Prezentacja danych i wykresy wprowadzające w błąd

Dwie poprzednie lekcje sprowadziły zbiór danych do liczb: średniej i mediany oraz odchylenia standardowego. Ta lekcja jest o czymś odwrotnym — o pokazaniu całego zbioru naraz, tak żeby czytelnik zobaczył jego kształt. I o tym, że ten sam zbiór da się pokazać uczciwie albo nieuczciwie, nie pisząc ani jednej fałszywej liczby.

Tabela liczności

Wszystko zaczyna się od zliczenia. Czterdzieści osób odpowiedziało, czym dojeżdża do pracy:

Dwie kolumny i jedna kontrola. Liczność $n_i$ to po prostu ile razy coś wystąpiło, częstość względna $w_i = n_i/n$ to udział, a wiersz „razem" jest sprawdzianem tabeli:

Jeżeli liczności nie sumują się do liczebności próby, gdzieś zgubiono obserwację — i żaden wykres z takiej tabeli nie będzie poprawny.

Diagram słupkowy

Tabela jest dokładna, ale nie widać z niej kształtu. Diagram słupkowy pokazuje ten sam podział jako wysokości:

Dwie rzeczy w tym rysunku są konwencją, a nie dowolnością:

• Słupki są rozdzielone. Kategorie nie tworzą kontinuum, więc stykanie się słupków sugerowałoby coś, czego w danych nie ma.
• Oś liczności zaczyna się od zera. Informację niesie tu wysokość, a wysokość ma sens tylko liczona od zera. Do tego wrócimy w drugiej połowie lekcji, bo to jest najczęściej łamana reguła całej statystyki opisowej.

Kolejność słupków wolno natomiast wybrać: alfabetycznie, malejąco albo w kolejności naturalnej dla dziedziny. Malejąco czyta się najłatwiej, gdy pytanie brzmi „co dominuje".

Diagram kołowy

Ten sam podział da się pokazać jako części całości. Kąt wycinka liczy się wprost z częstości:

Koło ma jednak wąskie zastosowanie i warto je znać: działa tylko wtedy, gdy części sumują się do całości, jest ich najwyżej kilka, a ich udziały wyraźnie się różnią. Oko porównuje długości znacznie lepiej niż kąty, więc dwa wycinki po $24\%$ i $26\%$ wyglądają identycznie, choć na diagramie słupkowym różnica byłaby widoczna od razu.

Histogram

Dotąd dane były kategorialne. Gdy mierzona wielkość jest liczbą — czas, wzrost, cena — kategorii nie ma i trzeba je zrobić samemu, dzieląc zakres na klasy o równej szerokości:

Czas dojazdu tych samych czterdziestu osób mieści się między $0$ a $60$ minut. Sześć klas po dziesięć minut:

Dopiero z tego rysunku widać kształt rozkładu, którego żadna z dwóch poprzednich lekcji nie pokazuje: jeden szczyt, umiarkowana skośność w prawo, brak wartości odstających. Średnia i odchylenie standardowe opisują ten kształt dwiema liczbami; histogram pokazuje go w całości.

Czym różni się histogram od diagramu słupkowego

To jest pytanie, na którym najczęściej się potyka, więc warto je rozstrzygnąć tabelą:

Wiersz o polu jest tym, o którym się zapomina, i wraca za chwilę jako drugie z nadużyć. Przy klasach równej szerokości pole i wysokość są proporcjonalne, więc różnica nie wychodzi na jaw — ujawnia się dopiero, gdy klasy przestają być równe.

Kiedy który wybrać rozstrzyga jedno pytanie: czy oś pozioma jest liczbą. Jeśli tak — histogram. Jeśli nie — diagram słupkowy. Wykres kołowy tylko wtedy, gdy dodatkowo interesuje nas podział całości, a nie porównanie wielkości.

Jak skłamać wykresem

Druga połowa lekcji jest o tym, że wszystkie powyższe reguły dają się złamać bez podawania choćby jednej fałszywej liczby. Pięć chwytów poniżej to klasyka; każdy ma nazwę, bo nazwane nadużycie łatwiej rozpoznać.

1. Ucięta oś

Najczęstsze i najskuteczniejsze. Oś pionowa nie zaczyna się od zera, więc różnica wysokości przestaje odpowiadać różnicy wartości. Dwa sondażowe wyniki, $42\%$ i $46\%$:

Rachunek jest prosty i warto go umieć zrobić w pamięci. Jeżeli oś zaczyna się od $c$, to narysowane wysokości wynoszą $x_A - c$ i $x_B - c$, więc pozorny stosunek to

podczas gdy prawdziwy stosunek wynosi $46 : 42 \approx 1,10$. Rysunek zawyża przewagę ponad trzydziestokrotnie.

Sprostowanie: na diagramie słupkowym oś liczności zaczyna się od zera — zawsze, bez wyjątku, bo informację niesie tam wysokość. Na wykresie liniowym pokazującym przebieg ucięcie bywa uzasadnione (temperatura ciała między $36$ a $40$ stopniami niczego nie zyska na osi od zera), ale wtedy początek osi musi być wyraźnie podpisany.

