyprowadzamy drugi raz — jest dokładnie ten sam, wraz z symbolem Newtona liczącym ścieżki. Nowe jest spojrzenie: zamiast pytać o jedno $k$ , patrzymy na całą tabelę naraz.

Dziesięć prób, dwa różne prawdopodobieństwa sukcesu. Szeroki słupek to p = 0,5 — rozkład symetryczny wokół 5. Wąski to p = 0,2, przechylony w lewo, ze szczytem w 2. Oba mają dokładnie jedenaście słupków, od k = 0 do k = 10.

Rysunek pokazuje dwie rzeczy naraz. Szczyt leży w okolicy $np$ : przy $p = 0{,}5$ w piątce, przy $p = 0{,}2$ w dwójce. Symetria jest wyjątkiem, a nie regułą — przysługuje wyłącznie $p = \tfrac{1}{2}$ ; dla mniejszych $p$ rozkład ma dłuższy ogon w prawo.

Dwa parametry rozkładu

Zamiast liczyć wartość oczekiwaną z tabeli jedenastu wyrazów, mamy krótki wzór:

E(X) = np, \qquad \sigma^2(X) = np(1-p)

Pierwszy z nich ma jednolinijkowe uzasadnienie, w którym nie występuje symbol Newtona. Pojedyncza próba to zmienna przyjmująca $1$ z prawdopodobieństwem $p$ i $0$ z prawdopodobieństwem $q$ , więc jej wartość oczekiwana wynosi

1 \cdot p + 0 \cdot q = p

Liczba sukcesów jest sumą $n$ takich zmiennych, a wartość oczekiwana sumy jest sumą wartości oczekiwanych — stąd $np$ .

Wariancja ma własną obserwację: czynnik $p(1-p)$ jest największy dla $p = \tfrac{1}{2}$ , gdzie wynosi $\tfrac{1}{4}$ . Najtrudniej przewidzieć wynik wtedy, gdy sukces i porażka są równie prawdopodobne; przy $p$ bliskim zera albo jedynki niemal wszystko jest przesądzone i rozrzut znika.

Kontrolujemy 200 sztuk z produkcji, w której wadliwe jest 3% sztuk. Ile wad spodziewamy się znaleźć i z jakim rozrzutem?

Co najmniej raz

Najczęściej zadawanym pytaniem o rozkład dwumianowy nie jest „ile dokładnie", tylko „czy w ogóle". Odpowiedź idzie przez zdarzenie przeciwne i mieści się w jednej linijce:

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n

Pod nakrętką napoju kryje się nagroda z prawdopodobieństwem 1/50. Ile napojów trzeba kupić, żeby szansa na jakąkolwiek nagrodę przekroczyła 50%?

Rozkład Poissona

Weźmy teraz sytuację, w której prób jest bardzo dużo, a sukces jest bardzo rzadki: kliknięć w reklamę są miliony, a zakupów kilkadziesiąt; sekund w miesiącu jest 2,6 miliona, a awarii trzy. W takim przypadku $n$ i $p$ z osobna przestają być znane albo sensowne — sensowny zostaje ich iloczyn, czyli średnia liczba zdarzeń.

Zmienna o rozkładzie Poissona ma jeden parametr $\lambda$ i rozkład

P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots

Rozkład Poissona z λ = 2. Dwa najwyższe słupki, przy k = 1 i k = 2, są dokładnie równe — to własność tego rozkładu przy całkowitym λ. W prawo ogon nie kończy się nigdy, tylko szybko maleje.

Parametry są tu wyjątkowo krótkie:

E(X) = \sigma^2(X) = \lambda

Równość średniej i wariancji jest praktycznym testem modelu: jeśli w danych rozrzut jest wyraźnie większy od średniej, zdarzenia nie są niezależne i rozkład Poissona do nich nie pasuje.

Przejście graniczne

Skąd bierze się wzór z $e$ ? Z rozkładu dwumianowego, w granicy $n \to \infty$ , $p \to 0$ , przy ustalonym iloczynie

\lambda = np

Nie trzeba wierzyć na słowo — wystarczy porównać liczby.

Sprzedano 1000 losów, każdy wygrywa z prawdopodobieństwem 0,002. Porównaj dokładne prawdopodobieństwo trzech wygranych z przybliżeniem Poissona.

W praktyce przybliżenie stosuje się przy $n \geq 50$ i $np \leq 10$ . To właśnie dlatego rozkład Poissona nazywa się rozkładem zdarzeń rzadkich: nie dlatego, że zdarzeń jest mało, tylko dlatego, że każda pojedyncza okazja do nich jest znikoma, a okazji jest bardzo wiele.

Zadania

Zestaw pyta o trzy rzeczy i nie powtarza pytania o $P(X = k)$ dla rozkładu dwumianowego — to ten sam wzór, który ćwiczyłeś w lekcji o schemacie Bernoulliego.

Prompt $P(X \geq 1)$ podaje $n$ oraz $p$ i pyta o co najmniej jeden sukces; odpowiedzią jest ułamek nieskracalny. Prompt $E(X)$ albo $\sigma^2(X)$ podaje te same dwa parametry i pyta o wartość oczekiwaną lub wariancję — odpowiedzią jest liczba, bo to wielkość w skali zmiennej, a nie prawdopodobieństwo. Prompt $P(X = k)$ z parametrem $\lambda$ dotyczy rozkładu Poissona: tam $e^{-\lambda}$ jest liczbą niewymierną, więc odpowiedź podaje się zaokrągloną do czterech miejsc po przecinku.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

P(X ≥ 1): n = 3, p = 1/2

Generator nie pyta o ocenę „czy tu wolno użyć przybliżenia Poissona" — to werdykt, a nie liczba. Kryterium masz podane wyżej: dużo prób, małe $p$ , ustalony iloczyn.

Częste błędy

Traktowanie $np$ jako wyniku, a nie średniej — $E(X) = 6$ nie znaczy, że wad będzie sześć; znaczy, że tyle wychodzi średnio, przy odchyleniu $2{,}41$ .
Stosowanie rozkładu dwumianowego do prób zależnych — losowanie bez zwracania z małego zbioru nie jest schematem Bernoulliego, więc żaden z tych wzorów nie obowiązuje.
Pominięcie czynnika $e^{-\lambda}$ — bez niego prawdopodobieństwa nie sumują się do jedynki i potrafią przekroczyć jedynkę już przy $k = 2$ .
Podstawianie do wzoru Poissona $n$ i $p$ zamiast $\lambda$ — parametrem jest iloczyn $np$ , i to on wchodzi w potęgę oraz w wykładnik.
Przybliżanie Poissonem przy dużym $p$ — przejście graniczne wymaga małego $p$ ; dla $p = 0{,}3$ przybliżenie rozjeżdża się już na drugim miejscu po przecinku.
Oczekiwanie, że wariancja Poissona jest mniejsza od średniej — obie wynoszą $\lambda$ , a rozrzut większy od średniej w danych jest sygnałem, że model jest zły.

Karta wzorów

Temat: Rozkład dwumianowy i Poissona

Rozkład dwumianowy
$X \sim B(n, p), \qquad P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
wzór wyprowadzony w lekcji o schemacie Bernoulliego
Wartość oczekiwana
$E(X) = np$
liczba prób razy szansa sukcesu
Wariancja
$\sigma^2(X) = np(1-p)$
największa przy p = 1/2
Co najmniej jeden sukces
$P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$
przez zdarzenie przeciwne
Rozkład Poissona
$X \sim \text{Poiss}(\lambda), \qquad P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
model zdarzeń rzadkich w ustalonym oknie
Parametry Poissona
$E(X) = \sigma^2(X) = \lambda$
jedna liczba opisuje cały rozkład
Przejście graniczne
$\lambda = np$
n duże, p małe, iloczyn ustalony

Dwa rozkłady dwumianowe o tej samej liczbie prób i różnym p. Przy p = 0,5 rozkład jest symetryczny wokół 5, przy p = 0,2 przechyla się w lewo i ma szczyt w 2 — bo E(X) = np przesuwa się razem z p.

Rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Szczyt leży przy 1 i 2, a ogon ciągnie się w prawo bez końca — liczba zdarzeń rzadkich nie ma górnej granicy, tylko coraz mniejsze prawdopodobieństwo.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetliste słupki histogramu układające się w miękki dzwon rozkładu, jeden punkt odstający jaśniejszy od pozostałych, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Statystyka i prawdopodobieństwo

Człowiek średni nie istnieje

Cała statystyka opisowa opiera się na jednej transakcji: oddajesz informację o tłumie, dostajesz jedną liczbę. Transakcja bywa opłacalna, ale nigdy nie jest darmowa — i warto wiedzieć, co dokładnie w niej ginie. Od tablic śmiertelności z 1662 roku, przez „człowieka średniego" Queteleta, po samoloty, których nikt nie zobaczył.

15 min