2. Nierówne klasy histogramu

Histogram wieku: klasy $[0;10)$ z $8$ osobami, $[10;20)$ z $9$ osobami i $[20;60)$ z $36$ osobami. Narysowany zwykłymi słupkami o jednakowej szerokości, ostatni jest cztery razy wyższy od pierwszego i wygląda na dominującą grupę. Tymczasem jest po prostu czterokrotnie szerszy:

Gęstości są niemal identyczne — w danych nie ma żadnej dominacji.

Sprostowanie: przy nierównych klasach wysokością słupka jest gęstość liczności $g_i = n_i/h_i$, a nie sama liczność, bo informację niesie wtedy pole słupka. Najprostsze wyjście jest jednak inne: klasy równej szerokości i problem znika.

3. Efekt trójwymiarowy

Wykres kołowy albo słupkowy narysowany „w perspektywie" dokłada wymiar, którego dane nie mają. Wycinek leżący z przodu ma większe widoczne pole niż identyczny wycinek z tyłu, a słupek w postaci bryły rośnie naraz na wysokość, szerokość i głębokość, więc podwojenie wartości daje bryłę wyglądającą na kilkakrotnie większą.

Sprostowanie: trzeci wymiar na wykresie danych dwuwymiarowych nie niesie żadnej informacji, więc jego jedynym skutkiem jest zniekształcenie proporcji. Płaski wykres jest zawsze uczciwszy — i to jest cała reguła.

4. Dobór skali i dobór zakresu

Ten sam szereg czasowy pokazany za trzy ostatnie miesiące rośnie, a pokazany za trzy lata — spada. Nic w danych się nie zmieniło; zmienił się wycinek, który autor postanowił narysować. Blisko spokrewniony chwyt to zmiana jednostki albo skali w połowie osi oraz oś pozioma o nierównych odstępach czasu ($2010$, $2015$, $2016$, $2017$ rozmieszczone równomiernie).

Sprostowanie: zakres i skala są częścią twierdzenia, które wykres wygłasza. Uczciwy wykres pokazuje cały dostępny przebieg albo mówi wprost, dlaczego pokazuje wycinek; oś czasu ma odstępy proporcjonalne do czasu.

5. Średnia tam, gdzie należała się mediana

Ostatni chwyt nie dotyczy rysunku, tylko podpisu pod nim. Dziewięć transakcji mieszkaniowych, w tysiącach złotych:

Średnia wynosi $5830 : 9 \approx 648$ tysięcy, mediana — $430$ tysięcy. Zdanie „średnia cena w tej dzielnicy to 648 tysięcy" jest prawdziwe i mimo to wprowadza w błąd: żadna z dziewięciu transakcji nawet się do tej liczby nie zbliża, bo jedna wartość skrajna przeciągnęła średnią o ponad $200$ tysięcy.

Sprostowanie: przy rozkładzie skośnym albo z wartościami odstającymi miarą typowej wartości jest mediana, a nie średnia — dokładnie tak, jak rozstrzyga to lekcja o miarach położenia. Uczciwy raport podaje obie i pokazuje histogram, z którego widać, dlaczego się różnią.

Zadania

Pierwszy zestaw ćwiczy rachunek uciętej osi. Prompt podaje początek osi oraz wartości obu słupków, a pyta, ile razy wyższy wygląda słupek B — czyli o iloraz wysokości liczonych od uciętej podstawy, a nie od zera. Odjęcie podstawy przed dzieleniem jest tu całą pointą; odpowiedzią jest liczba.

Drugi zestaw jest autorski, bo pyta o rzeczy, których generator świadomie nie losuje: o odczyt z tabeli i z histogramu, o kąt wycinka koła i o odwrócenie rachunku uciętej osi — z pozornej proporcji z powrotem do prawdziwej wartości. Odpowiedzią wszędzie jest liczba; kąt podaj w stopniach, gęstość jako ułamek dziesiętny.

Ocena „co jest nie tak z tym wykresem" nie ma jednej liczby za odpowiedź, więc nie jest zadaniem — jest treścią, i masz ją wypisaną w pięciu punktach wyżej. Cztery pytania z ostatniego wpisu FAQ są praktyczną wersją tej listy.

Częste błędy

• Rysowanie diagramu słupkowego z osią uciętą — na słupkach informację niesie wysokość, więc ucięcie osi zawsze zniekształca porównanie; wykres liniowy rządzi się innymi prawami niż słupkowy.
• Mylenie histogramu z diagramem słupkowym — przerwa między słupkami znaczy „to są kategorie". Postawienie kategorii bez przerw sugeruje ciągłość, której nie ma; rozdzielenie klas histogramu ukrywa ciągłość, która jest.
• Nierówne klasy z wysokością równą liczności — przy różnych szerokościach informację niesie pole, więc wysokością musi być gęstość $n_i/h_i$.
• Wykres kołowy dla wielkości, które nie sumują się do całości — koło twierdzi, że pokazuje podział; użyte do porównania niezależnych liczb mówi nieprawdę już samym kształtem.
• Zbyt wiele wycinków — powyżej sześciu, siedmiu części koło przestaje być czytelne; drobne kategorie łączy się w jedną „pozostałe".
• Podawanie samej średniej przy rozkładzie skośnym — jedna wartość odstająca potrafi przesunąć średnią poza cały główny zakres danych; przy takim rozkładzie typową wartość opisuje mediana.
• Traktowanie ładnego wykresu jak dowodu — trzeci wymiar, gradient i cień nie dodają informacji, a bywają dokładnie tym, co odwraca uwagę od uciętej osi.